解析几何第四章习题及解答.docx
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解析几何第四章习题及解答
解析几何第四章习题及解答
第4章二次曲线和二次曲面 习题 1.在直角坐标系xOy中,以直线l:
4x?
3y?
12?
0为新坐标系的x?
轴,取通过A(1,?
3)且垂直于l的直线为y?
轴,写出点的坐标变换公式,并且求直线l1:
3x?
2y?
5?
在新坐标系中的方程。
0解:
直线l:
4x?
3y?
12?
0的方向是(3,4),与它垂直的方向是?
(?
4,3),新坐标系的x?
轴的坐标向量取为(3443,),y?
轴坐标向量取为(?
),与直线5555l:
4x?
3y?
12?
0垂直且的直线方程可设为3x?
4y?
c?
0,于过点A(1,?
3),得 到直线方程是3x?
4y?
9?
0,两直线的交点(?
3,0)是新坐标原点,所以点的坐标变换公式:
?
3?
x?
?
5y?
?
4?
?
5?
4?
5?
?
x3.?
3?
?
y?
?
0?
5?
?
直线l1:
3x?
2y?
5?
0在新坐标系中的方程:
l1:
3(35x?
?
45y?
?
3)?
2(45x?
?
35y?
)?
5?
0, 化简有l1:
x?
?
18y?
?
20?
0. 2.作直角坐标变换,已知点A(6,?
5),B(1,?
4)的新坐标分别为(1,?
3),(0,2),求点的坐标变换公式。
解:
设同定向的点的坐标变换公式是:
?
x?
?
cosy?
?
sin?
?
sinxa.cosyb?
它的向量的坐标变换公式是:
?
u?
?
cosv?
?
sin?
?
sinu.cosv题意知向量AB?
(?
5,1)变为A?
B?
?
(?
1,5),于是有 ?
?
5?
?
cos1?
?
sin?
?
sin1?
125得到于是点的坐标变换公.sin?
?
cos?
?
.1313cos5?
式是:
?
5?
x?
?
13y?
?
12?
?
13?
12?
13?
?
xa?
.将点B(1?
?
5?
?
y?
?
b?
13?
?
4及)它的像点(0,2)代入得到 ?
37?
?
a?
?
13?
?
所以点的坐标变换公式是:
b?
?
62135?
x?
?
13y?
?
12?
?
1312?
13?
?
5?
1337?
?
x13?
?
.y?
?
6213设反定向的点的坐标变换公式是:
?
xcosy?
?
sin?
sinxa.cosy?
?
b?
它的向量的坐标变换公式是:
?
ucosv?
?
sin?
sincosu.?
v题意知向量AB?
(?
5,1)变为A?
B?
?
(?
1,5),于是有 ?
?
5cos1sin?
sincos1?
于是点的坐标变换公式s?
0.?
?
.得到sin1,co?
?
5?
是:
?
x?
?
0y1?
1?
?
xa.将点B(1?
0?
?
yb?
及它的像点(0,2)代入得到4?
a?
?
3,所以点的坐标变换公式是:
b?
4x?
?
0y1?
1?
?
x3.0?
?
y4?
3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系,点的坐标变换公式为 ?
22x?
?
y?
?
5,?
x?
22
(1)?
?
22x?
?
y?
?
3;?
y22?
xy?
3,
(2)?
?
y?
x?
2.?
其中,(x,y)与(x?
y?
)分别表示同一点的旧坐标与新坐标,求新坐标系的原点的旧坐标,并且求坐标轴旋转的角?
。
解:
新坐标系的原点的旧坐标为x?
?
0,y?
?
0代入公式中计算的结果,即(5,?
3)。
点的坐标变换公式知道是同定向的,于是转角?
满足sin22,cos?
?
22,于 02?
,所以?
?
7?
4. 与上一问题同理,新坐标系的原点的旧坐标为(2,3。
)转角?
满足 sin1,c?
os?
于002?
,所以?
?
