【精品】《离散数学》题库及答案.doc
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《离散数学》题库与答案
一、选择或填空
(数理逻辑部分)
1、下列哪些公式为永真蕴含式?
( )
(1)Q=>Q→P
(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P
答:
在第三章里面有公式
(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别)
2、下列公式中哪些是永真式?
()
(1)(┐PQ)→(Q→R)
(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)
答:
(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明
3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?
()
(1)P=>PQ
(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ
(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P
答:
(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式
4、公式"x((A(x)®B(y,x))Ù$zC(y,z))®D(x)中,自由变元是(),约束变元是()。
答:
x,y,x,z(考察定义在公式"xA和$xA中,称x为指导变元,A为量词的辖域。
在"xA和$xA的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y,x)和$zC(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元)
5、判断下列语句是不是命题。
若是,给出命题的真值。
()
(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
(3)你喜欢唱歌吗?
(4)若7+8>18,则三角形有4条边。
(5)前进!
(6)给我一杯水吧!
答:
(1)是,T
(2)是,F(3)不是(4)是,T(5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。
)
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答:
所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“"换成存在$,$换成"”,然后将命题的结论否定,“且变或或变且”)
7、设P:
我生病,Q:
我去学校,则下列命题可符号化为()。
(1) 只有在生病时,我才不去学校
(2)若我生病,则我不去学校
(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校
答:
(1)(注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的)
(2)(3)(4)
8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是()。
(1)"x$y(x+y=0)
(2)$y"x(x+y=0)
答:
(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0
(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0
9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:
(1)"x$y(xy=y) ( )
(2)$x"y(x+y=y) ( )
(3)$x"y(x+y=x) ( ) (4)"x$y(y=2x) ( )
答:
(1)F(反证法:
假若存在,则(x-1)*y=0对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾)
(2)F(同理)(3)F(同理)(4)T(对任一整数x存在整数y满足条件y=2x很明显是正确的)
10、设谓词P(x):
x是奇数,Q(x):
x是偶数,谓词公式$x(P(x)ÚQ(x))在哪个个体域中为真?
()
(1)自然数
(2)实数 (3)复数 (4)
(1)--(3)均成立
答:
(1)(在某个体域中满足不是奇数就是偶数,在整数域中才满足条件,而自然数子整数的子集,当然满足条件了)
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。
答:
2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是()
(1)永真式
(2)永假式 (3)可满足式 (4)
(1)--(3)均有可能
答:
(2)(这个记住就行了)
13、公式(PQ)(PQ)化简为(),公式Q(P(PQ))可化简为()。
答:
P,QP(考查分配率和蕴含等值式知识的掌握)
14、谓词公式"x(P(x)Ú$yR(y))Q(x)中量词"x的辖域是()。
答:
P(x)Ú$yR(y)(一对括号就是一个辖域)
15、令R(x):
x是实数,Q(x):
x是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()。
答:
"x(R(x)Q(x))
(集合论部分)
16、设A={a,{a}},下列命题错误的是()。
(1){a}P(A)
(2){a}P(A) (3){{a}}P(A) (4){{a}}P(A)
答:
(2)({a}是P(A)的一个元素)
17、在0()之间写上正确的符号。
(1)=
(2) (3) (4)
答:
(4)(空集没有任何元素,且是任何集合的子集)
18、若集合S的基数|S|=5,则S的幂集的基数|P(S)|=()。
答:
32(2的5次方考查幂集的定义,即幂集是集合S的全体子集构成的集合)
19、设P={x|(x+1)4且xR},Q={x|5x+16且xR},则下列命题哪个正确()
(1)QP
(2)QP (3)PQ (4)P=Q
答:
(3)(Q是集合R,P只是R中的一部分,所以P是Q的真子集)
20、下列各集合中,哪几个分别相等()。
(1)A1={a,b}
(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}
(5)A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}(6)A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答:
A1=A2=A3=A6,A4=A5(集合具有无序性、确定性和互异性)
21、若A-B=Ф,则下列哪个结论不可能正确?
()
(1)A=Ф
(2)B=Ф (3)AB(4)BA
答:
(4)(差集的定义)
22、判断下列命题哪个为真?
()
(1)A-B=B-A=>A=B
(2)空集是任何集合的真子集
(3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B,则A=B
答:
(1)(考查空集和差集的相关知识)
23、判断下列命题哪几个为正确?
( )
(1){Ф}∈{Ф,{{Ф}}}
(2){Ф}{Ф,{{Ф}}}(3)Ф∈{{Ф}}
(4)Ф{Ф}(5){a,b}∈{a,b,{a},{b}}
答:
(2),(4)
24、判断下列命题哪几个正确?
( )
(1)所有空集都不相等
(2){Ф}Ф(4)若A为非空集,则AA成立。
答:
(2)
25、设A∩B=A∩C,∩B=∩C,则B( )C。
答:
=(等于)
26、判断下列命题哪几个正确?
