数学的预备知识.docx
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数学的预备知识
1数学的预备知识
1.1群、环、域的基本知识,
群:
群的陪集分解
环
整数环
多项式环
模q运算下的整数环
模p(x)运算下的多项式环
域
整数环上的有限域{模p运算}Z/(p)
多项式环上的有限域{模p(x)运算}F(x)/p(x)
1.2有限域生成和举例
GF
(2)域上的4阶本原多项式:
x4+x+1
它是GF
(2)域上的4阶不可约多项式,
它的周期是24-1。
GF(24)域上的本原元α,以及元素的两种表示
由α的方幂构成所有非零元素的乘法循环群
所有非零元素的多项式表示、即1,α,α2α3的线性组合
乘法循环群中元素的阶
GF(24)域上的特征
元素的最小多项式
最小多项式的共轭类
元素的阶、最小多项式的周期
GF(24)域的构造
GF(24)的子域和最小子域
GF(24)域上元素的分裂域
多项式x16+x的因式分解
例1验证x4+x+1是不可约多项式
x不能整除x4+x+1,余式为1
x+1不能整除x4+x+1,余式为1
商x3/余x3+x+1
商x2/余x2+x+1
商x/余1
x2+x+1不能整除x4+x+1
商x2/余x3+x2+x+1
商x/余1
例2验证x4+x+1的周期是15。
x4+x+1的周期是x4+x+1整除xN+1,N取最小的整数。
验证最小整数是否是15=24-1
x4+x+1除以xN
商xN-4/余xN-3+xN-4
商xN-7/余xN-4+xN-6+xN-7
商xN-8/余xN-6+xN-8
商xN-10/余xN-8+xN-9+xN-10
商xN-12/余xN-9+xN-10+xN-11+xN-12
商xN-13/余xN-10+xN-11+xN-13
商xN-14/余xN-11+xN-14
商xN-15/余xN-15
例3多项式x4+x+1的除法电路。
多项式除法电路
多项式x4+x+1的除法电路
多项式x4+x+1的除法电路的状态表
时序
第一级
第二级
第三级
第四级
输出
α0
α1
α2
α3
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
2
0
0
1
0
3
0
0
0
1
4
1
1
0
0
5
0
1
1
0
6
0
0
1
1
7
1
1
0
1
8
1
0
1
0
9
0
1
0
1
10
1
1
1
0
11
0
1
1
1
12
1
1
1
1
13
1
0
1
1
14
1
0
0
1
15
1
0
0
0
例4GF(24)的生成、元素的方幂表示和多项式表示、元素的阶
GF
(2)域上的4阶本原多项式x4+x+1的根α:
α4+α+1=0即α4=1+α
由α生成GF(2m)上的元素。
元素
元素
阶数
0
0
1
α
1
α
α
15
α2
α2
15
α3
α3
5
α4
1+α
15
α5
α+α2
3
α6
α2+α3
5
α7
1+α+α3
15
α8
1+α2
15
α9
α+α3
5
α10
1+α+α2
3
α11
α+α2+α3
15
α12
1+α+α2+α3
5
α13
1+α2+α3
15
α14
1+α3
15
α15
1
例5GF(24)上的元素的分类以及相应的最小多项式
元素
最小多项式
元素的阶数和
最小多项式的周期
α,α2,α4,α8
x4+x+1
15
α3,α6,α12,α9
x4+x3+x2+x+1
5
α5,α10
x2+x+1
3
α7,α14,α13,α11
x4+x3+1
15
1
x+1
1
0
例6GF(24)上的元素最小多项式和它们的因式分解
x4+x+1=(x-α)(x-α2)(x-α4)(x-α8)
x4+x3+x2+x+1=(x-α3)(x-α6)(x-α12)(x-α9)
x4+x3+1=(x-α7)(x-α14)(x-α13)(x-α11)