3?
2. 4.在右手直角坐标系?
1中,设两直线li:
Aix?
Biy?
Ci?
0(i?
1,2)互相垂直,取 l1,l2为右手直角坐标系?
2的O?
y?
轴,O?
x?
轴,试求?
2到?
1的点的坐标变换公式。
解:
于两直线l1,l2互相垂直,且l1,l2为右手直角坐标系?
2的O?
y?
轴,O?
x?
轴,即所以当l1,l2在右手直角坐标系?
2下的方程为l1:
x?
?
0,l2:
y?
?
0,到?
1的点的坐标变换公式:
xy1A?
B1A?
B22222121A1A2B1B2?
2?
0时, (A1x?
B1y?
C1), (A2x?
B2y?
C2).当 A1A2B1B2?
0时,?
2到?
1的点的坐标变换公式:
1x(A1x?
B1y?
C1),?
22A1?
B1?
?
1?
y(A2x?
B2y?
C2).22?
A2?
B2?
5.设OABC为四面体,L,M,N依次是?
ABC的三边AB,BC,CA的中点,取 1?
{O;OA,OB,OC},?
2?
{O;OL,OM,ON}。
求?
1到?
2点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式,再?
2到?
1求点的坐标变换公式。
求A,B,C,AB,AC的?
2坐标。
111解:
依题意有OL?
(OA?
OB),OM?
(OB?
OC),ON?
(OA?
OC),所 222以?
1到?
2?
11点的过渡矩阵是A?
?
1200111?
?
0,?
1到?
2点的坐标变换公式?
1x?
?
11y?
1?
?
2z0?
u?
?
11v?
1?
?
2w00110111?
?
0?
1?
?
1?
?
0?
1xy,z1到?
2点的向量的坐标变换公式 ?
u其中a在仿射坐标系?
1和(u,v,w),(u?
v?
w?
分别是向量)v,w2下的坐标。
以上关系得到 OA?
OL?
OM?
ON,OB?
OL?
OM?
ON,OC?
?
OL?
OM?
ON, ?
1所以?
2到?
1点的过渡矩阵是B11?
x1y?
?
1z111?
1?
1?
?
1?
1?
?
11?
1?
1?
?
1,?
2到?
1点的坐标变换公式?
1x向量的坐标变换公式一样。
y,zA,B,C,AB,AC的?
1坐标分别是 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),AB?
(?
1,1,0),AC?
(?
1,0,1),2到?
1点和向量的坐标变换公式得到A,B,C,AB,AC的?
2坐标分别是A(1,?
1,1),B(1,1,?
1),C(?
1,1,1),AB?
(0,2,?
2),AC?
(?
2,2,0)。
6.在右手直角坐标系?
1?
{O;e1,e2,e3中},已给三个互相垂直的平面 ?
1:
x?
y?
z?
1?
0,?
2:
x?
z?
1?
0,?
3:
x?
2y?
z?
2?
0。
确定新的坐标系?
e2?
e3?
,?
2?
{O?
;e1}使得?
1,?
2,?
3分别为y?
O?
z?
z?
O?
x?
x?
O?
y?
坐标面,且O在新坐 标系的第一卦限内,求?
1到?
2的点的坐标变换公式。
解:
于三个平面?
1,?
2,?
3分别为y?
O?
z?
z?
O?
x?
x?
O?
y?
坐标面,所以坐标之间的关系可设为 x13(x?
y?
z?
1),y12(x?
z?
1),z16(x?
2y?
z?
2), 又O在新坐标系的第一卦限内,所以O在新坐标系的三个坐标都为正,于是 x13(x?
y?
z?
1),y?
?
12(x?
z?
1),z?
?
16(x?
2y?
z?
2), 故?
1到?
2的点的坐标变换公式 13?
?
x?
?
1?
?
y3z1?
?
3?
13?
?
13?
?
1?
?
3?
12012?
120?
1216261616261613?
?
x1?
?
