相交线与平行线专题.docx
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相交线与平行线专题
相交线与平行线专题
5.1.1相交线
◆回顾归纳
1.有一条公共边,另一边互为_________,这种关系的两个角称为_______.
2.有公共_______的两个角,并且一个角的两边是另一个角的两边的______,具有这种位置关系的两个角称为________.
3.对项角________.
◆考点链接
知识点一邻补角
1.如图所示,取两根木条a,b,将它们钉在一起,就得到一个相交线的模型,其中∠1和∠2是______,且∠1+∠2=______,同理∠2与∠4,∠3与______,∠1与∠3都是邻补角.
2.邻补角是()
A.和为180°的两个角;B.有公共顶点且互补的两个角
C.有一条公共边相等的两个角D.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角
3.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,且OE平分∠BOC,若∠AOC=42°.
(1)∠AOC与______互为邻补角?
(2)与∠EOA互为补角的角是哪些角?
并说明理由.(3)求∠BOE的度数.
[解答]
(1)∠AOC与∠AOD,_______互为邻补角
(2)∠AOE+∠EOB=180°
所以∠EOA与∠EOB________.
因为∠COE=_____.
所以∠AOE+_______=180°
∠AOE与______也互补
(3)因为∠AOC=42°
而∠AOC+∠BOC=180°
所以∠BOC=180°-42°=_____.
又因为OE平分_____.
所以∠BOE=
×_____=_____.
知识点二对顶角
4.(经典题)如图所示,∠1和∠2是对顶角的是()
5.如图所示,l1与l2相交于O点,若∠1=30°,则∠2=______,∠3=_____.
(第5题)(第6题)(第7题)
6.如图所示,AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,若∠DOE=60°,则∠AOC的度数为_______.
7.如图所示,AB与CD相交于O,∠AOD+∠BOC=280°,则∠AOC为()
A.40°B.140°C.120°D.60°
◆课后练习
1.如图所示,直线a,b相交于点O,若∠2=2∠1,则∠1=_____.
2.如图所示,l1与l2相交于O点,图中对顶角有_____组,邻补角有______组.
3.如图所示,直线AB,CD交于点O,下列说法正确的是()
A.∠AOD=∠BODB.∠AOC=∠DOBC.∠AOD+∠BOC=361°D.以上都不对
(第1题)(第2题)(第3题)
4.将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,试求∠CBD的度数.
5.如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图:
(1)将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;
(2)另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合;
(3)延长DC,∠PCD与∠ACF就是一组对顶角,已知∠1=30°,∠ACF为多少?
◆拓展创新
6.
(1)两条直线相交于一点有______组不同的对顶角;
(2)三条直线相交于一点有_____组不同的对顶角;
(3)四条直线相交于一点有_____组不同的对顶角;
……
(4)n条直线相交于同一点有_____组不同对顶角呢?
(如图所示)
5.1.2垂线三线八角
◆回顾归纳
1.两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的_______,交点叫做________.
2.过一点有且只有_______与已知直线_______.
3.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,________最短.
4.直线外一点到这条直线的________的长度,叫做点到直线的距离.
5.如图1直线AB,CD与EF相交,构成_______个角,其中∠1与∠5是_______,∠3与∠5是______,∠4与∠5是_______.
图1图2图3图4
◆考点链接
知识点一垂线垂线段
1.如图2所示,CD⊥AB,则点D是_____,∠ADC=∠CDB=________.
2.如图3所示,l1⊥l2,垂足为_____,∠1与∠2是一组_____的邻补角,∠1与______是一对_______的对顶角.
3.(经典题)如图4所示,l1⊥l2,图中与直线L1垂直的直线是()
A.直线aB.直线L2C.直线a,bD.直线a,b,c
4.如图5所示,若∠ACB=90°,BC=8cm,AC=6cm,则B点到AC边的距离为________.
图5图6图7图8
5.如图6所示,直线L外一点P到L的距离是________的长度.
知识点二同位角内错角同旁内角
6.如图7所示,图中的同位角有______对.
7.如图8所示,下列说法不正确的是()
A.∠1与∠B是同位角B.∠1与∠4是内错角C.∠3与∠B是同旁内角D.∠C与∠A不是同旁内角
8.如图9所示,∠1与∠2是哪两条直线被另一条直线所截,构成的是什么角的关系?
∠3与∠D呢?
图9
◆课后练习
1.如图10所示,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB且∠DOE=40°,则∠COE=_____.
图10图11图12
2.如图11所示,AO⊥OB于点O,∠AOB:
∠BOC=3:
2,则∠AOC=_______.
3.如图12所示,AB与CD交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,则∠AOE=____,∠DOF=_____.