x2+x+1=(x-α5)(x-α10)
x+1=(x-1)
例7GF(24)域的构造、特征和子域
GF(24)域元素的总数=24
GF(24)域的特征是2,即最小子域是2个元素:
0、1
2整除24
GF(24)域的子域是GF(22),有4个元素:
0,1,α5,α10
22整除24
例8GF(24)上的多项式x16+x
x16+x=(x15+1)x
=(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x4+x3+1)(x2+x+1)(x+1)x
=(x-α)(x-α2)(x-α4)(x-α8)
(x-α3)(x-α6)(x-α12)(x-α9)
(x-α7)(x-α14)(x-α13)(x-α11)
(x-α5)(x-α10)(x-1)x
1.3有限域
基本概念
本原多项式
本原元
元素的阶
有限域的特征
元素的最小多项式
最小多项式的共轭类
分裂域
基本性质
GF(Q)域
非零元素β的阶整除(Q-1),(X-β)整除xQ-1-1
有限域的所有非零元素构成一个乘法循环群
GF(Q)域中存在本原元
有限域的特征
有限域的特征是一个素数
有限域元素的最小多项式
元素的最小多项式整除以元素为根的多项式
多项式xQ-x的最小多项式分解
GF(Q)域中元素的多项式表示以及方幂表示
GF(Q)域共有pm个
GF(Q)域的结构
存在一个GF(Q)域,Q=Pm其中p是素数,m是正整数
存在一个GF(q)域上m阶的本原多项式
最小多项式和共轭类
元素βp是β的最小多项式的根
最小多项式根的共轭类
最小多项式的共轭类因式分解
基本性质的证明:
定理10.3:
设1,2,…Q-1是有限域GF(Q)上的非零元素,xQ-1-1=(x-1)(x-2)…(x-Q-1)。
非零元素β的阶整除(Q-1),(X-β)整除xQ-1-1
证明:
GF(Q)上的非零元素生成一个乘法群,
若β是非零的域元素,它的阶为h,由β生成乘法群的子集有h各元素,h=1,
由乘法群的陪集分解知,β的阶h整除(Q-1),β是xQ-1-1的根,
因此有Q-1=
=1,(x-)/xQ-1-1,
故xQ-1-1=(x-1)(x-2)…(x-Q-1)。
定理10.4:
GF(Q)域中非零元素构成一个乘法循环群。
证明:
F*记作全部非零元素的集合,F*是乘法群,共Q-1个元素。
设∈F*,I,i=1、2…至多有Q-1个不同的值。
即r使i=i+r成立的最小正整数,则1≤r≤Q-1。
上式可重新写作r=1。
重新选择a,使r=1式成立的r最大
对于F*中任意元素b,b是l阶的记作l=1
对于任意素数因子π,假设r=πa·r',l=πb·l',r'、l'不含有π的因子
显然,
是r'阶,l’是b阶,
是b·r'阶,且
∈F*
b·r’a·r’(题中假设)
所以b≤a
故重新比较、两个元素的阶r=a·r',l=b·l',任意素数因子的方幂能整除l必能整除r即l/r
F*中任意元素是xr-1的根,xr-1包含F*中全部不同元素的根,r≥Q-1。
将上述两个结论结合起来,有r=Q-1,a的方幂构造了F*的全部元素。
F*的全部元素是一个乘法循环群。
定理10.5任意一个有限域GF(Q)必有一个本原元。
证明:
GF(Q)的全部非零元素组成一个乘法循环群,如定理10.4所述,其中Q-1阶元素就是GF(Q)的本原元。
定理10.6每个GF(Q)包含有唯一的最小子域,它含有素数个元素,GF(Q)的特征是这个素数。
证明:
构造集合G={0、1、2、…},显然G是有限的,设G中有p个元素,
G是加法的循环群,(它是模p的)对加法运算是一个交换群,
G中元素的乘法运算,由GF(Q)乘法运算分配律确知,G上元素乘法运算是modp的,对乘法运算是封闭的,服从交换律,结合律,有唯一的单位元素1,有唯一的逆元素。
故G={0、1、…、p-1}是一个域GF(p),p是素数。
