第九章 95 第2课时椭 圆的基本性质.docx
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第九章95第2课时椭圆的基本性质
第2课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是( )
A.m>1B.m>0
C.0 答案 D 解析 方法一 由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 则0<≤1且m≠5,故m≥1且m≠5. 方法二 由 消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0. 由题意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R恒成立, 即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立, 由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5. 2.已知直线l: y=2x+m,椭圆C: +=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立, 得方程组 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3 (2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题 例1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( ) A.2B.C.D. 答案 C 解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0, 则x1+x2=-t,x1x2=. ∴|AB|=|x1-x2|=· =·=·, 当t=0时,|AB|max=. 命题点2 中点弦问题 例2 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x+2y-3=0 解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).由 消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, ∴x1+x2=,又∵x1+x2=2,∴=2, 解得k=-. 故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,① +=1,② ①-②得+=0, ∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴+y1-y2=0,∴k==-. ∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|==(k为直线斜率). (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. 跟踪训练1已知椭圆E: +=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M: (x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程. 解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d==, 由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==. (2)方法一 由 (1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=. 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, x1x2=, 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=, 从而x1x2=8-2b2. 于是|AB|=|x1-x2|==, 由|AB|=,得=,解得b2=3, 故椭圆E的方程为+=1. 方法二 由 (1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,② 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x+4y=4b2,x+4y=4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==, 因此直线AB的方程为y=(x+2)+1, 代入②得x2+4x+8-2b2=0, 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2, 于是|AB|=|x1-x2|==. 由|AB|=,得=,解得b2=3, 故椭圆E的方程为+=1. 题型三 椭圆与向量等知识的综合 例3 (2019·杭州质检)已知椭圆C: +=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点的横坐标为,且=λ(其中λ>1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)求实数λ的值. 解 (1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=,∴a=2, 故b2=a2-c2=3, ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)由=λ,可知A,B,F三点共线, 设点A(x1,y1),点B(x2,y2). 若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意; 当AB所在直线l的斜率k存在时, 设l的方程为y=k(x-1). 由消去y得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.① ①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12) =144(k2+1)>0. ∵ ∴x1+x2==2×=,∴k2=. 将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0, 解得x=. 又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ, 即1-x1=λ(x2-1),λ=,又λ>1,∴λ=. 思维升华一般地,在椭圆与向量等知识的综合问题中,平面向量只起“背景”或“结论”的作用,几乎都不会在向量的知识上设置障碍,所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想. 跟踪训练2(2018·浙江名校联盟联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2. (1)求椭圆C的方程; (2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足=+,求四边形OAPB的面积. 解 (1)由题意得c=1,a=2,b=, 故椭圆C的方程是+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 直线AB: y=kx+m,由 消去y,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 故Δ=48(4k2+3-m2)>0且 由=+,可得 又点P在椭圆C上, 所以+=1, 其中x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 代入+=1中,可得4m2=3+4k2. |AB|=|x1-x2|=·, 设点O到直线l的距离为d,则d=. 所以四边形AOBP的面积 S=|AB|d===3. 1.若直线mx+ny=4与⊙O: x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( ) A.至多为1B.2 C.1D.0 答案 B 解析 由题意知,>2,即<2, ∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2. 2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2. 联立解得交点坐标为(0,-2),, 不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=, ∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB| =×1×=, 故选B. 3.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.B.-C.2D.