20平行四边形的判定.docx
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20平行四边形的判定
20.1平行四边形的判定
(1)亢志明
教学目标
1.使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形;
2.理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形。
教学重点和难点
重点:
平行四边形的判定定理;
难点:
掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。
教学过程
(一)复习提问:
1.什么叫平行四边形?
平行四边形有什么性质?
(学生口答,教师板书)
2.将以上的性质定理,分别用命题形式叙述出来。
(如果……那么……)
根据平行四边形的定义,我们研究了平行四边形的其它性质,那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢?
除了定义还有什么方法?
平行四边形性质定理的逆命题是否成立?
(二)新课
一.平行四边形的判定:
方法一(定义法):
两组对边分别平行的四边形的平边形。
几何语言表达定义法:
∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形
解析:
一个四边形只要其两组对边分别互相平行,
则可判定这个四边形是一个平行四边形。
活动:
用做好的纸条拼成一个四边形,其中强调两组对边分别相等。
方法二:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
设问:
这个命题的前提和结论是什么?
已知:
四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC
求证:
四边ABCD是平行四边形。
分析:
判定平行四边形的依据目前只有定义,也就是须证明两组对边分别平行,当然是借助第三条直线证明角等。
连结BD。
易证三角形全等。
(见图1)
板书证明过程。
小结:
用几何语言表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明一个四边形是平行四边形的方法为:
判定一:
二组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形
练习:
课本P103练习题第1题。
例题讲解:
例1已知:
如图3,E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点,连结BE、DF。
求证:
分析:
由我们学过平行四边形的性质中,对角
相等,得若证明四边形EBFD为平行四边形,便可得到
,哪么如何证明该四边形为平行边形呢?
可通过证明ΔABE≌ΔCDF得BE=DF;由AD=BC,E、F分别为AD和BC的中点得ED=FB。
练习:
2.已知如图7,E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=CG,BF=DH。
求证:
四边形EFGH是平行四边形。
(让学生板演)
图7
本课小结:
一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形这个判定定理来判定一个四边形是平行四边形。
作业布置:
课本P100第4题、第7题。
20.1平行四边形的判定
(2)
教学目标:
1、掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点:
掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形。
教学难点:
判定定理的证明方法及运用。
教学过程:
一.复习引入:
(1).我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形?
(提问回答)
二、新课讲解
设问:
若一个四边形有一组对边平行且相等,能否判定这个四边形也是平行四边形呢?
活动:
课本探究内容,并用事准备好的纸条(纸条的长度相等),先将纸条放置不平行位置,让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点,则组成的四边形是不是平行四边形?
若将纸条摆放为平行的位置,则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形?
设问:
我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢?
(让学生找出题设、结论,然后写出已知、求证及证明过程。
)
小结:
平行四边形判定方法五:
前提:
若一个四边形有一组对边平行且相等。
结论:
这个四边形是一个平行四边形。
如图用几何语言表达为:
∵AB=CD且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
平行且相等可用符号“”,读作“平行且相等”。
∵ABCD
∴四边形ABCD是平行四边形
三.例题讲解:
例1:
已知:
E、F分别为平行四边形ABCD两边
AD、BC的中点,连结BE、DF
求证:
图3
分析:
今天我们证明角相等,除了平行线,全等三角形外,又多了一个新方法,可以证明平行四边形对角相等,即只要四边形EBFD是平行四边形。
由已知平行四边形ABCD的性质可得DE//BF,又AD=BC,E、F为中点则有DE=BF,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理,可得四边形EBFD是平行四边形。
证明由学生完成。
提问:
此题还有什么方法,证明四边形BEDF是平行四边形。
学生会想到证明
,得到BE=DF,利用两组对边相等证明四边形是平行四边形。
但应指出第二种方法较第一种方法繁,也就是说要找出较简捷的证法,准确地使用判定定理,就要先分析图形的性质,及所具备的条件。
练习:
课本练习
小结
今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形,注意满足两个条件。
注意:
若一组对边平行,另一组对边相等,是不可以判定为平行四边形的,它是梯形。
作业布置:
1.课本.练习册相关内容。
20.1平行四边形的判定(3)
教学目标:
1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算;
2.理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算;
3.培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
教学重点:
理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形,两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。
教学难点:
判定定理的证明方法及运用。
教学过程:
一.复习导入
1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,要什么条件?
2.用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么?
3.平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达?
是否是真命题?
