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三角函数
三角函数
角θ的所有三角函数
三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数:
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中,三角函数也是常用的工具。
目录
1定义罕见三角函数
1单位圆定义
级数定义
三角函数线
1起源三角学问题的提出
1独立三角学的产生
1现代三角学的确认
1“正弦”的由来
1“弦表”问世
1补充:
60进制
1特殊角的三角函数同角三角函数关系式
1诱导公式
1三角函数对称轴与对称中心
1两角和与差的三角函数
1和差化积公式
1积化和差公式
1倍角公式
1三倍角公式
1n倍角公式
1半角公式
1辅助角公式
1万能公式
1降幂公式
1三角和的三角函数
1一些常用特殊角的三角函数值
1幂级数
1泰勒展开式
1傅立叶级数
1相关概念三角形与三角函数
1定义域和值域
1三角函数的画法(以y=sinx的图像为例)
1初等三角函数导数
1倍半角规律
1反三角函数
1高等数学内容总体情况
1复数域内正余弦函数的性质
1性质定理正弦定理
1余弦定理
1正切定理
三角函数在解三次方程中的应用
定义
1罕见三角函数
1单位圆定义
级数定义
三角函数线
起源
1三角学问题的提出
1独立三角学的产生
1现代三角学的确认
1“正弦”的由来
1“弦表”问世
1补充:
60进制
特殊角的三角函数
1同角三角函数关系式
1诱导公式
1三角函数对称轴与对称中心
1两角和与差的三角函数
1和差化积公式
1积化和差公式
1倍角公式
1三倍角公式
1n倍角公式
1半角公式
1辅助角公式
1万能公式
1降幂公式
1三角和的三角函数
1一些常用特殊角的三角函数值
1幂级数
1泰勒展开式
1傅立叶级数
相关概念
1三角形与三角函数
1定义域和值域
1三角函数的画法(以y=sinx的图像为例)
1初等三角函数导数
1倍半角规律
1反三角函数
高等数学内容
1总体情况
1复数域内正余弦函数的性质
性质定理
1正弦定理
1余弦定理
1正切定理
三角函数在解三次方程中的应用
定义
如右图,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言:
Rt△ABC
邻边(adjacent)b=AC 对边(opposite)a=BC 斜边(hypotenuse)h=AB 邻边(adjacent)b=AC
基本函数
英文
缩写
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sin
a/h
∠A的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cos
b/h
∠A的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tan
a/b
∠A的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot
b/a
∠A的邻边比对边
正割函数
Secant
sec
h/b
∠A的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
csc
h/a
∠A的斜边比对边
注:
tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。
罕见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数:
versin
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
vercosinθ=1+cosθ
余矢函数
coversinθ=1-sinθ
covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数
haversinθ=(1-cosθ)/2
havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函数
hacoversinθ=(1-sinθ)/2
hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,
三角函数
单位圆的方程是:
x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于等于2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:
对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是2π弧度或360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或180°。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角kπ附近变化缓慢,而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷.
三角函数
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定 义,类似于历史上使用的几何定义。
特别是,对于这个圆的弦AB,这里的θ是对向角的一半,sinθ是AC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。
cosθ是水平距离OC,versinθ=1-cosθ是CD。
tanθ是通过A的切线的线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。
cotθ是另一个切线段AF。
secθ=OE和cscθ=OF是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE是exsecθ=secθ-1(正割在圆外的部分)。
通过这些构造,容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散,而余割和余切在θ接近零的时候发散。
级数定义
只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦。
(在微积分中,所有角度都以弧度来度量)。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立:
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如,在傅立叶级数中),因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑。
这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
其他级数可见于:
注:
Un是n次上/下数, Bn是n次伯努利数,
三角函数线
依据单位圆定义, 我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l。
那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值。
OP的延长线(或反向延长线)与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负。
1.锐角三角函数定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边; 余弦(cos)等于邻边比斜边; 正切(tan)等于对边比邻边; 余切(cot)等于邻边比对边; 正割(sec)等于斜边比邻边; 余割(csc)等于斜边比对边。
2.互余角的三角函数关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα。
3.同角三角函数间的关系 商数关系:
sinA/cosA=tanA ·平方关系:
sin^2(A)+cos^2(A)=1 ·积的关系:
sinA=tanA·cosA cosA=cotA·sinA cotA=cosA·cscA tanA·cotA=1 ·倒数关系:
直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4.三角函数值
(1)特殊角三角函数值
(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。
(3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时, 0≤sinα≤1,1≥cosA≥0, 当角度在0°<∠A<90°间变化时, tanA>0,cotA>0. 特殊的三角函数值
A
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1/2
√2/2
√3/2
1
cosA
1
√3/2
√2/2
1/2
0
tanA
0
√3/3
1
√3
None
cotA
None
√3
1
√3/3
0
“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
起源
“三角学”,英文Trigonometry,法文Trigonometrie,德文Trigonometrie,都来自拉丁文Trigonometria。
现代三角学一词最初见于希腊文。
最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂
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