4.如图所示,图
(1)中∠1<∠2,图
(2)中∠1=∠2.试用刻度量一量比较两图中PC,PD的大小.
5.如图所示,分别过P画AB的垂线.
6.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,且∠AOD=3∠BOC,求∠BOC的度数.
◆拓展创新
7.(经典题)我国“十一五”规划其中一重要目标是,建设社会主义新农村,国家对农村公路建设投资近1000亿人民币.西部的某落后山村准备在河流M上架上一座桥梁,如图所示,桥建在何处才能使A,B两个村庄的之间修建路面最短?
5.2.1平行线
◆回顾归纳
1.平面内两条________的直线叫平行线,如果直线a与直线b平行可记为______,读作_________.
2.经过直线外一点,__________与这条直线平行.
3.如果两条直线和第三条直线______,那么这两条直线平行;若a∥b,b∥c,则_______.
4.在同一平面内,不互相重合的两条直线位置关系有_____种,它们是____,______.
5.在同一平面内L1与L2没有公共点,则L1______L2.
6.在同一平面内L1和L2有一个公共点,则L1与L2______.
◆考点链接
知识点平行线
1.在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有_______种,分别是________.
2.(经典题)设a,b,c为平面内三条不同直线:
(1)若a∥b,c⊥a,则b与c的位置关系是______;
(2)若a∥b,b∥c,则a与c的位置关系是______.
3.在同一平面内三条直线交点有多少个?
甲:
同一平面三直线相交交点的个数为0个,因为a∥b∥c,如图
(1)所示.
乙:
同一平面内三条直线交点个数只有1个,因为a,b,c交于同一点O,如图
(2)所示.
以上说法谁对谁错?
为什么?
◆课后练习
1.请举出一例生活中平行线的例子,如笔直铁路上铁轨是互相平行的直线.
举例:
__________________
2.公路两旁的两根电线杆位置关系是________.
3.练习本中的横线格中的横线段是_______,如图所示.
4.如图所示,AB∥CD,EF与AB,CD相交,EF与AB交于点_____,EF与CD交于______.
5.下列说法不正确的是()
A.过马路的斑马线是平行线B.100米跑道的跑道线是平行线
C.若a∥b,b∥d,则a⊥dD.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6.下列说法正确的是()
A.同一平面内不相交的两线段必平行B.同一平面内不相交的两射线必平行
C.同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行D.同一平面内不相交的两条直线必平行
7.如图所示,在这些四边形AB不平行于CD的是()
8.如图所示,在∠AOB内有一点P.
(1)过P画L1∥OA;
(2)过P画L2∥OB;
(3)用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系?
9.如图所示,在5×5的网格中,AC是网格中最长的线段,请画出两条线段与AC平行并且过网格的格点.
10.“垂直于同一条直线的两直线平行”,运用这一性质可以说明铺设铁轨互相平行的道理.
如图所示,已知∠2是直角,再度量出∠1或∠3就会知道铁轨平行不平行?
[解答]
方案一:
若量得∠3=90°,结合∠2情况,说明理由.
方案二:
若量得∠1=90°,结合∠2情况,说明理由.
◆拓展创新
11.如图所示,在书写艺术字时,常常运用画“平行线段”这种基本作图方法,此图是在书写字“M”:
(1)请从正面,上面,右侧三个不同方向上各找出一组平行线段,并用字母表示出来;
(2)EF与A′B′有何位置关系?
CC′与DH有何位置关系?
5.2.2平行线的判定
◆回顾归纳
1.两条直线被第三条直线所截,如果________,那么这两条直线平行.
2.两条直线被第三条直线所截,如果________,那么这两条直线平行.
3.两条直线被第三条直线所截,如果________互补,那么这两条直线平行.
◆考点链接
知识点一同位角相等两直线平行
1.如图1所示,若∠1=60°,∠2=60°,则AB_______CD.
图1图2图3
2.如图2所示,若∠1=∠2,则a∥_____.
知识点二内错角相等两直线平行
3.如图2所示,若∠2=∠3,则b______c.4.如图2所示,b∥c,若∠1=______,则a∥c.
知识点三同旁内角互补两直线平行
5.如图3所示,若∠BEF+______=180°,则AB∥CD.
6.(2008,齐齐哈尔市)如图4所示,请你写一个适当的条件_______,使AD∥BC.
图4图5图6
◆课后练习1.如图5所示,若∠1=30°,∠2=80°,∠3=30°,∠4=70°,若AB∥____.
2.如图6所示,若∠1=110°,∠2=70°,则a_______b.
