第三章非惯性参考系习题解答docx.docx
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3.1、一船蓬高4加,在雨中航行时,它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后2加的甲板;但当停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3加处。
如果雨点的速率是8m/5o求船航行的速率弘解:
由题意设雨的绝对速度为0,雨的相对速度为丁,船航行的速度为历,数据如图所示。
则有0=丁+%
在速度三角形AA5C中,正弦定理:
m/s=8m/s
U_V_V
2c
积分有fydt=[—xdt=[—x—dx=I—xdx
kdKddx丄0ud
解得y——x2Xq,(0 udud2 小船位于河岸的右侧内(£WA: 。 Wd): X-Uy=vt=¥(d_x) a 积分有fydt=(-(d-x)dt=f-(d-x)—dx=f—(d-x)dx山山dhddxhud cd 解得y=—[(%0—rf)2—(x—rf)2],(—XjXqud2 所以小船的航行轨迹为: C2C2c,,d"y—-兀兀。 ,(0 udud2 cd 、y--[(兀。 一-(x-t/)2],(—^x,x0 ud2 若小船位于河岸的左侧内(0 若小船位于河的中心号,当抵达河岸时,—,那么 cd /贏 所以小船位于河岸的左侧内(0 22uud //厂 若小船位于河岸的右侧內 2ud 若小船从河岸的左侧出发,xo=O,那么y=— 2u 3.3>一圆盘以匀角速度历绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。 一质点M沿圆盘上的弦,以恒定的相对速度历运动,如图所示。 已知该弦离盘心的距离为b。 求在以地面为参考系时,质点M的速度和加速度(表示成质点M离弦中点的距离兀的函数)。 解: 在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角处标系O-xyz,地面为惯性系。 贝U: —►»—►—► vM=040。 +历x产=丁+历><戶=加+a)kx(xi+bj) ~(u-a)b)i+coxj 7-*/7*f aM=—^-=一+a)xvM=coiij+a>kx[(u-(ob)T+血力] dtdt 二-co2xi+(2a)u-a^b)j 或利用鬲=a,+a0+^xr,+d? x(d? xr,)+2d? xv,可直接求出。 3.4、一飞机在赤道上空以速率1000km/h水平飞行,考虑到地球的自转效应,分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系,不随地球转动的坐标系)的速率: ⑴向北飞行 (ii)向西飞行 (iii)向东飞行。 已知地球半径为6370km 解: 建立如图所示的直角处标系O-xyz,使飞机位于x轴上。 则方=a)k~7.29xlCT’rad/$(£) 飞机位于赤道上空以速率1000km/h水平飞行, 则v'=1000km/hq2.78xl02m/s r'=r'i=6.37xl06m(z) v=v'+vt+a)xr'=v'+a)xr' (i)向北飞行,那么v'=v'kv=v,+®xr'=2.78xl02m/s(k)+7.29x105raJs(k)x6.37xl06m(i) «2.78x10%/s(£)+464.37加/s(J) 所以v=7(2.78x102)2+(464.37)2/m/s®541〃? /s (ii)向西飞行,那么v'=~v'j v=v'+<5xr'=-2.78xl02/M/5(j)+7.29xl0~5racZ/s(k)x6.37x106m(i)®-2.78x10%/s(j)+464.37m/s(j)~186m/s(j) (iii)向东飞行,那么v'=v'j v=v'+a)x7'=2.78x102m/5(J)+7.29xIO-5rad/s(k)x6.37x106m(F)®2.78xl02m/5(j)+464.37m/5(j)«742m/s(j) 3.5、一契子,顶角为a,以匀加速度a。 沿水平方向加速运动。 质量为肌的质点沿楔子的 光滑斜面滑下,如图所示。 