第4讲 数列求和2.docx
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第4讲数列求和2
第四讲数列特征与数列求和问题
(二)
【主题策划】
观察下面数列的规律,并按规律填空:
(1)1、3、9、27、81、()、()。
(2)1、、、、、()、()、。
(3)1、4、9、16、25、()、()、64。
(4)1、1、2、3、5、()、()、21。
(5)1、2、4、7、11()、()、29。
前两串数列有这样的规律:
每一项除以它前面一项的商都相等,在第一个数列中,这个商是3,在第二串数列中,这个商是,具有这个特点的数叫做等比数列,其后一项与前一项的商叫做公比。
第三串数列除了相邻两数的差是一串奇数列“3、5、7、9、11、13、15”外,还有一个规律:
它的每一个数都是这个数所在项数的平方,如1=12,4=22,9=32,等,我们把这串数列叫做自然数的平方数列。
第四串数列的规律是:
从第三项开始,后面每一个数总是它前面两个数的和,这个数列叫做“非波那切数列”或“兔子数列”这个数列有很多有趣的性质,有兴趣的同学可以再去研究。
第五串数列的规律是:
后面一项与前面一项的差是逐渐变大的,这些差又组成了一个等差数列。
这些数列按规律填空如下:
(1)1、3、9、27、81、(243)、(729)。
(2)1、、、、、()、()、。
(3)1、4、9、16、25、(36)、(49)、64。
(4)1、1、2、3、5、(8)、(13)、21。
(5)1、2、4、7、11(16)、(22)、29。
【五环旗下】
例1、有一个七层塔,每一层所点灯的盏数都等于上一层的2倍,一共点了381盏灯。
求顶层点了几盏灯?
分析与解:
设第七层点了x盏灯,根据题意列方程为:
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
(1+2+4+8+16+32+64)x=381
1+2+4+8+16+32+64是一个等比数列,计算它的和有很多种方法,今天我们来学习用“构造法”求等比数列的和。
设1+2+4+8+16+32+64=A,那么2A=2+4+8+16+32+64+128,2A-A应为:
127x=381
x=3
答:
顶层点了3盏灯。
例2、计算2+6+18+54+162+486
分析与解:
这是一个公比是3的等比数列,我们设2+6+18+54+162+486=A,那么3A=2×3+6×3+18×3+54×3+162×3+486×3=6+18+54+162+486+1458,3A-A应为:
所以A=1456÷2=728
即2+6+18+54+162+486=728。
我们还可以从2+6+18+54+162+486这几个加数中,提出公因数2,原式变为2(1+3+9+27+81+243),括号内也是一个公比是3的等比数列,同学们可以求出这个等比数列的和,再乘以2,得到原式的结果。
注:
例1中1+2+4+8+16+32+64的公比是2,我们构造了一个2A;例2中2+6+28+54+162+486的公比是3,我们在求和时构造了一个3A,如果等比数列的公比是n,我们在求和时就要构造一个nA。
例3、计算:
12+22+32+42=()
分析与解:
12=1×1=1
22=2×2=2+2
32=3×3=3+3+3
42=4×4=4+4+4+4
12+22+32+42=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4
根据平方数的意义、乘法的意义我们可以把原式改写为:
我们可以把1+2+2+3+3+3+4+4+4+4这些数写在一个三角形内,计算12+22+32+42就是计算一个三角形内所有数的和。
为了更好的进行计算,我们用“扩”的思想,增加两个同样的三角形(如图1)。
把第二张卡片逆时针旋转60度,第三张卡片逆时针旋转120度,把旋转后的三张卡片重叠在一起,三张卡片相对应位置的三个数相加,结果都等于2×4+1=9(如图2)。
图2中共有1+2+3+4==10个数,那么图2中所有数的和是9×,图1中每张三角形内数的和应该为:
9×÷3=×===30。
如果三角形卡片上的数是12+22+32+42+……+n2,用这道题的思考方法可以得到12+22+32+42+……+n2=
【竞技搏击】
例4、在数列1、2、3、4、3、4、5、6、5、6、7、8、7、8、9、10、……中,第1994个数是多少?
分析与解:
这列数如果直接观察,相邻两个数的和或差没有固定的规律,但如果把它们适当分组,每组内几个数就是有规律排列的。
按照四个数为一组,我们可以得到有规律的数组。
在数组中每一组的第一个数都以奇数打头,可以表示为2n-1,这里n是这个奇数所在的组数。
1994÷4=498……2,第1994个数是第499组的第2个数。
第499组第1个数是2×499-1=997,第二个数是997+1=998。
所以第1994个数是998。
例5、从1998开始的100个连续自然数中,前50个数的和比后50个数的和小多少?
分析与解:
解法一、把从1998开始的100个连续自然数分成两部分,并计算前50个数的和,再计算后50个数的和,然后求两个和的差。
前50个数的和:
1998+1999+2000+……+2047=101125
后50个数的和:
2048+2049+2050+……+2097=103625
前50个数的和比后50个数的和小103625-101125=2500。
解法二、从1998开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和小多少,与从1开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和少的值相等。
前50个数与后50个数个数相等,所以我们把前50个数与后50个数按照一一对应进行排列。
上、下两列数,相对应的两个数的差是50,这样共出现50个50,所以从1998开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和小50×50=2500。
例6、有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1、5、10),(2、10、20),(3、15、30),……,求第99个数组内三个数的和是多少?
