面角习题及答案.docx
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面角习题及答案.docx
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面角习题及答案
1•如图三棱锥
二面角
P-ABC中,PC丄平面ABC,PC=^=
<3
D是BC的中点,且△ADC是
边长为2的正三角形,求二面角P-AB—C的大小。
解:
由已知条件,D是BC的中点
•••CD=BD=2又厶ADC是正三角形
AD=CD=BD=2
•D是厶ABC之外心又在BC上
•△ABC是以/BAC为直角的三角形,
•AB丄AC,又PC丄面ABC
•PA丄AB(三垂线定理)
•/PAC即为二面角P-AB-C之平面角,
易求/PAC=30
2•如图在三棱锥S-ABC中,SA丄底面ABC,AB丄BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、
SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
解:
•••BS=BC,又DE垂直平分SC
BE丄SC,SC丄面BDE
•BD丄SC,又SA丄面ABC
SA丄BD,BD丄面SAC
BD丄DE,且BD丄DC
则/EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a,
贝UBC=SB=,2a且AC=、3
D
E
C
易证△SACDEC
/CDE=/SAC=60
3.如图:
ABCD是矩形,AB=8,BC=4,AC与BD
相交于O点,P是平面ABCD
外一点,PO丄面ABCD,PO=4,M是PC的中点,求二面角M-BD-C大小。
PO丄面ABCD
则RN=1CE
2
MN丄面ABCD
N作NR丄BD于
C
/MRN即为二面角
C作CE丄BD于S
CE「上
BD
•MRN*rcta5
2
1
S.BDE二"2
.面角A-BD-C的余弦值为
所成的角。
〈6
二arcco-s
3
取CC'的中点
M',连结DM'
则平行四边形
DM'C'N是四边形AMC'N
在CC'D'D上的射影,
S□DM'C'M
12acos2=2
Q62a
V6
…二2二arccos——
6
6•如图AC丄面BCD,BD丄面ACD,若AC=CD=1,/ABC=30°,求二面角C-AB-D
的大小。
解:
作DF丄AB于F,CE丄AB于E,
AC=CD=1/ABC=30°
•••AD=2,BC=,3,
AB=2,BD=2
在Rt△ABC中,
ACBC1..33
CE===—
AB22
BF=.BD2-DF2=1
CD2二CE2DF2EF2-2EFDFcos
cos'
AB=AC=.6,AD=4,求
7.三棱锥A-BCD中,/BAC=/BCD=90。
,/DBC=30
面角A-BC-D的度数。
解:
由已知条件/BAC=90°,AB=AC,
设BC的中点设为O,则OA=OC=3
BC=23
DC=BCtan30°=2.3=2
3
22
ADAO
22
OCCD-2AOCDCOST
解之得:
cosV=
8.如图,四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是2,求:
二面角A—BD—C、
A—BC—D、B—AC—D的大小.
解析:
(1)取BD的中点O,连AO、OC.在AABD中,tAB=AD=、•2,
BD=2,
•△ABD是等腰直角三角形,AO丄BD,同理OC丄BD.
•/AOC是二面角A—BD—C的平面角
又AO=OC=1,AC=2,•/AOC=90°.即二面角A—BD—C为直二面角.
⑵•••二面角A—BD—C是直二面角,AO丄BD,•AO丄平面BCD.
•△ABC在平面BCD内的射影是△BOC.
•、3
•••SAOCB=2,SAABC=
、、3、/3
2,•cos0=3.即二面角A—BC—D的大小是arccos3
⑶取AC的中点E,连BE、
•BD丄AC,DE丄AC,•/
DE.•/AB=BC,AD=DC,
BED就是二面角的平面角.
在ABDE中,BE=DE=2,由余弦定理,得cosa=-3
•••二面角B—AC—D的大小是n-arccos3
评析本例提供了求二面角大小的方法:
先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角
形算出角的三角函数值,
或利用面积的射影公式S'=S-cose求得.又EG//AB,故易得tan
BE
ZAEG=tanZBAE=——
AB
9.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形,/A=60°,PC丄平面ABCD,PC=a,E是PA的中点.
(1)求证平面BDE丄平面ABCD.
(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面
角A—EB—D的平面角大小.