求质点相对于楔子的加速度/及质点对楔子斜面的压力尸 解: 建立如图所示的直角处标系附着在楔子上。 在0-xyz中的受力分析如图所示。 则有: FNj-mgcosaj-ma0sinccj-0 (1) mgsinai一ma0cosai=ma' (2) 由 (1)式可求得: FNj=m(gcosa+sina)j 所以质点对楔子斜面的压力F=-Fn=-m(gcosa+aQsina)j 由⑵式可求得: /=(gsinq-a。 cosa)i ap2 0为积分待定常数 联立求得y=—他COS",即物体落到初始位置在地板的投影点后面他COS"处。 g+sinag+sinoc 3.7、一单摆摆长为/,悬挂点O'在水平线上作简谐振动: x=asinpt。 这里兀是悬挂点离 开水平线上的固定点0的距离,如图,开始时摆锤铅直下垂,相对于0’的速度为零。 证明单摆此后的微小振动规律为0=「伽P-fsm怕'式中T解: 以0’点为极点,竖直向下为极轴,受力分析如图所示。 因x=asinpt,所以丘=apcospt,x=-ap2sinpt n巾2 当&角度很小时,有sin&a&,cos^=l-2sin2—«1 22 由牛顿第二定律,在横向有: -m壬cos&_mgsin&=mlD 代入龙,sin。 cose可得: 外汁平sin吩0 易知0+—0=0的通解为: 0x=AcosQ—t+^),式中A, 所以0+^0-^sinpt=0的通解为: 0=&1+g=AcosL—t+cp)H——sinpt VIg~PI 4-心sin(柑w)+炸cos” 代入初始条件,20时,0"宀。 可得: 。 誇,心££ 所以有: 0=―。 卩,g-p'iVgv/ 3.8、一竖直放置的钢丝圆圈,半径为r,其上套有一质量为加的光滑小环。 今若钢丝圈以 匀加速度云竖直向上运动,求小环相对于钢丝圈的速率II和钢丝圈对小环的作用力大小Fn' 已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角(p=(p0,小环的相对速率 U=UQ 解: 以。 点为极点,竖直向下为极轴,建立平面极坐标系。 受力分析如图,则有: 径向: m(ga)cos(p-FN'-mu11r (1) 横向: m(g+6/)sin^=mu (2) 初始条件: t=0时,0=%,u=uQ(3) 对⑵变形: /、.dud(pdud(pduudu m(g+a)sm^=mu=m——=m=m=m dtdtd(pdtd(prd(p 分离变量: (g+a)rsin(pd(p=udu +(g+a)厂cosq+C=0,代入(3)有: C=—*“o2-(g+a"cos0o 所以况=+2厂(g+Q)(COS0o—cos©)(负根舍去) 代入 (1)有Fn'=〃(g+q)(3cos0—2cos0o)- 3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘,以恒定角速度历绕固定的圆盘屮心转动。 有一质量为加的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率"向圆盘的边缘走动。 试分别利用: (a)地面惯性系 (b)圆盘非惯性系,讨论圆盘对人的作用力。 解: 受力分析如图示,左图为地面惯性系屮人受力情况,右图为圆盘非惯性系屮人受力情况 那么相对速度: v'=u=uer,相对位移为: r'=r=rer,角速度为: a)=a)eb (a)地面惯性系屮,由受力图示分析可知: 圆盘对人的作用力为: N+f v=v'+3xr'=u+(oxr=uer+(oebxrer=uer+a)reg d〃* a=——=—(uer+coree)-—(uer+coree)+coebx(uer+coree)dtdtdt =a)ree+couee-a>2rer=2couee_cd1rer 由牛顿第二定律知: N+mg=0,即斤=mgeb 7V+/+mg=f=ma=m(2a)ue0-co2re=-ma^rer+2ma)uee 所以圆盘对人的作用力为: N+f=-ma)2rer+2ma)uee+mgeb 由于都为常数,所以圆盘对人的作用力只跟厂有关。 (b)圆盘非惯性系中,受力分析如图所示,人匀速行走。 