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北师大平方差公式2教案
北师大平方差公式2教案
【篇一:
2014-2015学年七年级数学下册第一章第5节平方差公式教案2(新版)北师大版】
1.5平方差公式
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力训练要求
1.在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求
在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简捷美.●教学重点
平方差公式的推导和应用.●教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.●教学方法探究与讲练相结合.
使学生在计算的过程中发现规律,并运用自己的语言进行表达,用符号证明这个规律,并探索出平方差公式的结构特点,在老师的讲解和学生的练习中学会应用.
●教具准备投影片四张
第一张:
做一做,记作(1.5.1a)第二张:
例1,记作(1.5.1b)第三张:
例2,记作(1.5.1c)第四张:
练一练,记作(1.5.1d)●教学过程
Ⅰ.创设情景,引入新课
2
2
2
1
-1=4000000-1=3999999,在
(2)中99-1=(100-1)-1=(100-1)(100-1)-1=100-100-100+1-1=10000-200=9800.
(2000+1)(2000-1)=2000-1.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢?
我们不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使学生在计算的过程中,通过观察、归纳发现规律,并用自己的语言和符号表示其规律
[师]出示投影片(1.5.1a)做一做:
计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2);
(2)(1+3a)(1-3a);(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z).
观察以上算式,你发现什么规律?
运算出结果,你又发现什么规律?
再举两例验证你的发现?
[生]上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.[生]上面四个算式每个因式都是两项.
[生]除上面两个同学说的以外,更重要的是:
它们都是两个数的和与差的积.例如:
算式
(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积;算式
(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积;算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积;算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.
[师]我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘,它们的结果如何呢?
只要你肯动笔、动脑,相信你一定会探寻到答案.
[生]解:
(1)(x+2)(x-2)
2
2
2
2
2
2222
=x-2x+2x-4=x-4;
(2)(1+3a)(1-3a)=1-3a+3a-9a=1-9a;(3)(x+5y)(x-5y)=x-5xy+5xy-25y=x-25y;(4)(y+3z)(y-3z)=y-3yz+3zy-9z=y-9z
(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘,进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)
[生]从刚才这位同学的运算,我发现:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.
即
[师]你还能举两个例子验证你的发现吗?
[生]可以.例如:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
上面两个例子,同样可以验证:
两个数的和与差的积,等于它们的平方差.[师]为什么会有这样的特点呢?
[生]因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后,中间两项是同类项且系数互为相反数,所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
[师]很好!
你能用一般形式表示上述规律,并对规律进行证明吗?
[生]可以.上述规律用符号表示为:
(a+b)(a-b)=a-b
2
2
①
其中a,b可以表示任意的数,也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明,即(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b
[师]同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.
你能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a-b起一个名字吗?
能形象直观地反映出此规律的.
[生]我们可以把(a+b)(a-b)=a-b叫做平方差公式.[师]大家同意吗?
[生]同意.
[师]好了!
这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗?
[生]可以.这个公式表示两数和与差的积,等于它们的平方差.
[师]平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单,但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.
Ⅲ.体会平方差公式的应用,感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便,进一步熟悉平方差公式.
出示投影片(1.5.1b)
[例1]
(1)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()a.(x+1)(1+x)
b.(a+b)(b-a)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
212
c.(-a+b)(a-b)
d.(x-y)(x+y)
4
e.(-a-b)(a-b)f.(c-d)(d+c)
2222
(2)利用平方差公式计算:
(5+6x)(5-6x);(x-2y)(x+2y);(-m+n)(-m-n).
[生]
(1)中只有b、e、f能用平方差公式.因为b.(a+b)(b-a)利用加法交换律可得(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a),表示b与a这两个数的和与差的积,符合平方差公式的特点;e.(-a-b)(a-b),同样可利用加法交换律得(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a),表示-b与a这两个数和与差的积,也符合平方差公式的特点;f.(c-d)(d+c)利用加法和乘法交换律得(c-d)(d+c)=(c+d)(c-d),表示c与d这两个数和与差的积,同样符合平方差公式的特点.
[师]为什么a、c、d不能用平方差公式呢?
[生]a、c、d表示的不是两个数的和与差的积的形式.
[师]下面我们就来做第
(2)题,首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.[生](5+6x)(5-6x)是5与6x这两个数的和与差的形式;(x-2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式;(-m+n)(-m-n)是-m与n这两个数的和与差的形式.
[师]很好!