(y)2?
?
z26?
1x2y?
?
1?
.z1?
?
2?
7.在右手直角坐标系Oxyz中,方程 2229x?
25y?
16z?
24xz?
80x?
60z?
0 表示什么曲面?
解:
将方程9x2?
25y2?
16z2?
24xz?
80x?
60z?
0进行配方, 于平面3x?
4z?
0,y?
0,4x?
3z?
0,两(3x?
4z)?
25y?
20(4x?
3z)?
0, 两垂直,所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面y?
O?
z?
x?
O?
z?
x?
O?
y?
,于是作坐标变换:
xyz1515(3x?
4z),22y,(4x?
3z),将它们代入方程得到x?
2?
y?
2?
4z?
?
0,因此该方程表示双曲抛 物面。
8.已知e?
r,e?
1,将r绕e右旋角度?
得r1,试用,r,?
表示r1。
解:
如下图于e是单位向量,且e?
r,所以r绕e右旋角度 ?
2得到e?
r,三向量r,
e e?
r?
r1 r r1,e?
r共面且有相同的模长,于是r1可表示为r与e?
r的线性组合,即 r1?
kr?
le?
r,分别与r,e?
r作内积,得到k?
cos?
l?
sin?
,故r1?
cos?
r?
sin?
e?
r. 9.将右手直角坐标系?
1?
{O;e1,e2,e3}绕方向v?
(1,1,1)右旋 ?
e2?
e3?
},求?
1到?
2的点的坐标变换公式。
系?
2?
{O;e1?
3,原点不动,得坐标 解:
先考虑一个向量r绕另一个向量v右旋?
得到的向量r1的表达式, r?
?
vr1r1?
rr?
过r的终点作垂直于v的向量r?
,绕v右旋?
得到的向量r1?
,r1?
的终点就是r1的终点,于是r1?
?
cos?
r?
?
sin?
vv?
r?
.而r?
?
r?
r?
vv2v,r1?
?
r1?
r?
vv2v,所以 r1?
cos?
r?
(1?
cos?
)r?
vv2v?
sin?
v?
rv. 此表达式e1,e2,e3绕方向v?
(1,1,1)右旋 ?
?
e123e1?
23e2?
13e3,e213e1?
23?
323得到 ?
?
e3,e323e1?
13e2?
23e3, e2?
所以坐标变换为 ?
x?
?
21y?
2?
?
3z1?
12221?
2xy。
z1.设l1与l2是两条不垂直的异面直线,分别通过l1和l2作两个互相垂直的平面,证明交 线的轨迹是单叶双曲面。
解:
设异面直线的距离为2a,夹角为2?
04,建直角坐标系使得公垂线为x轴, 公垂线段的中点为坐标原点,两异面直线在yOz坐标面上的投影的两角平分线为坐标轴,则两直线的方程可表示为 ?
x?
a?
0,?
x?
a?
0,l1:
?
l2:
?
?
y?
ztan?
?
0,?
y?
ztan?
?
0,通过l1和l2的平面束方程分别为:
k(x?
a)?
y?
ztan?
?
0,l(x?
a)?
y?
ztan?
?
0,要使得两平面垂直,则有 2(k,1,?
tan?
)?
(l,1,tan?
)?
0,即kl?
1?
tan?
?
0,于是相交直线的轨迹满足 kl(x?
a)(x?
a)?
(y?
zta?
n22222)(y?
zt?
an?
)因而 22(1?
tan?
)x?
y?
ztan?
?
(1?
tan?
)a, 所以交线的轨迹是单叶双曲面。
习题 1.利用不变量求下列曲面的简化方程:
11x2?
10y2?
6z2?
12xy?
8yz?
4xz?
72x?
72y?
36z?
150?
0;x2?
3y2?
z2?
2xy?
2yz?
2xz?
2x?
4y?
4z?
12?
0;xy?
yz?
xz?
a2?
0; 9x2?
4y2?
4z2?
12xy?