所以有: N+mg=0,即代=mgeb f一mo)xti-mS)x(d? xr)=0 即7=2mS)xw+mo)x(d? xr)=2ma)ebxuer+ma)ebx{coebxrer)=-ma)2rer+2ma)uee所以圆盘对人的作用力为: N+f=-mco1rer+2mcouee+mgeb 由于m^co.g都为常数,所以圆盘对人的作用力只跟厂有关。 3.10、半径为z•竖直放置的光滑圆环,绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度历转动。 在此圆环上套有一质量为m的小环,自&=疋/4处相对于圆环无初速地沿环下滑。 问小环的位置&为何值时,它的滑动将开始反向? 这里0是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。 解: 以圆环为参考系。 受力分析如图所示。 小环受到重力,人圆环的支持力,科里奥利力 Fc=2mv'xd? =ImcorOcos0和惯性离心力F.=mo)x(历x产)=mco2rsm0。 在整个运动过程中只有重力mg和惯性离心力E做功。 对小环由动能定理有: -cos0)+ 即mQr(—-cos&)+『mco2r2sincos0dO-—mv222 开始反向时,v=0 即—cos20+cos0-—-—=O 2g24g 2[◎ 解得: cos&=£—[—l±(l+£=^)]=2L 07J2g2gV2 显然取cosO=—■,即6=arccos(—■-—)Ht,小环开始反向运动。 a)~r2a)~r2 3.11、一内壁光滑的管子,在水平面内绕通过其端点0的的铅直轴,以恒定的角速度历转动。 管内有一质量为加的质点,用一自然长度为/,劲度系数为k的弹簧和管子的端点0相连,设初始时质点到0的距离为x=ZMx=0o求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力Fn 解: 取0点为原点,建立附着在管子上的直角坐标系0-xyz。 质点受到重力mg,管壁的压力Fn,弹簧的张力Ft=-k(x-l)i, 科里奥利力Fc=2mv'xa)~-2ma)jcj和惯性离心力E--ma)x(a)'xr')=marxi 若假定质点偏离平衡位置向x轴正向移动,受力分析如图示,由牛顿第二定律知: Fc+mg+N=Q FT+^=mxi ―►―►―►―» 即N=—mg-Fc=mgk+Imcoxj -k(x-l)i+mco2xi=mxi 化简: 丘+(£—/)X—也=0 mm 设x+(--®2)x-—=0的特解为心=B,其中B为常数 mm kl 代入可得: X2=B=2 k-mco 所以x+((t? 2-—)%+—=0的通解为: x=xr+x2=AcosQ/—-a^t+cp)^- mm\mk—mo 代入初始条件,t=0时,x=l,x=Q可得: 3.12、质量为加的小环套在半径为r的光滑圆圈上,若圆圈在水平面内以匀角速度历绕其圆周上的一点转动。 试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程(以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度0为参量写出)。 设圆圈对小环的作用力大小用丘表示,并可略去 、珅 小环的重力。 解: 由于略去了小环的重力,所以在选取圆圈为参考系屮,小环的受力如图所示,小环受到圆圈的作用力FNen,科里奥利力Fc-2mv'xo)=-2ma)v'en--2ma)r0en 小环相对0点的惯性离心力E=m<5x((»xr')=-ma)2ren 0相对4点有向心加速度,小环的惯性力: Fo=-ma0=mco2reAO 那么小环的运动学方程为: 切向: Fosin(”—&)=mrO,即0—6? sin&=0 dtm 法向FN-Fc-Fi-Focos(兀—ff)=mrO2,即休,一2ma)r0-ma)2r+marrcos0=mrO2事实上,v=v0+v'=<5xr4O+0^rOm,a=—=丛求得。 3.13、一质量为加的质点,位于光滑的水平平台上,此平台以匀角速度历绕通过平台上一定点0的铅直轴转动。 若质点受到0点的吸引力F=-ma)2r作用,这里/是质点相对于0点的径矢。 试证明: 质点在任何起始条件下,将绕0点以角速度历作圆周轨道运动。 证明: 水平台以匀角速度方绕通过平台上一定点。 