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系统分析方法的读书笔记
系统分析方法的读书笔记
第一章、概述
第一节、系统及系统工程
一、系统的概念和特征
系统:
由若干个可以相互区别、又相互联系和相互作用的组成部分结合而成;且处于一定环境中具有特定功能的有机整体。
子系统:
组成一个更大系统的组成部分。
系统的层次结构:
各子系统内部上下左右相互联系并且各自独立的单元组成,各个子系统之间同样是独立而又相互联系的。
系统的特征:
(1)集合性
(2)相关性(3)目的性(4)整体性(任何一个单元不能离开系统整体去研究,单元间的作用与联系也不能脱离整体协调去研究)(5)环境适应性
系统工程:
是当代正在发展和逐步完善的一门工程技术,以系统为对象,把要研究和管理的事与物用概率、统计、运筹、模拟等方法经分析、判断、推理等程序建立成某种系统模型,进而采用最优化方法求得系统的最佳化结果,即使系统的各组成部分相互协调相互配合以获得技术上先进,经济上合理、运行中可靠,时间上最省的系统。
系统工程具有独特思考方法(系统分析和系统方法),具有解决问题的程序体系并且具有最优化方法,从这个意义上来讲,系统工程是在系统的开发、设计、建造和运用中所需的思想,理论技术和方法进行体系化的统称。
第二节、系统工程的程序和方法
系统完成需要以下几个阶段:
1、系统的开发阶段
2、系统的建造阶段
3、系统的运行阶段
4、系统的更新阶段
利用系统工程来解决问题的相关步骤:
分析:
目的是使研究对象
(1)
问题的阐述的目的和其他事项最优
(2)选择评价目标的实现
(3)系统综合分析、评价、综合评价:
将分析结果与评价标
(4)系统分析(最优化)准相比较(最优化)
(5)决策综合:
根据分析结果和评价
结果,确定过程和行动方式,作为系统的设计(决策)
第三节系统的模型
模型:
对实际事物的一种描述
形象模型:
把事物的尺寸按比例缩小以后的表示
在系统功能工程当中经常采用的是数学模型:
用数学符号,数字来体现系统的变
量,用数学表达式或者图的几何形式来表达系统的内部关系,内外关系以及变化
规律。
系统模型的一般表达形式:
目标函数:
opt:
U=f(X,Y)
约束条件g(X,Y)=0
Xa≤X≤Xb
在X的取值范围(约束条件限制下)内调节变量,使目标函数取最优值(最大或者最小),此时所取的X为最优解。
第二章经济计算方法
第一节:
经济技术分析
概念:
所谓经济技术分析,就是在某一建设项目的规划、设计、施工以及管理的过程中,对其哎技术上可以参考的多种方案,从技术以及经济的角度上对个方案进行全面的分析,论证其技术可行性以及经济效益。
目的是更具评价标准评价经济效果的大小,评价标准是根据皮论经济效果的客观尺度,建立一系列的经济指标体系去衡量个技术方案的效果,对各个方案进行对比、分析和预测,从多个方案当中选择最优方案,为决策提供依据。
技术方案进行比较时要有以下可比性:
1、满足技术上可比(两个方案满足的相同的需要,具有综合需要的方案与只具备满足单一需要的方案之间不可比)
2、消耗费用上可比(要从整个社会总的全部消耗的观念出发)
3、价格指标上可比(要采用同一计算价格)
4、时间的可比性(采用相同的计算年限)
对于水利工程技术方案的经济比较所需要满足的条件在P8中有详细介绍
评价经济效果的指标和分析方法分类:
静态指标和分析方法:
1、单位产品投资
2、投资回收期(抵偿年限)
3、投资收益率
动态分析方法:
1、现值法
2、年限等值法
3、回收率法
4、效益成本比法
静态指标在分析的时候没有考虑资金的时间价值,动态分析则相反。
第二节资金的时间价值
概念:
资金在未来某一定时间的总额与现值是不一样的
时间价值一般用百分数表示,通常指利率,各部门的投资收益率(资金效果系数)
