圆周角和圆心角的关系练习题.docx
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圆周角和圆心角的关系练习题
第3章第4节圆周角和圆心角的关系
同步检测
.选择题1•如图,正方形ABCD的四个顶点分别在OO上,点P在CD上不同于点C的任意一点,
则/BPC的度数是()
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案:
A
解析:
解答:
连接OB,OC,
a
J
c
•••正方形ABCD的四个顶点分别在OO上,
•••ZBOC=90,
1
•ZBPC=—ZBOC=45.
2
故选A.
分析:
首先连接OB,OC,由正方形ABCD的四个顶点分别在OO上,可得ZBOC=90,然后由圆周角定理,即可求得ZBPC的度数.
2•如图,AB.CD都是OO的弦,且AB丄CD.若ZCDB=62°,则ZACD的大小为()
A.28°B.31°C.38°D.62°
解析:
解答:
TAB丄CD,
•ZDPB=90,
tZCDB=62
•••/B=180-90°-62°28°,
/.ZACD=ZB=28°.
故选A.
分析:
利用垂直的定义得到ZDPB=90°,再根据三角形内角和定理求出
ZB=180°-90。
-62°28°,然后根据圆周角定理即可得到ZACD的度数.
3•如图,AB是OO的直径,若ZBAC=35°则/ADC=()
A.35°B.55°C.70°D.110°
解析:
解答:
:
•••AB是OO的直径,
•ZACB=90°,
•••ZBAC=35°,
•ZABC=180°-90°-35°55°,
•ZADC=ZABC=55°.
故选B.
分析:
先根据圆周角定理求出ZACB=90°,再由三角形内角和定理得出ZABC的度数,根据
圆周角定理即可得出结论.
4•下列命题中,正确的命题个数是()
1顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角度数等于圆心角度数的一半;
③90。
的圆周角所对的弦是直径;④圆周角相等,则它们所对的弧也相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
A
解析:
解答:
解:
①中,该角还必须两边都和圆相交才行.错误;
2中,必须是同弧或等弧所对,错误;
3正确;
4中,必须在同圆或等圆中,错误.
故选A.
分析:
根据圆周角的概念和定理,逐条分析判断.
5如图,已知A,B,C在OO上,ACB为优弧,下列选项中与ZAOB相等的是()
A.2ZC
D.ZB+ZC
c
B
答案:
A
都等于这条弧所对的
)
解析:
解答:
如图,由圆周角定理可得:
/A0B=2ZC.
分析:
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,圆心角的一半.根据圆周角定理,可得ZA0B=2ZC.
6•如图,O0的弦CD与直径AB相交,若ZACD=35,则ZBAD=(
B的度数,又由AB
ADB=90°,继而可求
)
解析:
解答:
TZACD与ZB是AD对的圆周角,
•••ZB=ZACD=35°,
•/AB是O0的直径,
•ZADB=90°,
•ZBAD=90°ZB=55°.
故选A.
分析:
由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得Z是OO的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可求得Z
得ZBAD的度数.
7•如图,O0是厶ABC的外接圆,若ZABC=40°则ZAOC的度数为
B
C.60°
D.80°
解析:
解答:
TOO是厶ABC的外接圆,/ABC=40°
•••/A0C=2/ABC=80°.
故选:
D.
分析:
由O0是厶ABC的外接圆,若/ABC=40°根据圆周角定理,即可求得答案.
8•如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O0的圆心0在格点上,则/AED
的正切值等于()
752躬
A.B.—
55
E
L
答案:
D
解析:
解答:
•••/E=ZABD,
故选D.
分析:
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解.
9.如图,△ABC的顶点A.B.C均在O0上,若/ABC+/AOC=90,则/AOC的大小是()
A.30°B.45°C.60°D.70
1
解析:
解答:
•••/ABC=/A0C,
2
而/ABC+/A0C=90,
1
/A0C+/A0C=90,
2
•••/A0C=60.
故选:
C.
1
分析:
先根据圆周角定理得到/ABC=/A0C,由于/ABC+/A0C=90,所以
2
1
/AOC+/AOC=90,然后解方程即可.
2
10•如图,AB是OO的直径,CD是OO的弦,连接AC.AD,若/CAB=35°则/ADC的度
数为()
A.35°B.45°C.55°D.65°
解析:
解答:
连接BC,
•/AB是OO的直径,
•••/ACB=90°,
•••/CAB=35°,
•••/B=55°,
•••/ADC=55°.
故选C.
分析:
连接BC,推出RtAABC,求出/B的度数,即可推出/ADC的度数.