分析与解:
解法一、这串数组的第一个数、第二个数、第三个数都是有规律出现的:
第一个数是从1开始的连续自然数,且这个数与这一组的组数相同,第二个数都是5的倍数,分别是5的1倍、2倍、3倍等等,且这个倍数也与数组的组数相同。
第三个数都是第二个数的2倍。
99+99×5+99×5×2=99+495+990=1584
解法二、第一组数的和是16,第二组数的和是32,第三组三个数的和是48,它们分别是16的1倍、2倍、3倍等等,且这个倍数与数组的组数相同,所以第99组内三个数的和是:
16×99=1584。
【超越极限】
例7、计算下面数阵中所有数的和,并简要写出解答过程。
1、2、3、4、5、6
2、3、4、5、6、7
3、4、5、6、7、8
4、5、6、7、8、9
5、6、7、8、9、10
6、7、8、9、10、11
分析与解:
这道题可以用“以静变动”思路来解答。
在解答问题时,我们可以让这个静止的数阵“动”起来,沿着数阵左下角至右上角的对角线对折。
(如图1)对角线上的数都是6,对折后重叠的两数
1(11)2(10)3(9)4(8)5(7)66、6、6、6、6、6
2(10)3(9)4(8)5(7)66、6、6、6、6、6
3(9)4(8)5(7)66、6、6、6、6、6
4(8)5(7)66、6、6、6、6、6
5(7)66、6、6、6、6、6
66、6、6、6、6、6
(1)
(2)
之和均是12,12等于6加6,即重叠在一起的两个数通过“移多补少”均可以变成6,所以原方阵可以转化图
(2),图
(2)中所有数的和为6×6×6=216,原方阵中所有数的和也一定是216。
这道题还有很多种解法,有兴趣的同学,可以开动脑筋继续研究。
例8、如上图,图(1)是一个三角形球垛,已知这个三角形球垛是由图(2)中的六层三角形球阵堆积而成,并在球垛顶层又放上一个球。
请你算一算:
图(1)中共有多少个小球?
图(1) 图(2)
(第八届“华罗庚金杯数学邀请赛”初赛试题)
分析与解:
解法一:
分拆球垛。
把图(1)中的球垛分拆成图(2),分别计算出每一层球阵中小球的个数,把这六层球数相加,再加上1,就是图(1)中小球个数。
第一层有球 1+2+3+4+5=15(个)
第二层有球 1+2+3+4+5+6=21(个)
第三层有球 1+2+3+4+5+6+7=28(个)
第四层有球 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个)
第五层有球 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个)
第六层有球 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(个)
15+21+28+36+45+55+1=201(个)
解法二:
把图(1)中的三角形球垛补上三层,使它成为一个第一层1个球,第二层3个球,第三层6个球,第四层10个球,第五层15个球,……第十层55个球的三角形球垛。
算出总球数减去补上的球数,就是原球垛中小球的个数。
1+3+6+10+15+21+28+36+45+55
=(1+3)+(6+10)+(15+21)+(28+36)+
(45+55)
=4+16+36+64+100
=4×(1+4+9+16+25)
=4×(12+22+32+42+52)
注:
计算12+22+32+42+52我们可以利用自然数平方数列的求和公式
12+22+32+42+……n2=1/6×n×(n+1)×(2n+1)
4×(12+22+32+42+52)
=4×1/6×5×6×11
=220(个)
补完的球垛共有220个球,减去补上的球,就是原球垛中球的个数。
220-(3+6+10)=201(个)
解法三:
补齐三角形球垛,利用古人的研究成果直接计算。
我国古代南宋时期伟大的数学家杨辉在《详解九章算法》中就早已研究过三角形数(1、3、6、10、15、21、……n×(n+1)/2称为三角形数)问题。
并且研究出三角形数的求和公式:
1+3+6+10+……n×(n+1)/2=1/6×n×(n+1)×(n+2)
我们可以利用三角形数求和公式求出:
1+3+6+10+15+21+28+36+45+55
=1/6×10×11×12
=220(个)
220-(3+6+10)=201(个)
所以图(1)的球垛中共有球201个。
练习题
1、计算下面各题。
(1)3+6+12+……+1536
(2)1+5+25+……+15625
(3)12+22+32+……+292
(4)1×2+2×3+3×4+……+29×30
2、12345654321×(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)的积是哪个数的平方?
3、有12个数排成一排,每个数都是它前面一个数的一半,第10个数是4,这12个数的和是多少?
4、右面的图是由方砖堆起来的“宝塔”,仔细观察后请你回答:
(1)从上往下数,第五层包含()块砖。
(2)若有10层,共包含()块砖。
(3)若有20层,共包含()块砖。
5、按一定规律排列的一串数:
、……。
这些数的总和是多少?
6、有这样一列数:
123,654,789,121110,131415,181716,192021……求在这列数中出现的第一个九位数是多少?
它在这个数列的什么位置?
7、黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数:
1、3、5、7、9、11、13、……,擦去其中的一个奇数以后,剩下的所有奇数的和是1998。
那么,擦去的一个奇数是()。
8、有数组(1,
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