二、新课讲解:
设问:
“对角线互相平分的四边形是平行四边形。
”这一命题的前提什么?
结论又是什么?
活动:
用事先准备好的纸条按课本探究方法做,让学生判定这个四边形是否是平行四边形。
判定方法三:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
这个方法的前提是什么?
结论又是什么?
已知:
如图:
在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,OA=OC,OB=OD。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
分析:
证明这个四边形是平行四边形的方法有:
(1)两组对边分别相等;
(2)平行四边形的定义:
两组对边分别平行。
(较简单的)
板书证过程。
小结:
由刚才证明可得,只要有对角线互相
平分,可判定这个四边形是平行四边形。
几何语言表达:
∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形
例题讲解:
课本P96例3。
分析:
由题意可得OB=OD,再由OA=OF,AE=AF,可得OE=OF。
可证四边形EBFD是平行四边形。
设问:
若是两组对角分别相等的四边形,是不是平行四边形?
前提是什么?
结论是什么?
AB
已知:
在四边形ABCD中,∠A=∠C
∠B=∠D。
DC
求证:
四边形ABCD是平行四边形(让学生板书,然后小结)
练习:
延长三角形ABC的中线BD至E,
使DE=BD,连结AE、CE,如图,
求证:
∠BAE=∠BCE。
证明方法:
由对角线互相平分可证四边形ABCE为平行四边形,可得∠BAE=∠BCE。
本课小结:
目前,我们研究平行四边形的哪些性质和判定:
平行四边形的性质:
对边平行;对边相等;对角线互相平分;夹在平行线间的平行线段相等;对角相等;邻角互补;
平行四边形的判定:
两组对边平行;两组对边相等;两组对角相等;对角线互相平分的四边形;
作业布置:
1、熟记判定定理;
2.课本作业
20.2矩形
(1)
教学目标
1.掌握矩形的定义,知道矩形与平行四边形的关系.
2.掌握矩形的性质定理.
教法设计:
观察、启发、总结、提高,类比探讨,讨论分析,启发式.
教学重点:
矩形的性质及其推论.
教学难点:
矩形的本质属性及性质定理的综合应用.
教具学具准备:
教具(一个活动的平行四边形),
一.复习提问:
什么叫平行四边形?
它和四边形有什么区别?
二.引入新课:
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形,因此平行四边形除具有四边形的性质外,还有它的特殊性质,同样对于平行四边形来说,也有特殊情况即特殊的平行四边形,堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形.
二.讲解新课
制一个活动的平行四边形教具,堂上进行演示图,使学生注意观察四边形角的变化,当变到一个角是直角时,指出这时平行四边形是矩形,使学生明确矩形是特殊的平行四边形(特殊之处就在于一个角是直角,深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别).
矩形的性质:
既然矩形是一种特殊的平行四边形,就应具有平行四边形性质,同时矩形又是特殊的平行四边形,比平行四边形多了一个角是直角的条件,因而它就增加了一些特殊性质.
矩形性质1:
矩形的四个角都是直角.
矩形性质2:
矩形对角线相等.
设问:
如何用理论推理的方法来证明矩形的对角线相等呢?
(让学生思考并提问回答,再让学生板书)
讲矩形判定定理1,对角线相等的平行四边形是矩形。
已知:
在平行四边形ABCD中,AC=DB,求证:
平行四边形ABCD是矩形。
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC。
务员AD
又∵AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB。
∴∠ABC=∠DCB。
BC
又∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°。
∴∠ABC=90°。
∴四边形ABCD是矩形。
例题讲解:
(强调这种计算题的解题格式,防止学生离开几何元素之间的关系,而单纯进行代数计算)
矩形判定定理1。
除用定义判定矩形外,还有什么方法判定一个四边形或平行四边形是矩形呢?
(引导学生从平行四边形性质定理与判定定理的关系考虑)
定理2有三个角是直角的四边形是矩形。
问:
矩形判定定理1是矩形性质定理1的逆定理吗?
(不是)
判定定理的对象是四边形还是平行四边形?
(四边形)
谁能口述证明?
AB
证明:
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠D=90°
∴AB∥CD,AD∥BCDC
又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
三.小结:
1.具有平行四边形的所有性质.2.判定定理
3.思考题:
已知如图3,
是矩形
对角线交点,
平分
,
,求
的度数(让学生板书,然后教师讲评)
八、布置作业
:
课本习题2
图3
20.2矩形
(2)
教学目标:
1.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力
2.通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想
教法设计:
观察、启发、总结、提高,类比探讨,讨论分析,启发式.
