湖南省长沙市长郡教育集团澄池杯竞赛 初赛初三数学试题卷word版含答案.docx
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湖南省长沙市长郡教育集团澄池杯竞赛初赛初三数学试题卷word版含答案
2019长郡集团“澄池”杯初赛数学试卷解析
试量:
90分钟总分:
100分姓名:
考号
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2019•台州)2019年台州市计划安排重点建设项目344个,总投资595200000000元.用科学记数法可将595200000000表示为()
A.5.952⨯1011B.59.52⨯1010C.5.952⨯1012D.5952⨯109
【解答】解:
数字595200000000科学记数法可表示为5.952⨯1011元.
故选:
A.
2.(2019•宁波)小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10
元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰,则她所带的钱还剩下()
A.31元B.30元C.25元D.19元
【解答】解:
设每支玫瑰x元,每支百合y元,依题意,得:
5x+3y+10=3x+5y-4,
∴y=x+7,
∴5x+3y+10-8x=5x+3(x+7)+10-8x=31.
故选:
A.
3.(2019•湖州)在数学拓展课上,小明发现:
若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中
4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是()
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
如图,经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分,由图形可知∆AMC≅∆FPE≅∆BPD,
∴AM=PB,
∴PM=AB,
∵
∴AB=
,
故选:
D.
4.(2019•青岛)已知反比例函数
的图象如图所示,则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()
A.B.C.D.
【解答】解:
当x=0时,y=ax2-2x=0,即抛物线y=ax2-2x经过原点,故A错误;
反比例函数
的图象在第一、三象限,
∴ab>0,即a、b同号,
当a<0时,抛物线y=ax2-2x的对称轴
,对称轴在y轴左边,故D错误;
当a>0时,b>0,直线y=bx+a经过第一、二、三象限,故B错误,C正确.故选:
C.
5.(2019•台州)如图是用8块A型瓷砖(白色四边形)和8块B型瓷砖(黑色三角形)不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案,图案中A型瓷砖的总面积不B型瓷砖的总面积之比为()
A.
B.3:
2C.
D.2:
2
【解答】解:
如图,作DC⊥EF于C,DK⊥FH于K,连接DF.
由题意:
四边形DCFK是正方形,∠CDM=∠MDF=∠FDN=∠NDK,
∴∠CDK=∠DKF=90︒,DK=FK,
(角平分线的性质定理,可以用面积法证明),
∴图案中A型瓷砖的总面积不B型瓷砖的总面积之比为
,
故选:
A.
二、填空题(共6小题)
6.使
有意义的x的取值范围是_______
【解答】解:
根据题意,得x-2≥0
解得,x≥2;
7.分解因式:
ax2-ay2=______
【解答】解:
原式=a(x2-y2)
=a(x+y)(x-y).
8.不等式组
的解为____
【解答】1 9.(2019•盐城)设x1、x2是方程x2-3x+2=0的两个根,则x1+x2-x1·x2=____. 【解答】解: 答案为1; 10.(2019•盐城)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于 点A、B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45︒,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式 是______ 【解答】解: 11.(2019•滨州)观察下列一组数: 它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n个数a=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(用含n的式子表示) 【解答】解: 12.(2019•舟山)如图,一副含30︒和45︒角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC不 EF重合,AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC 方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为_____cm;连接BD,则∆ABD的面积最大值为_______cm2. 【解答】答案为: 三.解答题(共64分) 13.(每小题3分,共6分) ⑴计算: ⑵先化简: ,再选取一个适当的x的值代入求值 【解答】⑴ ⑵ ,取x=1,得 14.(2019•滨州)某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高,并绘制了以下不完整的统计图. 请根据图中信息,解决下列问题: (1)两个班共有女生多少人? (2)将频数分布直方图补充完整; (3)求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数; (4)身高在170≤x<175(cm)的5人中,甲班有3人,乙班有2人,现从中随机抽取两人补充 到学校国旗队.请用列表法或画树状图法,求这两人来自同一班级的概率. 【解答】解: (1)总人数为13÷26%=50人, 答: 两个班共有女生50人; (2)C部分对应的人数为50⨯28%=14人,E部分所对应的人数为50-2-6-13-14-5=10;频数分布直方图补充如下: (3)扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为 (4)画树状图: 共有20种等可能的结果数,其中这两人来自同一班级的情况占8种, 所以这两人来自同一班级的概率是 . 15.(2019•滨州)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将∆BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG. (1)求证: 四边形CEFG是菱形; (2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积. 【解答】 (1)证明: 由题意可得, ∆BCE≅∆BFE, ∴∠BEC=∠BEF,FE=CE, ∵FG∥CE, ∴∠FGE=∠CEB, ∴∠FGE=∠FEG, ∴FG=FE, ∴FG=EC, ∴四边形CEFG是平行四边形, 又∵CE=FE, ∴四边形CEFG是菱形; (2)矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF, ∴∠BAF=90︒,AD=BC=BF=10, ∴AF=8, ∴DF=2, 设EF=x,则CE=x,DE=6-x, ∵FDE=90︒, ∴22+(6-x)2=x2, 解得,x= ∴CE= ∴四边形CEFG的面积是: 16.(2019•宁波)某风景区内的公路如图1所示,景区内有免费的班车,从入口处出发,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计).第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩,上午7: 40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林.离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示. (1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式. (2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间. (3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车? 