G中任意一个元素β,则{0β、1β、…、(p-1)β}共有p个元素,彼此各不相同。
这其中必有一个元素与β相乘为β,该元素为乘法单位元素,必有一个元素与β相乘为1,该元素为β的乘法逆元素。
如果{0β、1β、…、(p-1)β}中有两个元素相等,记做aβ=bβ,aβ-bβ=0。
由乘法分配律可写作(a–b)β=0。
而这与(a–b)、β都是GF(Q)中的非零元素相矛盾,因此{0β、1β、…、(p-1)β}共有p个元素,彼此各不相同。
定理10.7:
GF(Q)上每个元素都只有唯一的GF(q)上最小多项式,若f(x)是的最小多项式,而多项式g(x)以为根,则f(x)|g(x)。
证明:
设f(x)、f1(x)都是的最小多项式,首项系数均为1,f(x)≠f1(x)
可以写作f1(x)=f(x)+r(x),deg[r(x)]deg[f(x)],
由于f()、f1()=0,有r()=0,则r(x)以为根,次数低于f(x),这与题设矛盾,故f(x)=f1(x),最小多项式是唯一的。
类似地若多项式g(x)以为根,g(x)=q(x)f(x)+r(x),deg[r(x)]deg[f(x)]。
由于f()、g()=0,有r()=0,则r(x)以为根,次数低于f(x),这与题设矛盾,故f(x)|g(x)。
定理10.8:
设f1(x)、f2(x)、…fk(x)是不相同的多项式,又是GF(Q)域上一个或几个元素在GF(q)上的最小多项式,则xQ-x=f1(x)·f2(x)·…·fk(x)。
定理10.9:
设g(x)是GF(q)域上的多项式,存在一个扩展域GF(Q),在GF(Q)上g(x)可以分解为一次多项式的乘积,GF(Q)称为多项式g(x)的分裂域。
定理10.9*:
GF(Q)是GF(q)的扩展域,它的本原元a在GF(q)域上的本原多项式是f(x),deg[f(x)]=m,则GF(Q)共有qm个元素,且每个元素可以写作
=am-1m-1+am-2m-2+…+a1+a0(*)
a0、a1、…am-1∈GF(q)。
证明:
由域的性质知,(*)给出的元素∈GF(Q),且互不相等。
否则是低于m次多项式的根,的最小多项式是低于m阶的。
因为GF(Q)中的所有元素都可以用(*)形式来表示。
而的这种表示式至多给出qm个元素,故GF(Q)中任何一个元素都可以写作(*)形式。
定理10.10:
GF(Q)的特征为p,m为正整数,、∈GF(Q),则
定理10.11:
存在一个有限域GF(Q),Q=pm,p是素数m是正整数,且这个域是GF(p)上多项式
的最小分裂域,它共有pm个元素。
证明:
的最小分裂域,至少有pm个根,它们组成了一个域。
这pm个元素加法、乘法构成的新元素仍是
的根,服从加法和乘法的封闭性;它们服从加法和乘法的交换律、结合律以及分配律;它们加法或非零元素乘法的逆元素是存在的,即它是
的根。
所有这pm个元素互不相同,即没有一个元素是
的根。
对于素数p,正整数m存在GF(pm)的有限域。
故定理得证。
定理10.12:
对于正整数m和GF(q)域,至少存在GF(q)上m阶本原多项式。
证明:
q是素数p的方幂,qm也是素数p的方幂。
由定理10.11知必存在qm的有限域GF(qm),它的本原元记作
在GF(q)上的最小多项式必是GF(q)上m次本原多项式,即在GF(q)上,必存在有m阶的本原多项式。
定理10.13:
设GF(q)的特征为p,GF(q)上的I阶多项式S(x)=
和正整数m满足
定理10.14:
设GF(qm)上元素b在GF(q)上的最小多项式f(x),则bq在GF(q)上的最小多项式也是f(x)。
定理10.15:
设GF(qm)上元素b在GF(q)上的最小多项式f(x),deg[f(x)]=r,则
证明:
f(x)的根包含有
而
是GF(q)上的最小多项式的充要条件是系数fi∈GF(q)。
即
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