8yz?
12xz?
4x?
y?
10z?
1?
0;2y2?
4xz?
2x?
4y?
6z?
5?
0.解:
二次曲面的矩阵:
?
11?
?
6A2?
?
36?
610?
4?
362?
46183636?
18?
?
150?
计算不变量 I1?
11?
10?
6?
27,I2?
11I3?
?
62?
610?
4211?
6?
610?
11211?
623626?
10?
4?
462?
4618?
180,36?
3618150?
?
12?
4?
81.?
610?
4?
36 ?
4?
4?
81?
324,I4?
6特征方程是?
?
3?
27?
2?
180?
?
324?
0,即(?
?
3)(?
?
6)(?
?
18)?
0,特征根为?
1?
3,?
2?
6,?
3?
18,I4I3?
?
12, 于是,简化方程为3x?
2?
6y?
2?
18z?
2?
12?
0.即x?
2?
2y?
2?
6z?
2?
4?
0.二次曲面的矩阵:
?
1?
1A1113121112?
1?
?
2?
2?
?
12?
计算不变量 I1?
1?
3?
1?
5,I2?
1I3?
1113111?
0,I4?
111111?
113?
131211111211?
3111?
4,?
12212?
?
18. 特征方程是?
?
3?
5?
2?
4?
?
0,即?
(?
?
1)(?
?
4)?
0, I4I2?
18492特征根为?
1?
1,?
2?
4,?
3?
0,, 于是,简化方程为x?
2?
4y?
2?
32z?
?
0.二次曲面的矩阵:
?
?
0?
?
1A?
?
2?
1?
?
2?
0?
120120121200?
0?
?
0?
?
?
0?
?
2?
?
a?
计算不变量 0I1?
0,I2?
3120I3?
12121201212120?
14120?
?
34,01,I4?
2120120120121200000?
a2 ?
?
a24.特征方程是?
?
3?
34?
?
14?
0,即(?
?
1)(2?
?
1)?
0,1222特征根为?
1?
1,?
2?
?
3?
?
于是,简化方程为x?
2?
二次曲面的矩阵:
?
9?
?
6?
A?
?
6?
?
2?
?
6441264452?
?
1?
2?
51?
?
I4I3?
?
a, 212y?
?
12z?
?
a?
0. 22计算不变量 I1?
9?
4?
4?
17,I2?
9699I3?
6664464?
0,I4?
46626464412?
9664456421251?
4444?
0, ?
0. 9K2?
62641221219?
6264524445125?
?
18334, 5?
4112特征方程是?
?
3?
17?
2?
0,特征根为?
1?
17,?
2?
?
3?
0,K2I1494, ?
?
于是,简化方程为17x?
2?
7y?
?
0.二次曲面的矩阵:
?
0?
0A2?
?
1020?
2200312?
3?
?
5?
计算不变量 I1?
2,I2?
0I3?
020200020?
?
8,I4?
002?
0220?
002120020?
200?
?
4,20031?
235?
0. 特征方程是?
?
3?
2?
2?
4?
?
8?
0,即(?
?
2)2(?
?
2)?
0,特征根为?
1?
?
2?
2,?
3?
?
2,I4I3?
0, 于是,简化方程为2x?
2?
2y?
2?
2z?
2?
0.即x?
2?
y?
2?
z?
2?
0. 2.证明:
二次曲面为圆柱面的条件为I3?
0,I12?
4I2,I4?
0。
证明:
用不变量表示的圆柱面的简化方程是?
1x?
?
2y?
22K2I2?
0,于是I3?
I4?
0,特征方程?
?
3?
I1?
2?
I2?
?
0有两个相 同的根,即?
2?
I1?
?
I2?
0有两个相同的根,因而I12?
4I2. 3.求a,b之值,使二次曲面
222x?
y?
z?
2axz?
2byz?
2x?
4y?
2z?
0 表示二次锥面。
解:
二次锥面的不变量I3?
0,I4?