具体计算方法:
单利法和复利法
单利法:
利息与贷款成正比,每一个时间支付的利息等于贷款额乘以利率。
利息总额公式(2-1)
复利法:
每年的利息要按年初的总款额结算总款,包括原贷款和未能还上的利息。
公式表达(2-2)
其中复利法更加符合客观的经济状况,但是在期限不长利率不高的情况下,单利和复利所得出的结果差不多。
复利法推算出来的计算公式分两类共六个计算因子:
(1)一次性整付:
1、复利本息2、现值换算
(2)分期等值支付:
1、复利本息2、累计资金3、资金回收4、现值换算
六个复利因子的计算公式以及代号在表2-1,复利因子表在附录A
公式2-2为复利本息的基本公式
公式2-3为已知n时期后来款项F,球现在的价值P,为公式2-2的倒数
公式2-4为已知分期等值支付额为A,求n次后的期末值,公式2-5为一致预期要获得的未来值F,求n个期间内每次应投入的款项A,为2-4的倒数
公式2-6为已知现值P,求在n个期间内分期偿付时,每期应付多少,公式2-7为已知在n年为每年分期付款A,求其总额相当于现在多少,为2-6公式的倒数
第三节经济比较的计算方法
概念:
基于资金的时间价值,,考虑资金的复利计算,将不同的投资方案换算成同等可比情况下进行比较选择。
一、现值比较法
根据2-3公式进行计算
需要注意的几个问题:
1、利率问题(选择的是投资效果系数,也就是资金收益率)
2、永久性使用比较方案不适合用现值比较法,除非在利率很低的情况下使用。
对于永久性使用的现值计算叫做核定资金,等于等值年费处以利率。
3、不同使用期的比较方案需要换算成同等的使用年限方法是假设重复投资
二、年等值比较法(运用最广泛的经济分析方法。
这种方法只考虑各项费用的开支,不注意收入,因而多用于有关消耗的决策)
概念:
将最初投资和运转费用换算成可比的年等值,再进行比较。
按照公式2-6进行计算
三、回收率比较法
概念:
根据投资对象将来的收入情况,计算出投资的回收率,然后将个方案的回收率进行比较(选择回收率最大的),选出最佳投资方案。
回收递减率:
投资越大,回收率越低
基本原理:
将收入和支出都换算成现值或年等值,再令收入的年等值或者现值等于指出的现值或者年等值,以求回收率。
折算成年等值的公式为2-8
四、效益-成本比
概念:
简称益比法或者B-C法,它是效益的现值和成本的现值的比值,用年等值比较也可以。
在不同的方案进行比较时,若用现值,则比较年限必须相等,若果用等年值,其分析时段不一定要相等。
它得出来的方案结论与前三种方法得出来的几轮不一定相等。
其分析计算表达式在P21。
效益成本分析可以用下列三种图解法;
(1)效益水准一定时,选择成本最小的方案
(2)成本水准一定时,选择效益最大方案
(3)当成本与效益水平均不限定时,选择效益对成本超过额为最大的方案。
复杂的情况用数学模型来推算,效益模型用来估计效益,成本模型用来估计成本,两者结合可以提供各方案成本与效益的关系。
第三章线性规划
第一节线性规划问题的基本概念
概念:
在一定的约束条件下求目标函数的极值问题。
约束条件和目标函数根据具体问题的性质,用数学形式表示,满足约束条件的方程式组的解可能有无穷多个,它们都是方程组的可行解,从可行解中求出满足目标函数极值条件的解,即求出最优解。
这类问题统称为最优化方法。
线性规划是其中的一类,指目标函数和约束方程都是线性方程,其变量是一次式,图像是直线的,称为线性规划。
二、线性规划的数学模型具体见P26
目标函数中的变量系数是价值系数
第二节图解法
概念:
对于只含两个变量的规划问题,可以用作图的方法来解决,称之为图解法。
凸集:
连接此集合内任意两点的线段上所有一切点也在这个点集之中,则这个点集叫做凸集。
可行解:
满足非负约束条件的任何一个点(x,y),即任何一个解称为可行解。
