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学而思春季第四讲几何计数
四年级春季班(八级下 4.1
第四讲几何计数
一、计数问题宗旨:
不重不漏
两大思想:
有序(分步;分类二、“模型”类1、
(条线段(个锐角(个三角形(个长方形
以前方法:
若基本图形有n个,用公式n+(n-1+(n-2+…+2+1计算即可
组合方法:
Cn2
——数线段中n代表点的数目
数锐角中n代表射线的数目
数三角形和长方形是数线段的延伸。
2、多层长方形及长方体
3、正方形
横×竖
即:
横着的线段数×竖着的线段数如左图应该是6×3=18(个长方形
长×宽×高即:
“长”的线段数ד宽”的线段数ד高”的线段数如左图应该是10×10×10=1000(个长方体
4、金字塔型三角形图
5、格点套正方形
顶点2×23×34×45×5正向151430斜向01620总数162050
个顶点时的斜向正方形的数目等于(n-1×(n-1个顶点时的正方形总数
(提高学案44×4的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方向有多少个?
解析:
对照模型,不难得出正方形总数为20个。
具体是
3×3+2×2+1×1=14(个
42个
根据规律:
1×1的:
5×4个
2×2的:
4×3个
3×3的:
3×2个
4×4的:
2×1个
(1数火柴棍——数正立的小三角形
该三角形数量:
1+2+3+……+n(n是层数(2数单位面积——数小三角形
n2(n是层数
(3共有多少三角形——正立的:
递减“1”
倒立的:
递减“2”
四年级春季班(八级下 4.2
四年级春季班(八级下 4.3
三、组合类
1、基本方法:
先基本图形,再逐个组合(先数1个基本图形的,再数2个基本图形的……参见例42、“标准”+“标准”,要注意+“新”参见课前连环画3、“标准”+“标准”,要注意-“重”(容斥原理参见例6
4、排除法
参见基础学案2
5、递推法
参见尖子学案1
四、方块涂色
对于多层长方体/正方体,我们可按照涂色面的多少,将方块分为1、看不见的(0
2、中心块(13、棱块(2面涂色4、角块(3面涂色
例2把一个大长方体木块表面上涂满红色后,分割成若干个同样大小的小长方体,其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块,那么至少要把这个大长方体分割成多少个小长方体?
解析:
总块数不会太少;一种是多层的情况,两个面都涂上红色的方块就应该是棱块,要总块数少,其他块就尽可能节省,但8个角块是省不掉的,而“中心块”和“看不见的”都能省掉。
如右图,所以最少要分成8+12=20(块
五、例题解析
例1在图(2中,共有多少个正方形?
在图(2中形如图(1的图形共有多少个?
图(1图(2
四年级春季班(八级下 4.4
解析:
(1不难数出:
1×1的正方形有15个,2×2的有7个,3×3的有2个,共24个。
(2方法一:
对于图形(1,要注意共有4种变形(分别转90度,可以按这四种变形分类,在图(2中按顺序逐个数出,共11个。
方法二:
我们要学会利用“标准”图形,这样能帮助快速计算个数。
本题中,可把3×3的正方形当成标准图形,因为这里面不难看出共4个图形(1。
图(2共2个标准图形,那么就有4×2=8个。
另外,还要看看“标准”之外的图形还能不能组成图形(1,很容易数出,余下的三个小方块分别都能再组成一个图形(1,所以共有
8+3=11(个
例3下图中共有多少个圆?
把紧挨在一起的两个圆称为一对,例如圆A,B,C可以看成是3对(AB,AC,BC。
图中这样的圆对共有多少对?
解析:
我们连接圆对的圆心,得到右上图,圆对的数量不就是基本线段(火柴棍的数量吗?
根据前面的模型,数火柴棍,就先数正立的小三角形,是1+2+3+4+5=15(个那么火柴棍就有3×15=45(根,即圆对有45对。
例4下图中的三角形共多少个?
四年级春季班(八级下 4.5
解析:
分类,包含1个基本三角形的,有类似于△AGH的有6个,类似于△AFG的有6个;包含2个基本三角形的,类似△AFH,有2×6=12个(针对一条线FB就有2个这样的三角形,共6条线,那用2×6计算就比一个一个数快多了;
包含3个基本三角形的,类似△AFB,有1×6=6个(一条线FB有1个,共6条线包含4个基本图形的,类似△AEC,有2个共计12+12+6+2=32(个
连环画共有多少个三角形?
图(1图(2
解析:
对于图(1,参照例4,不难数出包含1个基本图形的三角形:
10个
包含2个基本图形的三角形:
2×5=10个包含3个基本图形的三角形:
2×5=10个包含更多基本图形的三角形:
5个共计:
10+10+10+5=35(个
对于图(2,同学们要注意了,还是按照包含基本图形的个数多少分类数吗?
有什么更简单的方法吗?
它和图(1有什么联系?
不难看出,图(2里有两个图(1,既然我们都知道图(1有35个,那就把图(1当成一个“标准”图形,1个“标准”里是35个,2个“标准”就有35×2=70(个,但还需要注意什么呢?
两个“标准”图形不是孤立存在的,它们有
连接,因此产生了一些新的三角形,我们再把这一部分新的加上就可以了。
这样的有10个,这样的有5个,最终共计70+10+5=85(个小结:
“标准”+“标准”,要注意+“新”
例6下图中有多少个长方形?
多少个正方形?
2011年四年级春季班 第四讲 几何计数 程雪 解析:
因为正方形是一种特殊的长方形,所以长方形的个数肯定比正方形多。
我们先数正方形。
怎么分类好呢?