0,所以 1I4?
0a?
101b?
2ab?
11?
1?
210?
4a?
b?
4ab?
2a?
4b?
4?
0. 224.求出曲面方程 (ax?
by?
cz?
d)(a1x?
b1y?
c1z?
d1)?
0 的简化方程。
解:
设平面:
f(x,y,z)?
ax?
by?
cz?
d?
0,f1(x,y,z)?
a1x?
b1y?
c1z?
d1?
0 两平面的法向量为n?
(a,b,c),n1?
(a1,b1,c1),如果两平面重合,则简化方程为 n2x?
?
0,其中x?
?
2ax?
by?
cz?
dn. 如果两平面平行不重合,则n?
(a,b,c),n1?
(a1,b1,c1)共线,令 x?
?
ax?
nb?
y1cz?
(2nd1d?
),n11dd(?
12nn1d1n12?
?
于是f(x,y,z)?
n(x)),f1(x,y,z)?
n1(x?
?
12(d1n1?
dn)),所以 简化方程为nn1(x?
2?
14(dn?
))?
0. 如果两平面不平行,则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系,单位法向量记为 n,n1,因而角平分面的方程为 00f(x,y,z)n000?
f1(x,y,z)n1?
0,f(x,y,z)n?
f1(x,y,z)n1?
0,它们的法向量分别是 n?
n1,n?
n1。
前一个角平分面为y?
O?
z?
面,后一个角平分面为x?
O?
z?
面,因而令 0f1(x,y,z)1f(x,y,z)x(?
),?
00nnn?
n11?
?
f1(x,y,z)1f(x,y,z)?
y?
?
(?
),00?
nn1n?
n1?
于是简化方程为 nn14(n?
n1002x?
?
n?
n12002y?
)?
0. 25.证明:
在直角坐标系Oxyz中,顶点在原点的二次锥面 a11x?
a22y?
a33z?
2a12xy?
2a23yz?
2a13xz?
0 222有三条互相垂直的直母线的充分必要条件是a11?
a22?
a33?
0。
证明:
必要性,因为二次锥面的顶点为原点,且有三条互相垂直的直母线,所以选取该三条直母线为新坐标系的坐标轴,新坐标系下的方程变为:
?
x?
?
a22?
y?
?
a33?
z?
?
2a12?
x?
y?
?
2a23?
y?
z?
?
2a13?
x?
z?
?
0a11222新坐标系下的点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在曲面上,应满足上述曲面的方程,因而得 ?
?
0,a22?
?
0,a33?
?
0,即不变量I1?
a11?
a22?
a33?
0.到a11充分性,因为曲面是二次锥面,所以可以选取适当的直角坐标系使曲面的方程是 ax?
?
by?
?
cz?
?
0,且不变量I1?
a?
b?
c?
0,其上选点(c,0,a)即一直 222222222母线l1的方向向量,则向量(?
ab,c4?
a4,bc)确定的直母线l2与直母线l1垂直。
现在以这两条直母线为新坐标系的坐标轴x?
y?
轴,在此坐标系下的点(1,0,0),(0,1,0)在曲面 ?
?
z?
?
2?
2a12?
?
x?
?
y2a23?
?
y?
?
z2a13?
?
x?
?
z0,I1?
a330.上,所以曲面的方程为a33此可见点(0,0,1)也在曲面上,它决定的直母线l3与直母线l1、l2都垂直,故曲面上有三条互相垂直的直母线。
习题 1.求下列曲面的中心 14x2?
14y2?
8z2?
8xy?
4xz?
4yz?
18x?
18y?
5?
0;5x2?
26y2?
10z2?
6xy?
14xz?
4yz?
8x?
18y?
10z?
4?
0;x2?
y2?
z2?
2xy?
2xz?
2yz?
2x?
2y?
2z?
3?
0.解:
曲面的中心满足 ?
14x?
4y?
2z?
9?
0,114x?
14y?
2z?
9?