11.若四边形ABCD是OO的内接四边形,且/A:
/B:
ZC=1:
3:
8,则/D的度数是()
A.10°B.30°C.80°D.120°
答案:
D
解析:
解答:
设ZA=x,则ZB=3x,ZC=8x,
因为四边形ABCD为圆内接四边形,
所以ZA+ZC=180°,
即:
x+8x=180,
•x=20°,
则ZA=20°,ZB=60°,ZC=160°,
所以ZD=120°,
故选D.
分析:
本题可设/A=x,则/B=3x,/C=8x;利用圆内接四边形的对角互补,可求出/A./C
的度数,进而求出/B和/D的度数,由此得解.
12.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若/BAD=105。
,则/DCE的大小是()
A.115°B.105°C.100°D.95°
解析:
解答:
:
•四边形ABCD是圆内接四边形,
•••/BAD+ZBCD=180°,
而/BCD+ZDCE=180°,
•ZDCE=ZBAD,
而ZBAD=105°,
•ZDCE=105°.
故选B.
分析:
根据圆内接四边形的对角互补得到ZBAD+ZBCD=180°而ZBCD与ZDEC为邻补
角,得到ZDCE=ZBAD=105°.
13•如图,OC过原点,且与两坐标轴分别交于点A.点B,点A的坐标为(0,3),M是第
三象限内OB上一点,ZBMO=120°,则OC的半径长为()
解析:
解答:
•/四边形ABMO是圆内接四边形,ZBMO=120°,
•ZBAO=60°,
•/AB是OC的直径,
•ZAOB=90°,•ZABO=90°-ZBAO=90°-60°=30°,
T点A的坐标为(0,3),
•••OA=3,
•••AB=2OA=6,
AB
•OC的半径长==3
2
故选:
C.
分析:
先根据圆内接四边形的性质求出/OAB的度数,由圆周角定理可知/AOB=90°故
可得出/ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出
解析:
解答:
•/四边形ABCD内接于OO,
•••/A=/DCE=70°,•••/BOD=2/A=140°.
故选D.
/BOD=2/A=140°.
15•如图,已知经过原点的OP与x.y轴分别交于A.B两点,点C是劣弧OB上一点,则/ACB=
解析:
解答:
•••/AOB与/ACB是优弧AB所对的圆周角,
•••/AOB=ZACB,
•••/AOB=90°,
•••/ACB=90
故选B.
分析:
由/AOB与/ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得/ACB=/
AOB=90°
二.填空题
16.如图,△ABC的顶点A.B.C均在OO上,/OAC=20°贝U/B的度数是
答案:
70°
解析:
解答:
解:
•••OA=OC,/OAC=20°,
•••/ACO=/OAC=20°,
•••/AOC=180°-ZACO-ZOAC=180-20。
-20°=140°,
11
•ZB=—ZAOC=—X140°70°
22
故答案为:
70°
分析:
先根据等腰三角形的性质求出ZACO的度数,再由三角形内角和定理求出ZAOC的
度数,由圆周角定理ZB的度数即可.
17.如图,△ABC内接于OO,ZABC=70°ZCAB=50°点D在OO上,则ZADB的大小为.
解析:
解答:
TZABC=70°,ZCAB=50°,
•ZACB=180°-ZABC-ZCAB=60°,
•ZADB=ZACB=60°.
故答案为60°
分析:
先根据三角形内角和定理计算出ZACB的度数,然后根据圆周角定理求解.
18•如图,A.B.C.D都在OO上,ZB=130。
,则ZAOC的度数是
答案:
100°
解析:
解答:
•/A.B.C.D都在OO上,即四边形ABCD为OO内接四边形,
•••/D+ZB=180°,又/B=130°,
•••/D=180°-ZB=180°-130°=50°,
又ZD为OO的圆周角,ZAOC为OO的圆心角,且两角所对的弧都为■,
则ZAOC=2ZD=100°.
故答案为:
100°
分析:
由A.B.C.D四个点都在圆O上,得到四边形ABCD为圆O的内接四边形,根据圆内接四边形的对角互补得到ZB与ZD互补,由ZB的度数求出ZD的度数,ZD为圆O的圆周角,所求的角ZAOC是圆O的圆心角,且两角所对的弧为同一条弧,根据同弧所对的圆
心角等于所对圆周角的2倍,由ZD的度数可求出ZAOC的度数.
19•如图,A.B.C.D四点在OO上,OC丄AB,ZAOC=40°则ZBDC的度数是
答案:
20°
解析:
解答:
TOC丄AB,
•AC=BC
1
•ZCDB=—ZAOC,
2
而ZAOC=40°,
•ZCDB=20°.