基本可行解:
在变量空间中可能出现的定点或极点,就是使多余约束方程个数的变量等于零,联立解算约束方程式得到的解称为基本解,凡是满足基本条件的可行解,称为基本可行解。
线性规划的三个基本原理:
(1)可行解的集合构成一个凸集,他的每一个极点对应一个基本可行解
(2)若存在可行解,则必须存在一个基本可行解
(3)若目标函数具有一个有限极小值,则至少有一个最优解是基本可行解
解决实际问题的步骤:
1、根据资料求出目标函数的表达式
2、列出所有的约束条件
3、求出约束条件约束条件所构成的多面凸集的定点
4、求出每个顶点在目标函数上的值
5、就前一步骤所得到的值,以极大或者极小而取舍
第三节单纯形法
实质:
其实质是一个迭代过程,从一个极值点移动到另一个邻近的极值点,直到判定一个点相当于最优点为止。
松弛变量:
≤前加上的变量均可以保持非负的条件
剩余变数:
相反
单纯形法的步骤:
具体见P33~36计算程序框图在P40
对于约束条件当中存在≥的情况时,不能直接使用单纯型法,需要引入人工变量:
这个变量并不是为了将不等式变为等式引起的,而是为了用单纯形法引起的。
人工变量必须为0
罚函数:
求极大值时,在人工变量前加上一个很大的负系数-M。
求极小值时,加上一个M
解的退化:
在bi一列中出现一个以上的bi为0,当出现解的退化时,其处理办法见P45~47
具体变换步骤
•目标函数为max型,价值系数一律反号。
令f(x)=-f(x)=-CX,有maxf(x)=min[-f(x)]
•第i个约束的bi为负值,则该行左右两端系数同时反号,同时不等号也要反向
•第i个约束为型,在不等式左边增加一个非负的变量xn+i,称为松弛变量;同时令cn+i=0
•第i个约束为型,在不等式左边减去一个非负的变量xn+i,称为剩余变量;同时令cn+i=0
•若xj0,令xj=-xj,代入非标准型,则有xj0
•若xj不限,令xj=xj-xj,xj0,xj0,代入非标准型
第四节改进单纯形法
概念:
就是将线性规划问题用矩阵的形式表达出来
涉及到的几个概念:
B:
基矩阵,其中各列线性无关,其他非基向量都可以用B中的向量表示出来
D:
与B对应的非基向量集合
XB:
与B对应的基变量
XD:
与D对应的非基变量
CB:
与B对应的价值系数
CD:
与D对应的价值系数
令非基变量XD=0,解得基变量XB=B
b,称(XB,XD)为基解.基解的所有变量的值都非负,则称为基可行解,此时的基称为可行基.若可行基进一步满足:
CD–CBB-1D≥0,即:
CBB-1D-Cd≤0则对一切可行解x,必有f(x)≥CbB-1b,
此时称基可行解x=(B-1b,0)T
基本矩阵表达形式:
在P49基本步骤:
P50~51
不定乘子:
CBB-1用π表示,称之为对应于B的单纯形乘子
在计算机上常用改进单纯形法原因在P53
第五节对偶问题
概念:
对任何求极大值的线性问题,相应的存在着一个特定的包含相同数据的与之相对应的求极小值问题。
与这两种问题有关的数学模式的矩阵,具有相同的数据,互为转置,其最优解也是严格对应的。
对偶关系的数学模式关系在P55表3-14
对偶问题的实质就是对一个研究对象从两个角度提出极值问题,而这两类极值问题又具有同一个最优解。
对偶问题的一般数学表达式及其性质推导在P56
对偶问题的主要特征:
P58
当方程的个数小于变量的个数时,求最大值,反之求最小值,力求约束方程越少越好
第六节运输问题
一般也是线性规划问题,用线性规划求解
运输问题的数学模式:
P61
这类问题的代数解法就是迭代法,然而通常选用的方法还有表上作业法和图上作业法,具体算法见P63~71
运输问题的经验解法:
第一步先确定一个方案,初始方案一般不会是最合理的方案用经验解法得出最常用的有西北角法和最小元素法