0,此方程组有唯一解(?
,0),即为中心。
22?
?
2x?
2y?
8z?
0,?
曲面的中心满足 ?
5x?
3y?
7z?
4?
0,?
x?
6y?
2z?
1?
0,?
它等价于表示中心在该直线上。
?
?
3x?
26y?
2z?
9?
0,?
11y?
z?
3?
0,?
7x?
2y?
10z?
5?
0,?
曲面的中心满足 ?
x?
y?
z?
1?
0,x?
y?
z?
1?
0,等价于x?
y?
z?
1?
0,表示中心在此平面上。
?
x?
y?
z?
1?
0,?
2.判断下列各二次曲面何者是中心曲面,何者是非中心曲面,并进一步区分是线心曲面、面心曲面还是无心曲面。
3x2?
5y2?
3z2?
4xy?
2xz?
2yz?
2x?
12y?
10z?
20?
0;2x2?
18y2?
8z2?
12xy?
24yz?
8xz?
5x?
15y?
10z?
2?
0;4x2?
y2?
z2?
2yz?
8x?
4y?
8z?
2?
0.解:
曲面的矩阵 ?
3?
?
2?
A?
?
1?
?
1?
25?
161?
1351?
3?
6?
,不变量I?
?
235?
1?
20?
?
25?
11?
1?
29?
0,曲面是中心曲面。
3曲面的矩阵 ?
?
26A4?
?
52?
61812152?
41285?
5?
2?
?
215?
2?
,不变量I3?
?
6?
5?
4?
?
26512?
412?
0,所以曲面是非中心曲8面。
曲面的中心满足 5?
2x?
6y?
4z?
?
0,?
2?
15?
?
6x?
18y?
12z?
?
0,方程组等价于?
4x?
12y?
8z?
5?
0,即中心在一个平?
24x?
12y?
8z?
5?
0,?
?
面上,所以是面心曲面。
曲面的矩阵 ?
4?
0?
A?
?
040?
11?
201?
14?
4?
4?
?
2?
,不变量I?
034?
0?
?
2?
0?
1101?
0,曲面是非中心曲面,曲面?
1中心满足 ?
4x?
4?
0,y?
z?
2?
0,方程组无解,所以曲面是无心曲面。
?
y?
z?
4?
0,?
3.求下列各二次曲面的渐近锥面:
2xz?
y2?
2z2?
1?
0; x2?
y2?
z2?
4xy?
4xz?
4yz?
3?
0;5x2?
9y2?
9z2?
12xy?
6xz?
12x?
36z?
0.解:
曲面的不变量 0I3?
0101010?
?
1?
0,所以曲面是中心曲面,有渐近锥面,曲面的中心为原点,故?
2渐近锥面方程为2xz?
y2?
2z2?
0. 曲面的中心满足 ?
x?
2y?
2z?
0,2x?
y?
2z?
0,原点是它的唯一解,曲面是中心曲面,故渐近锥面方程为?
?
2x?
2y?
z?
0,?
x?
y?
z?
4xy?
4xz?
4222yz?
0.曲面的不变量 5I3?
?
6?
3?
690?
30?
0,所以曲面是非中心曲面,因此没有渐近锥面。
9习题 1.求下列二次曲面的奇向 9x2?
4y2?
91z2?
18xy?
40yz?
36?
0; x2?
y2?
4z2?
2xy?
4xz?
4yz?
4x?
4y?
8z?
0.解:
曲面的不变量 9I3?
909?
4?
200?
20?
0,所以曲面没有奇向。
?
91曲面的不变量 1I3?
1?
211?
2?
x?
y?
2z?
0,?
奇向满足方程组?
x?
y?
2z?
0,等价?
2?
0,所以曲面有奇向, ?
?
2x?
2y?
4z?
0,4?
?
2于x?
y?
2z?
0,所以平行于平面x?
y?
2z?
0的方向都是奇向。
2.已知曲面x2?
2y2?
z2?