-2 答案 B 解析 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8,y1+y2=4, 两式相减,得+=0, 所以=-, 所以k==-.故选B. 4.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( ) A.+y2=1B.+=1 C.+=1D.+=1 答案 C 解析 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1. 5.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( ) A.-3B.- C.-或-3D.± 答案 B 解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.所以两个交点坐标为 A(0,-1),B,所以·=(0,-1)·=-.同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-. 6.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D 解析 ∵(+)·=(+)·=·=0, ∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°. 设|PF1|=m,|PF2|=n, 则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2, ∴ =mn=1. 7.直线y=kx+k+1与椭圆+=1的位置关系是________. 答案 相交 解析 由于直线y=kx+k+1=k(x+1)+1过定点(-1,1),而(-1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交. 8.(2018·浙江余姚中学质检)若椭圆C: +=1的弦被点P(2,1)平分,则这条弦所在的直线l的方程是______________,若点M是直线l上一点,则M到椭圆C的两个焦点的距离之和的最小值为________. 答案 x+2y-4=0 解析 当直线l的斜率不存在时不满足题意,所以设l的斜率为k,椭圆C: +=1的弦被点P(2,1)平分,由点差法得k=-,代入已知的中点P的坐标得到直线方程为x+2y-4=0.设点M(x,y),点F2(3,0)关于x+2y-4=0的对称点为F2′,连接F2′F1,交直线于点M,此时距离之和最小,最小值为|F2′F1|==. 9.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=________. 答案 解析 设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,且∠AFB=90°,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=. 10.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则=________. 答案 2 解析 不妨取直线MN⊥x轴,椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=, 所以y=±,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2, 则==2. 11.设F1,F2分别是椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点,E的离心率为,点(0,1)是E上一点. (1)求椭圆E的方程; (2)过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且=2,求直线BF2的方程. 解 (1)由题意知,b=1,且e2===, 解得a2=2,所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为x=my-1, 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(m2+2)y2-2my-1=0, 则y1+y2=,① y1y2=-,② 因为F1(-1,0), 所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1), 由=2可得-y2=2y1,③ 由①②③可得B, 则 =或-, 所以直线BF2的方程为 y=x-或y=-x+. 12.(2019·绍兴质检)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(3,1). (1)求椭圆的标准方程; (2)过点P(6,0)的直线l交椭圆于A,B两点,Q是x轴上的点,若△ABQ是以AB为斜边的等腰直角三角形,求l的方程. 解 (1)设椭圆C的焦距为2c, 由离心率e==及a2=b2+c2,得a2=3b2, 则椭圆的方程为+=1, 代入点(3,1)得+=1,解得b2=4,则a2=12, 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)设AB的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l: x=ty+6,则由 得(t2+3)y2+12ty+24=0, 由Δ>0,得t2>6,y0=,x0=ty0+6=, 则AB的中垂线方程为y+=-t, 所以Q. 易知点Q到直线l的距离为d==, |AB|=·=, 所以6=2·,解得t2=9,满足t2>6,则t=±3, 所以直线l的方程为x±3y-6=0. 13.(2018·台州模拟)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 方法一 ∵|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1, ∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=·|F1F2|,∴AF1⊥AF2, 从而△AF1F2∽△OMF2,∴==, 又|AF1|2+|AF2|2=(2c)2, ∴|AF1|=c,|AF2|=c, 又∵|AF1|+|AF2|=2a,∴c=2a,即=. 故选D. 方法二 ∵|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上,在Rt△MOF2中,tan∠MF2O==, 设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1, ∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=|F1F2|, ∴AF1⊥AF2,∴tan∠AF2F1==, 设|AF1|=x(x>0),则|AF2|=2x,∴|F1F2|=x, ∴e====,故选D. 14.已知椭圆+=1(a>b>0)短轴的端点为P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为__________. 答案 b 解析 设A(x0,y0),则B点坐标为(-x0,-y0), 则·=-,即=-, 由于+=1,则=-, 故-=-,则=,不妨取M(a,0),则直线QM的方程为bx-ay-ab=0, 则点P到直线QM的距离为d===b. 15.平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=2,则直线AD的斜率k2等于( ) A.B.-C.-D.-2 答案 C 解析 设AB的中点为G,则由椭圆的对称性知,O为平行四边形ABCD的对角线的交点,则GO∥AD. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有两式相减得=-, 整理得=-=-k1=-2, 即=-.又G, 所以kOG==-,即k2=-,故选C. 16.过椭圆+=1(a>b>0)上的动点M作圆x2+y2=的两条切线,切点分别为P和Q,直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F,求△EOF面积的最小值. 解 设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意知PQ的斜率存在,且不为0,所以x0y0≠0, 则直线MP和MQ的方程分别为x1x+y1y=,x2x+y2y=.因为点M在MP和MQ上,所以有x1x0+y1y0=,x2x0+y2y0=,则P,Q两点的坐标满足方程x0x+y0y=,所以直线PQ的方程为x0x+y0y=,可得E和F, 所以S△EOF=·|OE||OF|=, 因为b2y+a2x=a2b2,b2y+a2x≥2ab|x0y0|, 所以|x0y0|≤, 所以S△EOF=≥, 当且仅当b2y=a2x=时取“=”, 故△EOF面积的最小值为.
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