教学重点:
矩形的判定.
教学难点:
矩形的判定及性质的综合应用.
教具学具准备:
教具(一个活动的平行四边形)
教学步骤:
一.复习提问:
1.什么叫做平行四边形?
什么叫做矩形?
2.矩形有哪些性质?
3.矩形与平行四边形有什么共同之处?
有什么不同之处?
二.引入新课
设问:
1.矩形的判定.
2.矩形是有一个角是直角的平行四边形,在判定一个四边形是不是矩形,首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角,这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性、性质和判定).除此之外,还有其它几种判定矩形的方法,下面就来研究这些方法.
方法1:
有三个角是直角的四边形是矩形.(并让学生写出推理过程。
)
矩形判定方法2:
对角钱相等的平行四边形是矩形.(分析判定方法2和学生一道写出证明过程。
)
归纳矩形判定方法(由学生小结):
(1)一个角是直角的平行四边形.
(2)对角线相等的平行四边形.
(3)有三个角是直角的四边形.
2.矩形判定方法的实际应用
除教材中所举的门框或矩形零件外,还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值.
3.矩形知识的综合应用。
(让学生思考,然后师生共同完成)
例:
已知
的对角线
,
相交于
,△
是等边三角形,
,求这个平行
四边形的面积(图2).
分析解题思路:
(1)先判定
为矩形.
(2)求出
△
的直角边
的长.(3)计算
.
三.小结:
(1)矩形的判定方法l、2都是有两个条件:
①是平行四边形,②有一个角是直角或对角线相等.判定方法3的两个条件是:
①是四边形,②有三个直角.
矩形的判定方法有哪些?
一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形-—是矩形。
有三个角是直角的四边形
(2)要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理.
八、布置作业
20.3菱形判定
(1)
教学目标:
1、理解并掌握菱形的定义及性质;会判定一个四边形或平行四边形是菱形;
2、会用这些定理进行有关的论证和计算;
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
教学重点:
菱形的判定方法。
教学难点:
定理的证明方法及运用。
教学程序
一、复习提问:
1.什么样的平行四边形是菱形?
2.菱形有什么性质?
3.有哪几个方法来判定一个四边形是矩形?
二.新课讲解
设问:
(1)菱形的定义能否作为菱形的判定?
有哪两个条件?
(2)有什么方法来判定一个四边形是菱形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提问:
这个命题的前提是什么?
结论是什么?
已知:
在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,
求证:
平行四边形ABCD是菱形。
分析:
我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO,得ΔAOB≌ΔAOD,可得到AB=AD,得平行四边形ABCD是菱形。
(I板书证明过程。
)
方法二:
四边相等的四边形的菱形。
设问:
如何证明这个命题呢?
(让学生思考并证明)
几何证言表达:
在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形。
小结:
(1)菱形判定方法,填写下表。
应具备两个条件
菱形的定义
菱形判定方法一(定义)
判定方法1
判定方法2
练习:
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形。
()
(2)对角线互相平分的四边形是菱形。
()
(3)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形。
(4)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形。
()
综合应用练习
(1)如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,
DE和CE相交于E,求证:
四边形OCED是菱形。
四.作业布置
20.3菱形的判定
(2)
教学目的:
1、理解并掌握菱形的定义及性质;会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点:
菱形定义及其性质。
教学难点:
性质的证明方法及运用。
教学程序:
一.引入新课
1.提问:
我们已经学习了矩形的性质,矩形有哪些性质呢?
2.矩形有哪些判定方法?
二.新课讲解
设问:
菱形的定义是什么?
它能否作为菱形的判定?
有哪些条件?
(1)菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)性质1:
(几何语言表达)已知:
在菱形ABCD,求证:
AB=BC=CD=DA。
(3)性质2:
(让学生思考,然后板书证明过程。
)
设问:
菱形除了用平行四边形的方法求面积外,还有没有其它办法呢?
(简间写出推理的过程。
)
(4)菱形的面积公式:
例题讲解:
(补充例题分析解题过程并板书。
(1)跟踪练习1,矩形、菱形各具有哪些性质?
填写下表。
矩形、菱形各具有哪些性质?
填写下表、填图:
矩形
菱形
性质
判定
三.本课小结:
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;(判定:
2个条件)
性质1:
菱形的四条边都相等;
性质2:
菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
四.作业布置
20.4正方形判定
(1)
教学目的
1.掌握正方形的判定方法.