如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟? (假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变) 【解答】解: (1)由题意得,可设函数表达式为: y=kx+b(k≠0), 把(20,0),(38,2700)代入y=kx+b,得 解得 ∴第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达为y=150x-3000(20≤x≤38); (2)把y=1500代入y=150x-3000,解得x=30, 30-20=10(分), ∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟; (3)设小聪坐上了第n班车,则 30-25+10(n-1)≥40,解得n≥4.5, ∴小聪坐上了第5班车, 等车的时间为5分钟,坐班车所需时间为: 1200÷150=8(分), 步行所需时间: 1200÷(1500÷25)=20(分), 20-(8+5)=7(分), ∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟. 17.(2019•南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元. (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元? (2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元? 【解答】解: (1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元, 根据题意得, , 解得: 答: 钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元; (2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元, ①当30≤b≤50时, a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13, w=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1b2+7b+600=-0.1(b-35)2+722.5, ∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700, ∴当30≤b≤50时,700≤w≤722.5; ②当50 700 ∴当30≤b≤60时,w的最小值为700元, ∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元. 18.(2019•天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上, ∠ABO=30︒.矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2. (Ⅰ)如图①,求点E的坐标; (Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平秱,得到矩形C'O'D'E',点C,O,D,E的对应点分别为 C',O',D',E'.设OO'=t,矩形C'O'D'E'不∆ABO重叠部分的面积为S. ①如图②,当矩形C'O'D'E'不∆ABO重叠部分为五边形时,C'E',E'D'分别不AB相交于点M, F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围; ②当 时,求t的取值范围(直接写出结果即可). 【解答】解: (Ⅰ)点A(6,0), ∴OA=6, ∴AD=OA-OD=6-2=4, 四边形CODE是矩形, ∴DE∥OC, ∴∠AED=∠ABO=30︒, 在Rt∆AED中,AE=2AD=8, ∵OD=2, ∴点E的坐标为 ; (Ⅱ)①由平秱的性质得: O'D'=2,E'D'= ,ME'=OO'=t,D'E'//O'C'//OB, ∴∠E'FM=∠ABO=30︒, ∴在Rt∆MFE'中,MF=2ME'=2t, ,其中t的取值范围是: 0 ②当S=时,如图③所示: O'A=OA-OO'=6-t, 解得: 或 (舍去), 当 时,如图④所示: O'A=6-t,D'A=6-t-2=4-t, 解得: , ∴当 时,t的取值范围为 19.(2019•金华)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点. (1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数. (2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标. (3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围. 【解答】解: (1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=-x2+2,函数图象如图1所示. ∵当x=0时,y=2,当x=1时,y=1, ∴抛物线经过点(0,2)和(1,1), 观察图象可知: 好点有: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个. (2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=-(x-3)2+5.如图2. ∵当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4, ∴抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4), 共线图象可知,抛物线上存在好点,坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4). (3)如图3中,抛物线的顶点P(m,m+2), ∴抛物线的顶点P在直线y=x+2上, ∵点P在正方形内部,则0 如图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外), 当抛物线经过点E时,-(2-m)2+m+2=1, 解得 或 (舍弃), 当抛物线经过点F时,-(2-m)2+m+2=2, 解得m=1或4(舍弃), ∴当 时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点。 20.(2019•自贡)如图,已知直线AB与抛物线C: y=ax2+2x+c相交于点A(-1,0)和点B(2,3) 两点. (1)求抛物线C函数表达式; (2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标; (3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到 直线 的距离? 若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解: (1)由题意把点(-1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c, 得, , 解得a=-1,b=2, ∴此抛物线C函数表达式为: y=-x2+2x+3; (2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K, 将点(-1,0)、(2,3)代入y=kx+b中, 得, 解得,k=1,b=1, ∴yAB=x+1, 设点M(a,-a2+2a+3),则K(a,a+1),则MK=-a2+2a+3-(a+1) 则 根据二次函数的性质可知,当 时,MK有最大长度 ∴S∆AMB最大=S∆AMK+S∆BMK ∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时, (3)如图2,设抛物线对称轴与直线 交于点E,抛物线顶点为Q, 作点E关于点Q的对称点F, 此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线 的距离, ∴Q(1,4),E(1, ) ∵点F不点E关于点Q对称,
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