下面我们就来用平方差公式计算上面各式.[生](5+6x)(5-6x)=5-(6x)=25-36x;(x-2y)(x+2y)=x-(2y)=x-4y;(-m+n)(-m-n)=(-m)-n=m-n.
[师]这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作1.5.1c)[例2]利用平方差公式计算:
(1)(-x-y)(-x+y);
(2)(ab+8)(ab-8);(3)(m+n)(m-n)+3n.
[师]同学们可先交流、讨论,然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.
[生]解:
(1)(-x-y)(-x+y)——(-x)与y的和与差的积
1
4
14
14
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1212
1212121212
1414
5
【篇二:
新北师大版数学七下1.5《平方差公式》word教案1】
1.5平方差公式
(2)
一、学习目标
1.进一步使学生掌握平方差公式,让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异
二、学习重点:
公式的应用及推广
三、学习难点:
公式的应用及推广
四、学习设计
(一)预习准备
(二)预习书p21-22
(三)思考:
如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差?
(四)预习作业:
你能用简便方法计算下列各题吗?
(1)103?
97
(2)998?
1002(3)59.8?
60.2
(4)(x+3)(x-3)(x2+9)(5)x-
学习设计:
1、做一做:
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为bb
(1)请表示图中阴影部分的面积:
s=
(2多少?
你能表示出它的面积吗?
长=宽=s=
(3)比较1,2的结果,你能验证平方差公式吗?
∴=
进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式?
?
1?
?
21?
?
1?
?
x+?
x+?
2?
?
4?
?
2?
平方差公式中的a、b式加括号;学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.?
如:
(x+y-z)(x-y-z)中相等的项有和;相反的项有,因此(x+y-z)(x-y-z)=[(
形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式
例1.计算
(1)(x+y-z)(x+y+z)
(2)(a-b+c)(a+b-c))+y][()-y]=()2-()2
(1)题中可利用整体思想,把x+y看作一个整体,则此题中相同项是(x+y),相反项是-z和z;
(2)题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式,则a是相同项,相反项是-b+c和b-c变式训练:
计算:
(1)
(2)[2a2-(a+b)(a-b)][(c-a)(c+a)+(b-c)(c+b)];(a+b+c)2-(a-b+c)2
2、知识回顾:
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;?
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
例21.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1)a+b-c=a+()
(2)a-b+c=a-()
(3)a-b-c=a-()(4)a+b+c=a-()
2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式?
若可以,请用平方差公式解出
(1)(a+b+c)(a-b+c)
(2)(a-b-c)(a+b-c)
(3)(a-b+c)(a-b-c)(4)(a+2b+2c)(a+2b-2c)
变式训练:
1、(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+12、(2+4++100)-(1+3++99)
3、观察下列各式:
248222222
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
根据前面的规律可得:
(x-1)(xn+xn-1++x+1)=________________
回顾小结:
1.什么是平方差公式?
一般两个二项式相乘的积应是几项式?
2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?
3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?
【篇三:
北师大版七年级数学下册《5平方差公式
(一)》教学设计】
平方差公式
课时安排说明:
《平方差公式》共分两课时,第一课时,主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式,运用公式进行计算;第二课时,主要是了解平方差公式的几何背景,运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.
一、学生起点分析
学生的知识技能基础:
七年级上册,学生已经学过数的运算、字母表示数等内容,具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习,为本节课奠定了基础,提供可供类比得到新知识的方法.
学生活动经验基础:
学生在七年级上学期,已经经历具体问题符号化的过程,积累自主探究、合作学习的经验,培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中,学生经历了许多探究学习的过程,具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限,理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作,突出平方差公式的探索过程,自主探索出平方差公式的基本形式,并用语言表述其结构特征,进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.
二、教学任务分析
学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容,经历了实际问题符号化的过程,具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算,而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务:
经历探索平方差公式的过程,了解公式的几何背景,并能运用平方差公式,进行简单的计算,以及实际问题的解决.本节课的教学目标是:
1.知识与技能:
经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力.
2.过程与方法:
通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.
3.情感与态度:
在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心.
三、教学过程设计
基于对教材以及教学任务的分析,本节课设计了六个教学环节:
复习旧知、引入新课;探究规律、发现结论;典例分析、巩固提高;观察思考、拓展延伸;当堂达标、自我检测;课堂小结、布置作业.
第一环节复习旧知、引入新课
活动内容:
回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.符号表示:
(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
2、两项式乘以两项式,结果可能是两项吗?
请你举例说明
活动目的:
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则,设计这一环节的目的,是在复习上节课知识的基础上,为本节课的学习做好知识准备.
