最新求二元函数极限的几种方法资料.docx
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最新求二元函数极限的几种方法资料
1.二元函数极限概念分析
定义1设函数f在DR2上有定义,P0是D的聚点,A是一个确定的实数
如果对于任意给定的正数;,总存在某正数:
.,使得puo(p0^jnD时,都有
f(P)-A
则称f在D上当P>Po时,以A为极限,记limf(P)=A.
P仝
P.二D
上述极限又称为二重极限.
2.二元函数极限的求法
2.1利用二元函数的连续性
命题若函数f(x,y)在点(Xo,y°)处连续,则limf(x,y)二f(心y°).
(x,yl(xo,yo)
例1求f(x,y^x22xy在点(1,2)的极限.
解:
因为f(x,y^x22xy在点(1,2)处连续,所以
limf(x,
x_1\
y)2
2
二|im(x2xy)y_:
2
2
=12212
例2求极限
解:
因函数在1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即
2.2利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等
2-.xy4求lim
;:
?
xy
解:
lim
x,yj|0,o
(J(1+2x2)(1+3y2)-1Xj(1+2x2)(1+3y2)+1)原式lim
®艸)(2x2十3y2XJ(1+2x2)(1+3y2)+1)
22
+6xy
12x213y212x23y2'12x213y21
2.3利用等价无穷小代换
元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的
等价无穷小(u(x,y)r0),有sinu(x,y)L!
u(x,y);
2
-cosu(x,y)LU-3;
2
In1u(x,y)】Lu(x,y);tanu(x,y)LIu(x,y);arcsinu(x,y)LIu(x,y);
arctanu(x,y)LIu(x,y);n1u(x,y)—1Lu(x,y);eu(x,y^^u(x,y);同一元函
n
数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用•
求lim
x_少
yj0
解:
当x>0,
y>0时,有xy>
1
0.Jxy-1(xy),所以
2
lim
x)0
y0
1xy-1
xy
二lim
x)0
y—o
这个例子也可以用恒等变形法计算,如:
1
2(xy)
xy
2.4利用两个重要极限
要极限的推广.
lim^Q极限.霁x
沁刃>1,再利用极限四则运算可得:
XV
这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如:
当x>0,y>a时,xy>0,sin(xy)L|xy.
xy
=limlimy=a.
xxy0y—a
2.5利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
故可知,
=0.y
lim(3xy)sin1cos1yox
求畀富污
解原式=xs毎斜心
lim(x-3)=0是无穷小量,
3
y-2
(x-3)2(y-2)小
所以,lim22=0.
p(x-3)+(y-2)
虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的
乘积形式的极限的最简单方法之一.
2.6利用变量替换法
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,
从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理:
函数fx,y点xo,y0的取心领域内有定义的且cosa、cosb沿向量
(x-Xo,y-y0)的方向余弦,若二元函数的极限lim“+tcosa,yo+tcosbA,则
x,y=a;
1若A的值与a、b无关,则limf
(x,y片勺』0)
2若A的值与a、b有关,贝Ulimfx,y不存在;
(3於"0)
例10求lim(x2y2)e4xy)
x^—dr-'-O
y—
解lim(x2y2)e"y)=lim-
j找x—itoI1
y•:
:
yy-\-
1-cosJx?
+y2
tanxy
例ii求极限jj叫-
解:
令又呼也如*2=0显然满足定理的条件,则
TyT
1-cosX2y21-cosusinu1sinu221
lim22lim2lim2—二limcosu二
:
二0tanxyu)0tanuu2usecuu>02u2
2.7利用夹逼准则
元函数的夹逼准则:
设在点P0(X0,y。
)的领域内有
h(x,八f(X,八g(x,y),且(“呱血h(x,沪(x,y)呱,y°)g(x,y)=A(常数),
则limf(x,y)=A.但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩.(x,y)r(Xo,y°)
例12
卡I-x2+y2
求lim—
冯|x+|y|
解:
因为0兰x+y兰(1:
=x+y-»0(xt0,yT0),由夹逼准
x+|y||x|+|y|
lim
x_0
y_0
x2y2
1
lim22=0,
x》:
:
x2y2
y
sin(x
lim2—
x匸x2y》:
:
x
2.8先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限,然后用定义证明
解:
此例分2部考虑:
x-0,y_0
2
在0,0的极限.
例15.求fx,y=2xy4
x+y
2
解:
若函数fX,y=2xy4中动点px,y沿直线y=kx趋于原点0,0,
x+y
22.2232
xyxyxkxxk
贝Ulim24=lim24=lim二r~z=lim=0
x,yj|0,0xyx,yj|0,収xyx—qxkxx—ox1kx
存在;通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径,也就是说,我们沿动点px,y不仅任何路径而且还必须任意方向;
2.9利用极坐标法
当二元函数中含有x2y2项时,考虑用极坐标变换:
x=:
、cos’y=「sin:
通过综合运用恒等变换,不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参量「的函数g(「),进而求二元函数的极限.
例16计算(侧0,03+『閒舞
解:
极限中的二元函数含有x2y2,令x二Qcos'y="sin^,使得
解:
若令t为变量,使x二tcost,y=tsinv且八b2二1,则
=在运用此方法时注意,经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限
为a;若化简后的函数为g(r,r),但对于某个固定的九,g(6m)》0,仍不能判断函数的极限为a.