第二步根据初始方案进行调整,逐步得出最合理方案最常用的有闭合回路法和位势法,也合称为表上作业法具体步骤在P66闭合回路当中检验数
求法在P67,公式为3-34位势法球检验系数过程在P68运输方案调整过程P69
简易计算法:
基本原理与最小元素法类似,具体步骤在P67
对于不平衡运输法德处理方法:
1、当产量大于销量则虚构一个销地
2、当产量大于销量则虚构一个产地
运输问题的图上作业法设计的相关知识:
对流:
所谓对流就是在一段路线上有同一种物资往返运输
迂回:
就是在多种选择路线的情况下选择较远的路线则叫做迂回
运输问题的最佳方案则是没有对流和迂回
运输问题的图上作业法需要画出一张运输图,运输图中流向的画法有几点规定见P76
运输问题的图上作业法具体可以分为两种情况:
一、运输路线不成圈,则不存在迂回其处理原则是:
不管线路有多少支线,都从各端点开始“抓各端,各端供需归邻站”目的是图上不出现对流现象
二、存在迂回处理手法是:
凡是遇到有权的情况,显示任意的甩去一段,使其不成圈状,然后按第一种情况进行处理绘制流向图,从破圈点开始按供需归邻站编制流向图。
这个流向图虽然没有对流但是不一定是最优方案,还要判断其中是否有迂回,方法是:
在一个没有对流的流向图上,每一个圈的内外圈流向之长都不超过周长的一半。
在一个多圈的流向图当中,每一个圈都必须满足这一要求才能判定为没有迂回。
如果某个圈有迂回,其调整方法是:
将流向图单独的取出,将外圈每个流向的流量同时减去外圈流向流量中的最小值,同时把圈内每个流向,(无流向者按照圈内流向处理)增加1,得出新流向,在检查是否有迂回现象。
第七节指派问题
解决指派问题的方法就是指派方法,其运算步骤在P81,求解最低成本的指派问题时,用该步骤即可,求最小值。
当解决最大效率指派问题时,将原步骤当中的与最小数值之差额变为与最大值之差
特殊指派问题
1.人数与事数不等
(1)人多事少:
若有m项工作n个人,且m (2)事多人少: 若有m项工作n个人,且m>n,这时可以虚增m-n个人,系数矩阵新增加一行,费用按题意要求的设定,就象运输问题中设定单位运费一样(若不考虑缺人所造成的损失,系数为零;否则,为损失费用),从而可以把原问题化为标准指派问题 即人与职位必须相等,就是资料必须成方阵,不然就以虚拟的项目加以补充。 具体算法见P87。 第四章整数规划(IP) 第一节数学模式 概念: 在前面讨论的线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常有要求解答必须是整数的情形(称为整数解)。 甚至只取0或1。 前者称之为整数线性规划,后者称之为0-1规划。 线性规划数学模式归纳为两个部分: 线性规划的基本部分和变量的附加约束部分(P90) 混合整数线性规划: 仅对一部分变量有非负整数的要求 混合0-1线性规划: 仅对一部分变量有只取0-1的要求 第二节圆整法 解决整数规划问题的解法是: (在精确度要求不高的情况下可以采用) 1、先当做一般线性规划来做,求出连续可行域中的最优解 2、然后在上述最优解的附近取可行的整值,得到圆整解 第三节割平面法(解决整数规划问题的主要方法) 主要的思想就是: (1)先不考虑整数规划的整数条件,得到整数规划的伴随规划,按照单纯形法求得伴随规划的最优解,如果不满足整数规划的条件,则建议一个割平面约束条件,在原伴随规划的基础上再加上一个割平面约束方程,再按照单纯形法求解最优解,就这样一步步将原线性规划的可行域缩小。 具体算法及过程见P95其程序图P100 是否为割平面约束的判断条件: P93~94 第四节分支与估界方法(这是解决整数规划问题的又一运用比较广泛的方法) 分枝与估界法的主要思路是: 首先求解整数规划的伴随规划,如果求得的最优解不符合整数条件,则增加新约束缩小可行域,将原整数规划问题分枝,分为两个子规划,再解子规划的伴随规划...