解析:
⑴设0是AC,BD的交点,连结EO.
•/ABCD是菱形,•••0是AC、BD的中点,
•/E是PA的中点,•E0//PC,又PC丄平面ABCD,
•E0丄平面ABCD,E0二平面BDE,•平面BDE丄平面ABCD.
(2)E0//PC,PC平面PBC,
•E0//平面PBC,于是点0到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.
作0F丄BC于F,
•/E0丄平面ABCD,E0//PC,PC二平面PBC,•平面PBC丄平面ABCD,于是0F丄平面PBC,0F的长等于0到平面PBC的距离.
aa■/33
由条件可知,0B=2,0F=2x2=4a,则点E到平面PBC的距离为4a.
⑶过0作0G丄EB于G,连接AG•/0E丄AC,BD丄AC•AC丄平面BDE
•AG丄EB(三垂线定理)AG0是二面角A—EB—D的平面角
仝0E0B、、3丄
•.•0E=2pc=2a,0B=2a•EB=a.「.0G=EB=4a又A0=2a.
A02.32.3
•tan/AG0=0G=3AG0=arctan3.
评析本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用•
10.如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别在棱AB、BC上,G在
11
对角线BD1上,且AE=4,BF=2,D1G:
GB=1:
2,求平面EFG与底面ABCD所成
的二面角的大小.
解析:
设G在底面ABCD上的射影为H,H€BD,
GHGB2
...DQ=DjB=3
2
•GH=3
VC
GH
面ABCD所成的二面角的平面角,tanB=HM
下面求HM的值.
建立如图所示的直角坐标系,据题设可知.
1
2)
即4x-6y-1=0.
由点到直线的距离公式可得
12
461
33
\4262
26.134.134.13
tg0=3•11=11,0=arctg11
说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在
11.如图,设ABC—A1B1C1是直三棱柱,E、F分别为AB、A1B1的中点,且AB=2AA1=2a,AC=BC=Q3a.
分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识
解
(1)•/AC=BC,E为AB中点,•••CE丄AB
又•••ABC—A1B1C1为直棱柱,•CE丄面AA1BB
连结EF,由于AB=2AA1
•AA1FE为正方形
•AF丄A1E,从而AF丄A1C
⑵设AF与A1E交于0,连结C0,由于AF丄A1E,知AF丄面CEA1
•••/COE即为二面角C—AF—B的平面角
•/AB=2AA1=2a,AC=BC=3a
、2a
22a
•CE=-2a,OE=2a,「.tan/COE=2=2.
•二面角C—AF—B的大小是arctan2.
12.如图ABCD-ABCQ是长方体,ab=2’AArAD",求二平面ABQ与ABCO
ARC1。
1,过A作AH丄I于H,连结AH.则ZAHA,为二面角AT-A的平面角.可求
1
KBB1MCC1日BK=;BB1
CM
=3CC1
4•.求:
平面AKM与ABCD所成角的大小.
解析:
于F,
由于连结
BCMK是梯形,则MK与CB相交于E.A、E确定的直线为I,过C作CF丄I
MF,因为MC丄平面ABCD,
CF丄l,故MF丄I./MFC是二面角M-l-C的平
面角.
设正方体棱长为
a,
CM=3a
则4
.在△ECM中,由BK//CM可得
1
EBaCF
2
3
■-5
tanMFC-故4
arctan垂
因此所求角的大小为4或
n-a—
4
14.如图,
将边长为
a的正三角形ABC按它的高
AD
为折痕折成一个二面角
C-AD-C
值.
(1)
(2)
(3)
若二面角
C-AD-C是直二面角,求
求AC与平面CCD所成的角;
CC的长;
若二面角C-AD-C的平面角为120°,
的平面角的正切
解析:
(1)若CDC=90,•/AC=a,•••
1
DC二DCa
2
CC」a
2
AD一DC,AD丄DC,「.AD
丄平面DCC
ACD为AC与
1DC「=DC=—AC
平面DCC所成的角,在Rt△ADC中,2,•••-DAC=30,于是
.ACD=60
(3)取CC的中点E,连结AE、DE,•/DC"=DC,AC"=AC,AE_CC,
AD2acGtan_AED2—=2.3.
DEla
4
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