的铅直轴转动。 取水平平台为参考系。 水平平台光滑,质点受到重力加直、平台的支持力丘和0点的吸引力F=-ma^r以及惯 性离心力F'=marr„ 质点在竖直方向上没有离开水平平台,有: mg+FN=0,在水平方向F+F'=0 所以质点相对水平平台静止,故小球绕O点以角速度历作圆周轨道运动。 或者利fflv-^F=0证明。 3.14、一抛物线形金属丝竖直放置,顶点向下,以匀角速率e绕竖直轴转动。 一质量为加的光滑小环套在金属丝上。 写出小环在金属丝上滑动时的运动微分方程。 已知金属丝构成的抛物线方程为x2=4ay,这里a为常数。 解: 如图,取顶点为原点,建立直角坐标系O-xyz附着在多属丝上。 在O-xyz中,小环受到重力mg=-mgj, 科里奥利力Fc=2mv'x历=-2ma)v'k, 惯性离心力Fo=mcox(a» 金属丝的作用力Fn=-Fj+FNyj+FN: k 由牛顿第二定律可得: x方向: 一丿+房=加划,即FNx=m(a)2x-x)y方向: FNyj-mgj=myj,即FNy=m(g+y) Z方向: FNzk^~FC=mzk=0,即FNz=2ma)v*=Imco^x2+y2(3) 又金属丝构成的抛物线方程为x2=4ay,求一阶导化简得: ^=—=tg0=^(4) dx2aFNy —阶导为: 歹=—(%2+XX) 2a 联立 (1)、 (2)、(4)可求得: F t2••2•• Nx_60X_X_CDX—X_X Fn「s+y—g+丄(亍+点「2d 2a 化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程: (1H■—LX2)XH——LXX2+(g—)兀=0 4a24a 3・15、在北纬2处,一质点以初速率勺竖直上抛,到达高度力时又落回地面。 考虑地球的自转效应,不计空气的阻力,求质点落地位置与上抛点之间的距离;是偏东还是偏西? 为什么解: 取抛点为原点,建立直角坐标系0-兀%附着在地面上。 其中Ox轴指向正南,轴指向正东,Oz轴竖直向上。 质点只受到重力,故质点的运动学方程为: mx=Imcoysin2 (1) my=-2mco(xsin2+zcos2) (2) mt——mg+2ma)ycos2(3) 质点初始时刻的运动状态为: t=0时,x=y=z=0x=y=0,z=v0对 (1)、 (2)、(3)积分并代入初始条件得: x=2(vysin2 y=sin2+zcos2)(5) (6) 因«7.292x10-5,忽略/项。 把(5)式代入⑴、⑶式可得: x«0,z^-g 质点落地时,对于竖直上抛后落地时间为/=彳単=如圈g把(4)、(6)式代入 (2)式可得: y-4<2? 2y+2^? cos2(v0一gt)=0,即y+2^cos2(v0-gt)^0 积分两次并代入初始条件得: y=®cos2(|g/3-v0t2) 把时间代入町得: y=--®/7—cos! 偏西 3Vg 3.16、在北纬2的地方,以仰角a向东方发射一炮弹的出口速率为v,考虑地球的自转效应, 4V3 证明炮弹落地点的横向偏离为d=一<2? sin/lsin2acosa g 解: 取发射点为原点,建立直角坐标系O-xyz附着在地面上。 其中0兀轴指向正南,(〃轴 指向正东,Oz轴竖直向上。 炮弹只受到重力,故炮弹的运动学方程为: mx=Imcoysin2 (1) my=-2mco(xsin2+zcos2) (2) mt-—mg+2ma)ycos2(3) 炮弹初始时刻的运动状态为: t=0时, x=y=z=0,x=0,y=vcosa,i=vsina 对 (1)、 (2)、(3)积分并代入初始条件得: x=2(vysin2y=vcosa-2co(xsin2+zcos2) z=vsina-gt2a)ycos2 因"01,故宀s+m所以2岁(1+肋 4V3 对(7)式积分两次并代入初始条件得: xu妙cosasin2•八u—eosin2sin2acosag 2d d2c 河的右侧(— )水流速率为: Vt=——(J-X) 2d 由速度变换关系知: v-vt-\-u=xi+刃=vj+ui 小船位于河岸的左侧内(0 X-U .2c y=^t=—^ a
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