通过求解一系列子规划的伴随规划不断定界,最后求得最优解。 涉及的概念: 松弛、分枝、和剪枝 松弛: 就是将原问题当中的整数约束条件暂时省去,扩大可行域,一边按照单纯形法求出最优解 分枝: 松弛域当中的最优解不满足整数条件的时候就将原问题的定义域分割并形成子问题 剪枝: 按照一定的准则删减子问题,逐步缩小寻优的范围,称作剪枝。 准则是: 见P105 枚举树(树形优化法)具体操作见P106 分支与估界方法程序框图: 见P107 第五节隐枚举法(分枝估界法运用于0-1规划) 隐枚举法的基本思路是: 有规律的列举可行解中的一小部分,即可求得最优解。 具体计算方法见P109 是用隐枚举法时必须变换成适用隐枚举法的标准模式,所以事先要将任意0-1线性规划问题变换成标准模式,步骤见P110 第六节整数规划解法小结 当遇到割平面法以及分枝估界法求解整数规划问题比较棘手时,可以考虑转化为0-1规划用隐枚举法。 将整数规划转化为0-1规划的公式为4-19 有时候也可以将0-1规划转化为整数规划见P113 第五章非线性规划(NP) 第一节概述 概念: 当目标函数或者约束方程当中有一个或者多个为非线性函数时,就不能用线性规划的方法来求解,可用非线性规划的方法。 非线性规划的数学模型 注: “线性”与“非线性”,常用于区别函数y=f(x)对自变量x的依赖关系。 线性函数即一次函数,其图像为一条直线。 其它函数则为非线性函数,其图像不是直线。 当函数为凹函数或者凸函数时,一阶导数为0时求出来的解才是全域最优生物充分必要条件。 海辛矩阵: 表达式见P127是一对称矩阵,利用它求极大极小值的方法见P127 求多元函数的极值问题(非线性函数)就是: 第一步、求函数对各个变量的偏导选择一阶偏导为0的点,然后计算出函数的海辛矩阵,求极小值时,看其海辛矩阵的行列式是否大于等于0,并且判断海辛矩阵是否为正定矩阵,当满足一阶偏导为0,且海辛矩阵的行列式大于等于0,且海辛矩阵为正定矩阵时,则求得极小值。 求极大值是在一阶偏导为0的情况下,将海辛矩阵乘以一个负号之后再按照之前的要求判断判断。 非线性优化方法可以分为两大类: 一类是经典的优化方法: 微分法、拉格朗日乘子法、库恩-塔克理论等。 另一类是搜索法 第二节单变量函数的优化 方法一: 用微分法。 见P129 方法二: 0.618黄金分割法见P130~131 方法三: 牛顿法见P132 第三节无约束条件下的多变量函数的最优化 方法一: 微分法使用条件: 目标函数具有简单而明确的数学形式 方法二: 极值搜索法一类用函数的一阶二阶导数,实质为解析法 另一类不求函数导数 1、 坐标轮换法实质: 轮流沿着n个坐标轴方向搜索最优解。 在一次搜索中只按一个坐标方向进行搜索,搜索到此方向上的最优解,然后再从从点出发搜索第二个坐标轴上的最优解。 方法见P134 这种方法对目标函数是圆形或者长短轴都平行于坐标轴的椭圆形很有效。 当目标函数的曲面形状出现山脊时,则不建议用此法 2、模式搜索法包括两种方式: 试探性搜索和模式性搜索方法见P136 3、 梯度法也就是最速下降法实质;沿着垂直于等高线的方向即目标函数的梯度方向爬具体算法见P139该算法的特点是: 远离极值点时收敛速度快,靠近极值时收敛速度慢该方法的计算最简便 对于二次型目标函数其搜索方法见P139 4、 牛顿法也就是二阶梯度法在梯度法的基础之上再偏转一个角度,使函数值能尽快收敛。 具体方法见P142在几种方法当中的迭代次数最少 5、共轭梯度法: 实质是后一搜索方向是沿着上一次搜索方向的共轭方向作为搜索方向。 共轭方向公式见P147n维的共轭方向最多为n个,迭代n次后就没有意义了 6、拟牛顿法也就是变尺度法该方法就是构造一个用一阶偏导数形成的矩阵Ak,近似代替牛顿法当中的二阶导数矩阵的逆矩阵。 