3.如图7所示AE∥BD,下列说法不正确的是()
A.∠1=∠2B.∠A=∠CBDC.∠BDE+∠DEA=180°D.∠3=∠4
图7图8图9
4.如图8所示,能说明AB∥DE的有()
①∠1=∠D;②∠CFB+∠D=180°;③∠B=∠D;④∠BFD=∠D.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.(易错题)如图9所示,能说明AD∥BC,下列条件成立的是()
A.∠2=∠3B.∠1=∠4C.∠1+∠2=∠3+∠4D.∠A+∠C=180°
6.(过程探究题)如图所示,若∠1+∠2=180°,∠1=∠3,EF与GH平行吗?
[解答]因为∠1+∠2=180°()
所以AB∥_______()
又因为∠1=∠3()
所以∠2+∠________=180°()
所以EF∥GH(同旁内角互补,两直线平行)
7.(经典题)如图所示,完成下列填空.
(1)∵∠1=∠5(已知)
∴a∥______(同位角相等,两直线平行)
(2)∵∠3=_______(已知)
∴a∥b(内错角相等,两直线平行)
(3)∵∠5+_______=180°(已知)
∴______∥_______(同旁内角互补,两直线平行)
8.如图所示,写出所有角满足的条件使AB∥EF,并说明理由.
◆拓展创新
9.
(1)如图
(1)所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图
(2)所示在
(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O′N平分∠CO′F,试判断OM与O′N位置关系.
5.3平行线的性质
(一)
◆回顾归纳
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角_______,内错角____,同旁内角______.
2.同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的______叫做这两条平行线的距离.
◆考点链接
知识点一两直线平行同位角相等
1.(2008,上海市)如图1所示,直线a∥b,且a,b被c所截,若∠1=40°,则∠2=______.
图1图2图3
知识点二两直线平行内错角相等图4
2.如图2所示,直线a∥b,且a,b被c所截,若∠1=60°,则∠2=_______,∠3=________.
知识点三两直线平行同旁内角互补
3.如图3所示,若AB∥CD,∠DEF=120°,则∠B=_______.
4.如图4所示,DE∥BC,DF∥AC,下列结论正确的个数为()
①∠C=∠AED②∠EDF=∠BFD③∠A=∠BDF④∠AED=∠DFB
A.1个B.2个C.3个D.4个图5
5.如图5,在甲,乙两地之间修一条笔直公路,从甲地测得公路的走向是北偏东50°,甲,乙两地同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路走向是()
A.北偏45°B.南北方向C.南偏西50°D.以上都不对
6.如图6所示,已知CD平分∠ACB,∠EDC=
∠ACB,∠DCB=30°,求∠AED度数.
[解答]因为∠1=
∠ACB(已知)
又因为∠2=
∠ACB()
所以∠1=∠2(等量代换)
即DE∥BC(内错角相等,_______)
又因为∠DCB=30°(已知)图6
所以∠ECB=2×30°=60°
即∠AED=______=_______.
◆课后练习
1.如图7所示,砌墙师傅用重锤线检验砌的墙体是否与地面垂直,墙体坚直线用a表示,重锤线用b表示,地平线用c表示,当a∥b时,因为b⊥c,则a______c,这里运用了平行线的性质是_______.
图7图8图9图10
2.如图8所示,一块木板,AB∥CD,木工师傅量得∠B=80°,∠C=65°,则∠A=______,∠D=______.
3.家住湖边的小海,帮爸爸用铁丝用网箱如图9所示,若AB∥CD,AC∥BD,若∠1=α,则:
①∠3=α;②∠2=180°-α;③∠4=α,其中正确的个数有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.如图10所示,AM平分∠BAC,AM∥EN,则与∠E相等的角下列说法不正确的是()
A.∠BAMB.∠ABCC.∠NDCD.∠MAC
5.如图,若∠3=∠4,你能说明AD∥BC,AB∥DC吗?
小亮回答:
都行,∵∠3=∠4,∴AD∥BC,AB∥DC
小亮错在哪里,请指出错因,并改正.
6.如图,已知∠AED=60°,∠2=30°,EF平分∠AED,可以判断EF∥BD吗?
为什么?
7.如图所示,若∠1+∠2=180°,∠3=110°,求∠4.
◆拓展创新
8.如图所示,若AB∥CD,且∠1=∠2,试判断AM与CN位置关系,并说明理由.
5.3平行线的性质
(二)
◆回顾归纳
1.用来判断一件事情的语句叫做__________.
2.命题由______和_______两部分组成.
3.“对顶角相等”,题设是______,结论是_______.
◆考点链接
知识点命题定理
1.“同位角相等”的题设_______,结论为_____.
2.将命题“内错角相等”改写成“如果……那么……”形式为__________.
3.一个命题,如果题高成立,结论不一定成立,这样命题是______.如果题设成立,结论一定成立,这样命题叫_______.
4.在下列命题中:
①相等的角是对顶角;②同角的余角相等;③等角的补角相等,其真命题是________.