实际教学效果:
在复习过程中,学生从知识和心理等方面,做好探究新知识的准备,从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分,可以让学生将举的例子写在黑板上,与下一环节结合使用.
第二环节探究规律、发现结论
活动内容:
1.提出问题
计算下列各题
(1)(x+2)(x-2);
(2)(1+3a)(1-3a)
(3)(x+5y)(x-5y);(4)(2y+z)(2y-z)
观察以上算式及其运算结果,你有什么发现?
活动目的:
在上一环节的基础上,引入形式特殊的多项式乘以多项式,使学生在计算过程中发现规律,体会规律的一般性,提出自己的猜想,并尝试用数学
语言进行描述.
实际教学效果:
问题提出后,学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征,初步得到猜想,总结规律.
活动内容:
2.验证猜想
类比活动一中归纳的规律,学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形,并计算验证自己的猜想.
活动目的:
在“活动1”中,学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式,但仅仅这样就总结、得到结论,部分学生难免心存疑惑,因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉平方差公式的本质特征,掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程,从而验证猜想,得到规律.
实际教学效果:
预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发,这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程,学生举的例子可能涉及以下形式:
1、(-x+y)(-x-y)
2、(ab+c)(ab-c)
113、(x-2y)(x-2y)22
教师安排学生合作学习,分组验证,经历平方差公式推导归纳的过程,从而突出了本节课的重点,得到平方差公式:
(a+b)(a?
b)=a2?
b2
两数和与两数差的积,等于它们的平方差.
第三环节典例分析、巩固提高
活动内容:
巩固练习
判断下面计算是否正确
111
(1)(x+1)(x-1)=x2-1()222
(2)(3x-y)(-3x+y)=9x2-y2()
(3)(m+n)(-m-n)=m2-n2()活动目的:
通过判断题的设计,让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.实际教学效果:
学生在平方差公式的基础上,结合判断题的题样,重新审视平方差公式,进一步理解如何确定平方差公式中的a和b.
活动内容:
例1利用平方差公式计算:
(1)(5+6x)(5-6x);
(2)(x-2y)(x+2y)
(3)(-m+n)(-m-n)
巩固练习
利用平方差公式计算:
(1)(a+2)(a-2);
(2)(3a+2b)(3a-2b)
活动目的:
在深刻理解公式的基础上,借助例题训练学生正确应用公式计算,体会公式在简化运算中的作用,并通过巩固练习,进一步强化技能.
实际教学效果:
此环节的设计注意层次的递进,符合学生的认知过程.在计算过程中,让学生分析公式中的a和b,相对应本题中的哪部分,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.
活动内容:
例2利用平方差公式计算:
11
(1)(-x-y)(-x+y);
(2)(ab+8)(ab-8)44
巩固练习
利用平方差公式计算:
(1)(x-11(-mn+3)(-mn-3)y)(x+y);
(2)33
活动目的:
例2是对例1内容的拓展与延伸,使学生从不同的角度来认识平方差公式,从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中,确定平方差公式中的a和b,巩固平方差公式,进一步体字母a、b可以是数,也可以是整式,加深对字母含义广泛性的理解.
实际教学效果:
例2中的第1题和巩固练习中的第1题,学生在确定公式中a和b时,有一定难度,教师应引导学生仔细观察题目,分析题目当中谁相当于公式当中的a与b,同时提醒学生,不要漏掉负号和括号,帮助学生突破难点.
第四环节观察思考、拓展延伸
活动内容:
想一想
(a?
b)(-a?
b)=?
你是怎样做的?
练一练
计算1、(5m-n)(-5m-n)
2、(a+b)(a-b)(a2+b2)
活动目的:
“想一想”目的,是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系,可以利用整式乘法解决,也可以利用平方差公式,体会新、旧知识之间的联系,并通过“练一练”,进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.
实际教学效果:
学生在处理“想一想”时,部分学生可能没看出可应用平方差公式,从而采用多项式乘多项式计算,教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示,让学生自己经历选择方法的过程,加深对平方差公式的理解和应用.
第五环节当堂达标、自我检测
活动内容:
利用平方差公式计算:
(1)(-x-1)(1-x)
(2)(0.3x+2y)(0.3x-2y)
111(3)(x-)(x+)(x2+)224
活动目的:
为学生提供自我检测的机会,教师针对学生反馈情况,及时调整授课,查漏补缺.
第六环节课堂小结、布置作业
活动内容:
1.平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
公式的结构特点:
左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积;
右边是两数的平方差.
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