故答案为20°
1
分析:
由OC丄AB,根据垂径定理得到弧AC=弧BC,再根据圆周角定理得ZCDB=ZAOC,
2
而ZAOC=40°,即可得到ZBDC的度数.
20.如图,在△ABC中,ZB=60°ZC=70。
,若AC与以AB为直径的OO相交于点D,则ZBOD
的度数是度.
C〜
答案:
100
解析:
解答:
•.•在△ABC中,/B=60°/C=70°
:
丄A=50°,
•••/B0D=2/A,
•••/BOD=100°.
故答案为:
100.
分析:
先根据三角形内角和定理求出/A的度数,再根据圆周角定理即可求得/BOD的度
数.
三•解答题
21.请用科学的方法证明圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1如图
(1),当点0在/BAC的一边上时,
•/OA=OC,
•••/A=/C,
•••/BOC=/A+/C,
1
•••/BAC=—/BOC;
2
2如图
(2)当圆心O在/BAC的内部时,延长BO交OO于点D,连接CD,则
/D=/A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
•/OC=OD,
•••/D=ZOCD,
•••/BOC=/D+ZOCD(三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和),
•••/BOC=2ZA,
1
即/BAC=_l/BOC.
2
3如图(3),当圆心O在/BAC的外部时,延长BO交OO于点E,连接CE,贝U
/E=/A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
•/OC=OE,
•••/E=/OCE,
•••/BOC=/E+/OCE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
•••/BOC=2ZA,
1
即/BAC=—/BOC.
2
解析:
分析:
分别从当点O在/BAC的一边上时,当圆心O在/BAC的内部时与当圆心O
在/BAC的外部时,去分析证明,即可证得结论.
22.如图所示,/BAC是OO的圆周角,且/BAC=45°BC=2J2,试求OO的半径大小.
答案:
I/BAC=45°
•••/B0C=90°,
•••BC=2•.2,
•OB=OC=2.
即OO的半径为2.
解析:
分析:
根据圆周角定理,可求/B0C=90,即可知△BOC为等腰直角三角形,故可
求OB=OC=1.
23•已知OO中,弦AB的长等于OO的半径,求弦所对的圆心角和圆周角的度数.
答案:
画出图形:
连接OA.OB,
AB=OA=OB,
•••/AOB=60°.
分两种情况:
1在优弧上任取一点C,连接CA,CB,
1
则/C=_/AOB=30°
2
2在劣弧上任取一点D,连接AD.BD,
•••四边形ADBC是OO的内接四边形,
•••/C+ZADB=180°,
•••/ADB=180°ZC=150°.
综上所述,弦AB所对的圆心角是60°圆周角是30°或150°
解析:
分析:
根据已知条件得出△OAB是等边三角形,则ZAOB=60°再根据弦AB所对的弧有两段,一段是优弧,一段是劣弧,然后分类讨论,即可得出答案.
24.如图,在OO中,弦AB=3cm,圆周角ZACB=60°求OO的直径.
答案:
2.、3
解析:
解答:
过A点作直径AD,连接BD,如图,
ZABD=90°,
又tZADB=ZACB=60°,
•ZBAD=30°,
而AB=3cm,
•BD=.3,
•AD=2BD=2、、3(cm),
即OO的直径为2乜cm.
故答案为:
2.3.
分析:
过A点作直径AD,则ZABD=90°ZADB=ZACB=60°,在RtAABD中,AB=3cm,利用三边的数量关系可求出AD•
25.如图,在半径为6cm的圆中,弦AB长6.3cm,试求弦AB所对的圆周角的度数.
答案:
如图,
设弦AB在优弧上所对的圆周角为/P,劣弧上所对的圆周角为/P',
连接OA,0B,过0点作OC丄AB,垂足为C,
1
由垂径定理,得AC=-AB=3、、3,
2
在Rt△AOC中,0A=6,sin/AOC=些=11!
=二,
OA62'
解得/AOC=60°,
所以,/AOB=2/AOC=120°,
1
根据圆周角定理,得/P=丄/AOB=6O°,
2
又APBP为圆内接四边形,
所以,/P=180/P=120,
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°
解析:
分析:
设弦AB在优弧上所对的圆周角为/P,劣弧上所对的圆周角为/P;连接OA,
OB,过O点作OC丄AB,垂足为C,由垂径定理可知AC=1AB=^-3,解直角三角形得/AOC
2
1
的度数,由垂径定理可知,/AOB=2/AOC,由圆周角定理得/P=/AOB,利用/P与
2
/P的互余关系求/P'.
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- 圆周角 圆心角 关系 练习题