5.判断下列语句是不是命题,若是命题,指出是真命题还是假命题.
(1)过点P作直线L的平行线________.
(2)如果一个数能被5整除,那么这个数也能被10整除_________.
6.(体验探究题)用几何符号语言表达下列命题的题设与结论,并画出图形.
(1)如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
(2)互为邻补角的平分线互相垂直.
◆课后练习
1.命题:
(1)若│x│=│y│,则x=y;
(2)大于直角的角是钝角;(3)一个角的两边与另一个角的两边平行,则这两个角相等或互补,假命题是_______.
2.举出反例说明下列命题是假命题.
(1)大于90°的角是钝角________________________________________________.
(2)相等的角是对顶角__________________________________________________.
3.如图1所示,工人师傅在加工零件时,发现AB∥CD,∠A=40°,∠E=80°,小芳用学过的知识,得出∠C=______.
图1图2图3图4
4.如图2所示,若AB∥CD,∠1=∠2,∠1=55°,则∠3=______.
5.如图3所示,AD∥EF∥BC,AC平分∠BCD,图中和α相等的角有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
6.(经典题)如图4所示,两平面镜α、β,的夹角60°,入射光线AO平行于β入射到α上,经两次反射后的反射光线O′B平行于α,则∠1的度数为()
A.60°B.45°C.30°D.75°
7.如图所示,L1∥L2,CD⊥L2垂足为C,AO与L1交于B,与CD交于点O,若∠AOD=130°,
求∠1的度数.
8.如图,已知B,E分别是线段AC,DF上的点,AF交BD于G,交EC于H,∠1=∠2,∠D=∠C,
求证:
DF∥AC.
9.如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G,已知∠EFG=58°,求∠BEG度数.
◆拓展创新
10.(探索题)如图所示,若AB∥CD,在下列四种情况下探索∠APC与∠PAB,∠PCD三者等量关系,并选择图(3)进行说明.
5.4平移
◆回顾归纳
1.平移的要素:
(1)平移的_________;
(2)平移的_________.
2.
(1)平移:
将一个图形沿某个方向_________叫平移.
(2)平移的性质:
对应点的连结线段_________且_________.
3.平移作图方法:
(1)找出已知图形上的关键点;
(2)过这些点沿指定_______平移,使平移_______等于已知距离;
(3)依次作出各个_______点,连结所平移后的点得平移图形.
◆考点链接
知识点平移
1.
(1)将线段AB向北偏东方向平移5cm,则点A平移方向_______,平移距离为______.
(2)经过平移后的图形与______形状和大小都不改变.
2.下列物体运动中平移的是_________(填序号).
(1)打乒乓球的运动;
(2)手表上指针的运动;
(3)汽车在笔直公路上运动;(4)车轮的滚动.
3.如图1所示的“田”字格可以看成由________平移得到的.
图1图2图3
4.如图2所示,线段b向右平移3格,再向上平移______格,能与线段______重合.
5.如图3所示,三角形ABC向下(右)平移_______格,再向右(下)平移_____得到三角形A′B′C′,图形的面积相等,形状不变.
6.下列各组图形可以通过平移得到另一个图形的是()
ABCD
7.(经典题)如图4所示,长方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.DE∥AC,CE∥BC.那么三角形EDC可以看成什么三角形平移得到的,指出平移方向,并求出平移距离?
图4
◆课后练习
1.将正方形ABCD向北偏东30°方向平移4cm,则对角线交点O向________平移______cm.
2.如图5所示,BC垂直于水平面,高5.196m,现要建造阶梯,每级台阶不超过20cm,则至少要建_______级台阶(不足20cm,按一级台阶计算)
图5图6图7
3.在5×5方格纸中将图6
(1)中的图形N平移后的位置如图6
(2)中所示,那么正确的平移方法是()
A.先向下移动1格,再向左移动1格B.先向下移动1格,再向左移动2格
C.先向下移动2格,再向左移动1格D.先向下移动2格,再向左移动2格
4.如图7所示,在网格中,有三角形ABC,将A点平移到P点,画出三角形ABC平移后的图形.
[解答]
(1)将A点向_______(或向______)平移______格(或_____格).
(2)再向_____(或向_____)平移______格(或_______格),得点P.
(3)同理B,C与A点平移次数方向距离一样,易得B′,C′.
(4)连结PB′,PC′,B′C′得到三角形ABC平移后的三角形PB′C′.
5.如图所示,一块边长为8米的正方形土地,上面修了横竖各两条道路,宽都是1米,空白的部分种上各种花草,请利用平移的知识求出种花草的面积?
◆拓展创新
6.如图所示,在长方形ABCD中,AB=10cm,BC=6cm,试问将长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2?
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