求该矩阵Ak的方法见P150公式为5-13 第四节等式约束条件下的多变量函数的最优化 约束条件分两类来讨论: 等式约束和不等式约束 方法有三种 一、等式约束下的消元法此时约束条件的个数必须小于变量的个数,才有最优化问题,当它们相等时有唯一最优解。 将等式约束转化为由一个变量表达另一个变量的函数表达式。 再将此表达式带入目标函数当中消元。 再用求导的方法求得极值。 二、拉格朗日乘子法当等式约束当中含有非线性方程时用此法。 具体算法见P154 是灵敏度系数,也可称为影子价格。 当 大于该资源单价时,应该增加资源,反之亦然。 拉格朗日乘子可正可负 对于约束方程为线性方程的二次型目标函数,其解法见P156 三、罚函数法 该方法就是引进罚函数因子,把约束最优化问题转化为无约束问题来求解。 具体算法见P157~158 第五节不等式约束下多变量函数的最优化 对已不等式约束,约束方程的数目不受变量个数的限制。 也是采用三种方法; 方法一: 库恩塔克条件具体推导和算法见P161公式(5-19)在K-T条件当中, 为非负。 其中极值点是x的极小点, 的极大点。 方法二;可行方向法 实质: 当用搜索法进行不等式约束时,搜索方向要受到约束条件的限制,不能越出可行域范围,搜索方向应该是可行方向,因而叫做可行方向法。 能是目标函数下降的方向是与目标函数负梯度夹角小于90°的方向,不越出可行域方向也就是与约束函数的负梯度方向夹角小于90°的方向。 当目标函数的梯度与可行方向夹角为90°时,搜索停止。 罚函数法: 分内点法和外点法见P170 内点法: 初始点在可行域内,要逐渐减小罚因子。 外点法: 恰恰相反,罚因子是逐步增大的,且外点法的初始点不一定要在可行域以内。 第六章动态规划 概念: 用来研究一类多阶段决策过程问题的最优决策。 他在时间的过程当中,依次分阶段的选取一些决策,用来解决整个动态过程的最优化问题的数学规划方法,称之为动态规划。 其特点是将一系列动态规划以及复杂的具有多变量的静态规划问题从总体上看作是一个动态的多阶段的决策过程问题。 动态规划方法的核心是最优化原理。 第二节动态规划的基本原理和计算方法 系统方程: 6-2目标函数6-3 方法: 分阶段递向递推法,从最末阶段逐步向前递推 把从本阶段初到最末阶段分为两个部分: 第一部分为本阶段,也叫做面临阶段 第二部分为余留阶段,从本阶段末直至最后阶段。 将面临阶段的最优决策加上余留阶段的最优策略合起来组成从本阶段末和相应余留阶段的可供比较策略。 就是说先不必确定余留阶段的路线,总之是本阶段采取最优策略,余留阶段采取总阶段的最优策略。 最优化原理: 一个肚饿阶段决策过程的最优策略有这样的性质,无论初始状态和初始决策如何,对于前面的决策所造成的状态来说,其后各阶段的决策序列必须构成最优策略。 动态规划的递推公式见P1806-5这个公式使用时总是从最后一阶段往前推 其运用时,基本步骤是: 1、根据具体案例分析问题做出简图 3、根据简图明确变量,并且列出系统递推公式,采用逆序法进行倒推列表 4、各阶段数据推算出之后,顺序选择最优策略,明确最优选择 第四节资源的分配问题(利用动态规划求解复杂静态规划问题,将问题转化为分阶段依次对各个部门进行资源分配,每个阶段只将资源分配给一个用户,再列出系统方程求解) 第五节用动态规划进行结构优化设计 其实只是运用动态规划求多级串联系统最优解,可以将连续梁、桁架等可以分解为多级串联构件的结构并且运用动态规划进行分析。 第六节随机问题的动态规划 这个问题与前面讨论的确定性动态规划问题区别之处在于: 各个输入状态变量中有随机性因素。 这类问题,按照其随机性因素的特点可以分为两种情况:
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