中考复习专题隐圆.docx
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中考复习专题隐圆.docx
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中考复习专题隐圆
中考复习专题:
隐型圆
一、根据圆的定义作辅助圆
例1如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=p,BC=q,求BD的长.
例2、如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按
滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按
滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线长为 _______
变式1:
在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为___________
变式2:
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,G为EF的中点,P为BC边上一动点,则PA+PG的最小值为_________
变式3:
在平面直角坐标系中,点A的为坐标为(3,0),B为Y轴正半轴上的点,C是第一象限内的点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围为_____
变式4:
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的小值是_______
式5:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是___________
变式6:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=
5,BC=3,是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A长度的最小值是__________.
变式7:
如图,在平行四边形ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD=
M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是_________.
练习:
如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
2.共端点两条线段为定长
在△ABC中,AC=4,AB=5,则△ABC面积的最大值为_____________
变式1:
已知在四边形ABCD中,AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为_______.
变式2:
在△ABC中,AB=3,AC=
当∠B最大,BC的长是_______.
3.共端点三条线段为定长
引列如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为_________.
引列图变式1图
变式1:
如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD=_______.
变式2图变式3图
变式2:
如图,在等腰△ABC中,AC=BC,∠C=70°,点P在△ABC的外部,且与点C均在AB的同侧.如果PC=BC,那么∠APC=________.
变式3:
如图,在△OAB中,OA=OB,∠AOB=15°.在△OCD中,OC=OD,∠COD=45°,且点C在OA边上.连接CB,将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE,使得DE=OE,则∠BOC的度数为_________.
知识架构
如图,点A(2,0),B(6,0),CB⊥x轴于点AC,在y轴正半轴求作点P,使∠APB=∠ACB.(尺规作图,保留作图痕迹)
归纳:
当某条边与该边所对的角是定值时,该角的定点的轨迹是圆弧
方法:
见直角找斜边(定长)想直径定外心现“圆”形。
引例已知A,B两点在直线L的异侧,在L上求作点P,使△PAB为直角三角形,(尺规作图,保留痕迹)
变式1:
如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于点H,连接AH,则AH的最小值为________.
变式2:
如图,在正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值为________.
变式3:
直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于M,N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点,直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点(0,2)长度的最小值是________.
方法三:
见定角→找对边(定长)→想周角→转心角→现“圆”形.
问题提出:
如图,已知线段AB,试在平面内找到符合所有条件的点C,∠ACB=30°(利用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法)
自主探索1:
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1.0),C是y轴上一动点.当∠BCA=45°时,点C的坐标为________.
自主探索1图自主探索2图
自主探索2:
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当∠BCA=60°时,点C的坐标为_______.
自主探索3图自主探索4图
自主探索3:
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当∠BCA=120°时,点C的坐标为_______.
自主探索4:
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当∠BCA=135°时,点C的坐标为_______.
变式1:
如图,B是线段AC的终点,过点C的直线l于AC成60°角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°,则满足条件的点P的个数是_______.
变式1图
变式2:
如图,在边长为2
的等边△ABC中,动点D,E分别在BC,AC边上,且保持AE=CD,连接BE,AD,相交于点P,则CP的最小值为_________.
变式3:
如图,点A与点B的坐标分别是A(1,0),B(5,0),P是该平面直角坐标系内的一个动点.
(1)使∠APB=30°的点P有_______个
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否存在最大值?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
变式4:
(1)请利用以上操作所获得的经验,在图①的矩形ABCD内部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足:
∠BPC=∠BEC,且PB=PC。
(要求:
用直尺与圆规作出点P,保留作图痕迹)
图①图②
(2)如图②,在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2,m),过点B作AB⊥y轴,BC⊥x轴,垂足分别为A,C若点P在线段AB上滑动(点P可以与A,B重合),发现使得∠OPC=45°的位置有两个,则m的取值范围为_________.
变式5:
如图,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,BC。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点,求直线DE的解析式;
(3)若点P在抛物线的对称轴上,且∠CPB=∠CAB,求出所有满足条件的点P的坐标。
二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆
例如图,在△ABC中,AB=AC=
,D是边BC上的一点,且AD=1,求BD·DC的值.
三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆
例1如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,设AB=a,DC=b,AD=c,当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP⊥PD?
例2如图,在平面直角坐标系xOy中,给定y轴正半轴上的两点A(0,8)、B(0,2),试在x轴正半轴上求一点C,使∠ACB取得最大值。
例3已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠CPQ=90°,求线段CQ的取值范围.
四、四点共圆
判断四点共圆的常用方法有
(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆;
(2)同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后,就可以借助过这四点的辅助圆解题.
例1如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证:
FE=DE.
例2如图等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上,M是QR的中点,求证:
不论等边△PQR怎样运动,点M为不动点.
例3如图,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内的一点,且∠OPB=45°,PA∶PB=5∶14,求PB的长.
练习
1.在直角坐标系中,过A(-1,0)和B(3,0)的⊙M上有点P.
(1)若cos∠APB=
(∠APB是锐角),求⊙M的半径;
(2)在y轴上,是否存在一点D,使得∠ADB=45°?
若存在,求出点D的坐标.
2.在平面直角坐标系中,抛物线
与
轴交于
两点(点
在点
的左侧),与
轴交于点
,点
的坐标为
,将直线
沿
轴向上平移3个单位长度后恰好经过
两点.
(1)求直线
及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为
,点
在抛物线的对称轴上,且
,求点
的坐标.
3.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)B(4,0)、,抛物线
过点A、B顶点为C,点P(m,n)n<0为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当
为钝角时,求
的取值范围.
4.如图,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),动点P(x,y)在线段AB上,CP交y轴于点D,设BD的长为t.
(1)求t关于动点P的横坐标x的函数表达式;
(2)若S△BCD:
S△AOB=2:
1,求点P的坐标,并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若M为x轴上的点,且∠BMD最大,请求出点M的坐标.
5.如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该平面直角坐
标系内的一个动点.
(1)若点C平面直角坐
标系内的一个点,且△ABC是等边三角形,则点C的坐标是;
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?
若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.
6.如图,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′;
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;
②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sin∠BMC=
.
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