是直接按大小吗?
不,该图里,有正着的和斜着的图形,这两个图形是互不干扰的,那就先分成正着的和斜着的两类,每类里再按大小分类。
正方形:
正着的:
1×1的:
8个2×2的:
2个斜着的:
不就是一个3×3的“模型”吗?
那就是3×3+2×2+1×1=14(个)共计:
10+14=24(个)接着再看长方形,也先分为正着的和斜着的。
斜着的:
用模型,6×6=36(个)正着的:
是挨个数吗?
不,我们有更好的办法。
看看有没有所谓“标准”的图形可以直接计算的,比一个一个数强多了。
我们可以找到右图这两个“标准”图形,为什么找它们呢?
因为它们都可以直接用模型公式计算。
但是是计算出来就把两个结果直接加起来吗?
又有什么问题呢?
它们之间有重复的部分,这部分在两个“标准”图形中,都算过一遍,应该要减一遍出去。
重复部分是所以,正着的长方形的个数是:
+-10×1+3×6长方形总个数是36+25=61(个)小结:
“标准”+“标准”,要注意-“重”-3×1=25(个)(基础)学案2以下图中的8个点中的3个为顶点,共可以画出多少个不同的三角形?
解析:
本题是排除法的一个典型例子。
根据寒假组合的知识,不难得出,从8个点中任选33个,有C8种方法,但其中在一条直线上的3个点是不能组成三角形的,所以把这部分减去就333可以了。
C8–C4–C5=56-4-10=42(个)例5如图,9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵,用用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。
四年级春季班(八级下) 4.6
2011年四年级春季班 第四讲 几何计数 程雪
(1)在这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?
(2)面积等于2平方厘米的三角形有多少个?
解析:
该类计数问题同学们要注意的是图形并没有完全给你,我们要先构造出是什么样的图形,然后才能计数。
构造图形的时候要注意每一类都要想到,做到“不重不漏”。
一般来讲,我们可以先通过计算得到图形的大概分类。
程老师在这里把三角形先分为两大类,一类叫“规则的”,即至少一条边是水平或竖直的,这样的三角形能直接看出底及高的数值;如,能直接读出底和高的数值,就能直接计算面积。
另一类叫“不规则的”,即不能看出三角形的底及高。
如,这类三角形不能通过底×高÷2计算面积,但可用扩展法进行计算。
对于本题而言,第
(1)问规则的:
根据面积计算,底和高应是1×2的关系,即底1高2或底2高1,有如下三类,8个16个,8个,共计32个不规则的:
的面积为1.5平方厘米,不符合。
故没有符合题意的该类三角形。
所以,
(1)问的答案就是32个三角形。
第
(2)问规则的:
根据面积计算,底和高应是2×2的关系,即底2高2,有如下两类,4个4个,共计8个。
没有不规则的。
四年级春季班(八级下) 4.7
2011年四年级春季班 第四讲 几何计数 程雪 (提高)学案3十个钉子钉成如图所示的矩形点阵,相邻两钉之间的距离是2厘米,以这些钉为顶点用橡皮筋去套,可以得到不同的三角形,问这些三角形中面积为8平方厘米的三角形有多少个?
解析:
先计算,找到三角形的种类。
一大类(规则的):
底和高的关系应该是4厘米×4厘米,即2格×2格。
ABCD以AC为底,有4个,那么以BD,EG,FH为底,分别有4个,这类共有4×4=16(个)EFGH这样的有2个另一大类(不规则):
经过计算,只有如下一种这样的一共有4个
(2)问的答案就应该是16+2+4=22(个)(尖子)学案3下图右12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?
解析:
同样也是先计算,找到三角形的种类。
一大类(规则的):
底和高的关系应该是4×1,或2×2。
(以上横线或下横线为底)底为4,高为1,这样的有4个(以中间一条横线为底),底为4,高为1,这样的有5×2=10(个)四年级春季班(八级下) 4.8
2011年四年级春季班 第四讲 几何计数 程雪 底为1,高为4的钝角三角形,有4个(以横边的2段为底)底为2,高为2,这样的三角形有5×3×2=30(个)(以竖边为底)底为2,高为2,这样的三角形有2个另一大类(不规则):
经过计算,只有如下一种这样的一共有4个本题中符合条件的三角形一共有4+10+4+30+2+4=54(个)(尖子)学案1一个长方形把平面分成两部分,那么三个长方形最多把平面分成多少部分?
解析:
如果把三个长方形随便放在一起,我们一定都能数出分成了几个部分。
本题关键问的是“最多”,那么三个长方形怎么放是关键。
我们应该从简单的开始找找规律。
一个长方形显然把平面分成2部分。
将形两个长方形怎样放才能分出最多的部分呢?
我们曾经学过切饼问题,要将平面划分为更多的部分,新线要尽可能地与之前的线相交。
长方形4个角,新长方形每条边都穿过相应的一个角,那么这个边就在原来长方形的内部多分出一部分(图中灰色部分),这样就新增4个部分,另外新长方形自己的4个角在原长方形外部又多形成4个部分,所以共有2+4+4=10部分当以此类推,当要放进第三个长方形时,我们把现有两个长方形的2个角当成1个大“角”,新长方形的一条边与之尽可能相交,能在中间新增加3部分,4条边就新增3×4=12部分。
另外新长方形自己的4个角在原图形外部又多形成4个部分,所以共有10+12+4=26部分四年级春季班(八级下) 4.9
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