2xy?
2yz?
2xz?
4x?
1?
0,求与方向1:
(?
1):
0共轭的直径面方程。
解:
曲面的矩阵 ?
1?
?
1A12?
12?
101?
1?
10?
2?
?
0?
,与方向1:
(?
1):
0共轭的直径面方程01?
x?
y?
z?
2?
(?
x?
2y?
z)?
0,即2x?
3y?
2z?
2?
0。
3.已知曲面4x2?
y2?
z2?
4xy?
4xz?
2yz?
x?
y?
1?
0,求过原点的直径面。
解:
曲面的矩阵 ?
?
4?
?
2A2?
?
1?
?
221?
1?
12?
2?
1101?
2?
?
1?
?
2?
,则与方向X:
Y:
Z共轭的直径面是?
0?
?
1?
?
X(4x?
2y?
2z?
12)?
Y(2x?
y?
z?
12)?
Z(?
2x?
y?
z)?
0,因为经过原点, 所以,X?
2112代入直径面的方程中得到(3X?
Z)(2x?
y?
z)?
0,Y?
0即X?
Y, 此得直径面的方程2x?
y?
z?
0. 4.求曲面S1:
x2?
y?
z?
0,S2:
x2?
y2?
z2?
2x?
2y?
2z?
0的公共的直径面。
解:
因为有中心的曲面的直径面都要经过中心,所以求出曲面的中心就可以解决问题。
S1:
x?
y?
z?
0与方向X:
Y:
Z共轭的直径面方程Xx?
222212Y?
12Z?
0。
S2:
x?
y?
z?
2x?
2y?
2z?
0的中心满足方程组x?
1?
0,y?
1?
0,z?
1?
0,
即中心是(1,1,1),该中心应该在直径面上,所以X?
12Y?
12Z?
0,故公共的直径面方 程是x?
1?
0. 5.求下列二次曲面的主方向与主径面,并且求出直角坐标变换,写出简化方程。
14x2?
14y2?
8z2?
4yz?
4xz?
8xy?
18x?
18y?
5?
0;3x2?
5y2?
3z2?
2xy?
2xz?
2yz?
2x?
12y?
10z?
20?
0.解:
曲面的矩阵 ?
14?
?
4A2?
?
9?
414?
2?
9?
2?
28099?
,0?
?
5?
不变量I1?
36,I2?
14I4?
?
4?
29?
414?
2?
9?
2?
28014?
49?
905?
414?
14?
2?
28?
14?
2?
28?
396,I3?
36, 2?
?
4?
36. 22特征方程是?
?
3?
36?
2?
396?
?
362?
0即,(?
?
6)(?
?
30?
?
216)?
0,特征根 是?
1?
6,?
2?
12,?
3?
18.简化方程是6x?
2?
12y?
2?
18z?
2?
4?
0. 特征根?
1?
6的主方向满足方程组 ?
8X?
4Y?
2Z?
0,4X?
8Y?
2Z?
0,得到主方向X:
Y:
Z?
1:
1:
2,?
4(1,1,2)?
0对应的主经?
?
2X?
2Y?
2Z?
0?
面是x?
y?
2z?
0. 特征根?
2?
12的主方向满足方程组 ?
2X?
4Y?
2Z?
0,4X?
2Y?
2Z?
0,得到主方向X:
Y:
Z?
1:
1:
(?
1),?
4(1,1,?
1)?
0对应的?
?
2X?
2Y?
4Z?
0?
主经面是x?
y?
z?
0. 特征根?
3?
18的主方向满足方程组 ?
?
4X?
4Y?
2Z?
0,4X?
4Y?
2Z?
0,得到主方向X:
Y:
Z?
1:
(?
1):
0,?
4(1,?
1,0)?
18对应?
?
2X?
2Y?
10Z?
0?
的主经面是x?
y?
1?
0. 曲面的中心是(?
1?
6?
?
x?
?
1?
?
y6?
?
z2?
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