2.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力.
3.通过正方形有关知识的学习,感受完美的正方形的图形美和语言美
教学设计:
小结、归纳、提高
教学重点:
正方形的判定方法.
教学难点:
正方形判定方法的应用.
教学过程:
一.复习提问
1.矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形,它们比平行四边形多些什么性质?
2.正方形是怎样的特殊平行四边形?
正方形,菱形有什么关系?
正方形有什么性质?
二.讲解新课
我们已经知道,正方形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质:
1.四条边都相等;
2.四个角都是直角.
因此,正方形可以看作为:
有一个角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形.
这些实际上就是判定正方形的方法.
例如图20.4.1,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:
四边形CFDE是正方形.
分析要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.
证明∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边距离相等).
又∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,
∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
正方形的判定方法:
提问:
1:
对角线相等的菱形是正方形吗?
2:
对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
为什么?
3:
对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?
为什么?
4:
四条边都相等的四边形是正方形吗?
为什么?
5:
说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
三.小结:
(1)判定一个四边形为正方形的基本方法:
定义法,矩形菱形法.
(2)正方形的性质较多,在证题时要灵活应用.
2.思考题:
已知如图3正方形
的边长为1,
、
上都有一点
、
,如果△
周长为2,求
度数.
四.布置作业:
P118。
1。
2
图3
20.4正方形
(2)
教学目的:
1.掌握正方形的定义,理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.掌握正方形的性质定理.
3.正确运用正方形的性质解题.
教学方法:
小结、归纳、提高
教学重点:
正方形的性质.
教学难点:
正方形性质的应用.
教学过程:
一.复习提问】
1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.
2.说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系.
二.讲解新课
设问:
矩形和菱形都是特殊的平行四边形,那么更加特殊的平行四边形是什么图形?
它又有什么特殊性质呢?
这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)
1.正方形的定义:
有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
设问:
正方形从定义看,它既是矩形又是菱形。
哪么它又有什么性质呢?
2.正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结).
正方形性质定理1:
正方形的四个角都是直角,四条边相等.
正方形性质定理2:
正方形的两条对角钱相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
说明:
定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角钱的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全.
例题讲解:
例4如图3,
图4
练习:
1、课本1、2、3提问回答。
2.补充练习:
如图4,已知正方形ABCD,延长
到
,
连结
,作
于
,
交
于
,求证:
.
小结:
2.思考题已知正方形
的边长为4,
为
边上一点,且
,
为
上一点,求
的最小值
八、布置作业
教材P119。
3
19.2.3正方形(三)
教学目标:
1.掌握正方形的定义,理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.掌握正方形的性质定理及判定方法
3.正确运用正方形的性质解题.
4.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力.
教学过程:
设问:
前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形
ABDE和正方形ACFG,求证:
BG=CE
分析:
据已知条件画出图形,如图2所示,
要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.(板书证明过程)
例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:
AD=AM。
分析:
欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,
但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,
考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:
△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?
只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。
这是是否发现△BCF≌△ANF?
由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。
问题得证。
(让学生板书证明过程)
三.小结:
重复一下判定一个四边形是正方形的思路,即一个四边形同时具有矩形和菱形的判定条件,就可以判定这个四边形是正方形。
四.作业布置:
20.5梯形判定
(1)
教学目标:
1.理解、掌握并会运用等腰梯形的性质。
2.培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法,能用它们解决简单的问题。
教学重点:
梯形的有关判别方法及其应用。
教学难点:
探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法。
教学过程:
一、复习提问:
1.什么样的几何图形是梯形?
什么样的几何图形是等腰梯形?
2.等腰梯形有何特殊性质?
二、新课讲解
我们已经知道,两腰相等的梯形是等腰梯形.通过它,我们可以判定一个梯形是不是等腰梯形.除此之外,我们还可以利用下面的方法判定等腰梯形
(一)判别等腰梯形的方法一:
定义:
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
提问:
1、从定义中,要判定一个四边形是等腰梯形,需要什么条件?
D
A
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,
DE∥AB且交BC于点E。
问题一:
AB=ED吗?
为什么?
E
C
B
问题二:
∠DEC=∠C吗?
问题三:
由此你得到什么结论?
注意:
先让学生独立思考,然后再讨论完成问题。
(二)判别等腰梯形的方法二:
结论:
同一底上的两个内
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- 20 平行四边形 判定
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