2.10利用累次极限法
般情况下,累次极限存在并不能保证二重极限存在,但二元函数f(x,y)
满足定理2的条件,就可以利用累次极限limlimf(x,y)或limlimf(x,y)来计
^^0yT0I*
算极限•
定理2若f(x,y)在点(X0,y°)存在重极限limf(x,y)与两个累次极限
(x,yKx0,y°)
limlimf(x,y),limlimf(x,y),则它们必相等.
X「x0yT0y“0x^xg
44
例18
xy
-22
xy
-x4+y4
x2y2
-x2
2/22、
y(y-x)
2丄2
xy
乞y2,-对任意
J+y4
而对yU°(0,、),limx2y=y2存在,
tx2+y2
根据定理1,得
这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算,如:
(1)用先估计后证明法:
解:
通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量,故极限
定义证明:
V®>0,
因为
x4y4
x2y2
-0<
4
x
22
xy
x2y2
x2y2,故要使
4
4
x
+Y
2
2
x
+y
4x
y4
x2y2
:
:
:
;,只要取:
.
V(x,y):
xy<5则
_0兰x2+y2
故(x,yl)im(0,0)
x4y4
x2y2e
(2)用极坐标法
x-「cosv,y-:
「sinv
因为
x4y4
P4(cos4日+sin40)
x2y2
;-2
P2(cos4+sin4日)兰2P2,
;lim0=0,阿/即=0,.由夹逼准则得,li.
m"(cos4丁sin4*=0,
x4y4
所以,(」)%)/".
11
例19求函数fx,y=xsin—ysin—的极限.yx
解:
limxsi
…0.
sin1ysin1y
=limlim:
X丿TT(
1i
xsinysin
y
当x>0,以y为常数
时,limsin1不存在,Tx
从而得原函数极限不存在;很显然,这种计算法是错的;
因为(丿耐
sin-
y
.1
ysin一
x丿
11xsinlimysin
yx"/x
,当x>0
时,x为无穷小量;y—•0时,
sin—为有界量,
y
从而得
=0,同样
所以
lim
(約试,0)i
xsin1ysin」yx
=lim
1
xsin—+limy
ysinl
….x
此例题我们推出:
如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性,所以应该要注意下列三点:
一)若累次极限存在且相等,而重极限不一定存在;
2222
o希中:
沙xmo希巳mo四厲"但詁朦。
)总不
存在。
二)虽然重极限存在,但不一定两累次极限存在;
lim
*.1+「
xsin—+ysin-
=0limlim
*.1+.1"xsin—+ysin-
,limlim
'.1*.1"xsin—+ysin-
(F,0)
iyx丿
yT^^0
iyx丿
yT
、、yx丿
两都不存在;
)两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存在性;
2.11利用取对数法
这一方法适合于指数函数求极限•对于二元指数函数,也可以像一元函数那样,先取对数,然后再求极限.
例20求
22
処(x2+y2)xy
y_0
解:
设
22
(x2y2)xy,则
22
Inu二x2y2ln(x2y2)二:
y2(x2y2)In(x2y2),而
x+y
22i
lim:
y2=lim-0,令x2y2=t,知,
y专x2y2y鸡,
1
-limt=0
1jo
yx
2222lnt
lim(xy)1n(xylimtlnt二[叫〒二[叫
t
故原式=e0=1;
2.12运用洛必达法则求二元函数的极限
例21求鳥)%0)閃仪勺xy2)(xy)]•
解:
由第一章定理7洛必达法则可知
jim(o,o)[sin(x2y+xy2)/(xy)]
2.13利用定义求二元函数极限
例22用定义验证:
lim伯x2xyy2=3.
解:
x2+xy+y2-3=(x2-1卅(y2-1)+(xy-1)
=(x—1(x+1)+(y—1(y+1)+(x—1y+(y—1)|
=|(x_1(x+y+1)+(y_1(y+22x_1|x+y十1+|y—*y+2
限定6aO,贝U|x—1<1,y—1
从而
x+y+1=x-1+y-1+3vx-1+y-1|+3c5,
y+2=y_1+3cy_1+3<4.
故
x2+xy+y2_3c5x-1+4y_l|c5qx_1+y_1).
设名为任意正数,取6=min1,兰〕,则当x_1v6,y-1<6,(x,y)式(2,1)时,就l10丿
有x2+xy+y2-彳£526=106c名.
和一元函数一样,在使用函数定义求极限的时候,也伴随有放缩,这时要注意是对两个自变量的同时限制.
在二元函数的定义中,要求P(x,y)任意方式趋于Po(xo,y。
)时,函数f(x,y)都无限接近于A.因此,很容易得到:
若在fx,y的定义域内存在两条不同的连续曲线y二gx,y二hx,且当x>xo时,g(x)y0,h(x)y0,但函数式
fx,y沿着这两条曲线逼近xo,yo时的极限却不同,或者一个存在,另一个不存在,则二元函数fx,y在此点不存在极限.
就这样,一道题有几种解法,哪个方法比较简单,比较合适就用哪个方法
2
即函数fx,y中动点px,y沿着无穷多个方向趋于原点时,它的极
x+y
限为0;但根据这个我们不能说它的极限为0;由于动点px,y沿着其它的路
径,比如沿抛物线y-匸趋于原点时,其极限为
22242
(x,y%冷[j陽x®占二从而判断出(x,y%贰不
4+4
xU°(0,、),limx-2一=x2—致的成立;
lx+y
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