( )
(1)若A∪B=A∪C,则B=C
(2){a,b}={b,a}
(3)P(A∩B)P(A)∩P(B)(P(S)表示S的幂集)
(4)若A为非空集,则AA∪A成立。
答:
(2)
27、A,B,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:
(1)AB,BC=>AC
(2)AB,BC=>A∈B(3)A∈B,B∈C=>A∈C
答:
(1)((3)的反例C为{{0,1},0}B为{0,1},A为1很明显结论不对)
(二元关系部分)
28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2求
(1)R
(2)R-1
答:
(1)R={<1,1>,<4,2>}
(2)R={<1,1>,<2,4>}(考查二元关系的定义,R为R的逆关系,即R={
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
( )
答:
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、反对称性和传递性(题29,30,31全是考查定义)
32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉}
求
(1)RR
(2)R-1。
答:
RR={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}(考查FG={
R-1={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}
33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={( )}
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=2y},求
(1)R
(2)R-1。
答:
(1)R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}
(2)R={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},求R和R-1的关系矩阵。
答:
R的关系矩阵=R的关系矩阵=
36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
(1)自反的
(2)对称的 (3)传递的,对称的(4)传递的
答:
(2)(考查自反对称传递的定义)
(代数系统部分)
37、设A={2,4,6},A上的二元运算*定义为:
a*b=max{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是()。
答:
2,6(单位元和零元的定义,单位元:
e。
x=x零元:
θ。
x=θ)
38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为:
a*b=min{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是();
答:
9,3
(半群与群部分)
39、设〈G,*〉是一个群,则
(1)若a,b,x∈G,ax=b,则x=();
(2)若a,b,x∈G,ax=ab,则x=()。
答:
(1)ab
(2)b(考查群的性质,即群满足消去律)
40、设a是12阶群的生成元,则a2是()阶元素,a3是()阶元素。
答:
6,4
41、代数系统
答:
单位元(由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a,所以等幂元一定是幂等元,反之若a^n=a对一切N成立,则对n=2也成立,所以幂等元一定是等幂元,并且在群
42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素
答:
5,10(若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;我们也说,G是由元a生成的,并且用符号G=表示,且称a为一个生成元。
并且一元素的阶整除群的阶)
43、群
答:
单位元,1(在群
44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。
答:
循环群,任一非单位元(证明如下:
任一元素的阶整除群的阶。
现在群的阶是素数p,所以元素的阶要么是1要么是p。
G中只有一个单位元,其它元素的阶都不等于1,所以都是p。
任取一个非单位元,它的阶等于p,所以它生成的G的循环子群的阶也是p,从而等于整个群G。
所以G等于它的任一非单位元生成的循环群)
45、设〈G,*〉是一个群,a,b,c∈G,则
(1)若ca=b,则c=();
(2)若ca=ba,则c=()。
答:
(1)b
(2)b(群的性质)
46、
答:
47、群<A,*>的等幂元有( )个,是( ),零元有( )个。
答:
1,单位元,0
48、在一个群〈G,*〉中,若G中的元素a的阶是k,则a-1的阶是()。
答:
k
49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?
()
(1)a*b=a-b
(2)a*b=max{a,b} (3)a*b=a+2b (4)a*b=|a-b|
答:
(2)
50、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。
(1)不可能是群
(2)不一定是群
(3)一定是群 (4)是交换群
答:
(1)
51、6阶有限群的任何子群一定不是()。
(1)2阶
(2)3阶(3)4阶 (4)6阶
答:
(3)
(格与布尔代数部分)
52、下列哪个偏序集构成有界格()
(1)(N,)
(2)(Z,)
(3)({2,3,4,6,12},|(整除关系)) (4)(P(A),)
答:
(4)(考查幂集的定义)
53、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。
(1)偶数
(2)奇数(3)4的倍数 (4)2的正整数次幂
答:
(4)
(图论部分)
54、设G是一个哈密尔顿图,则G一定是()。
(1)欧拉图
(2)树 (3)平面图(4) 连通图
答:
(4)(考察图的定义)
55、下面给出的集合中,哪一个是前缀码?
( )
(1){0,10,110,101111}
(2){01,001,000,1}
(3){b,c,aa,ab,aba} (4){1,11,101,001,0011}
答:
(2)
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
答:
所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示(),入度deg-(v)表示()。
答:
以v为起点的边的条数,以v为终点的边的条数
58、设G是一棵树,则G的生成树有()棵。
(1)0
(2)1 (3)2 (4)不能确定
答:
1
59、n阶无向完全图Kn的边数是(),每个结点的度数是()。
答:
n-1
60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
答:
m=n-1
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中()的回路。
答:
所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树,其结点度数之和是( )。
答:
2n-2(结点度数的定义)
63、下面给出的集合中,哪一个不是前缀码()。
(1){a,ab,110,a1b11}
(2){01,001,000,1}
(3){1,2,00,01,0210}(4){12,11,101,002,0011}
答:
(1)
64、n个结点的有向完全图边数是(),每个结点的度数是()。
答:
n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是()。
答:
它是连通图
66、设G是一棵树,n,m分别表示顶点数和边数,则
(1)n=m
(2)m=n+1(3)n=m+1(4)不能确定。
答:
(3)
67、设T=〈V,E〉是一棵树,若|V|>1,则T中至少存在()片树叶。
答:
2
68、任何连通无向图G至少有()棵生成树,当且仅当G是(),G的生成树只有一棵。
答:
1,树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于:
(1)m-n+2
(2)n-m-2(3)n+m-2(4)m+n+2。
答:
(1)
70、设T是一棵树,则T是一个连通且()图。
答:
无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2,则图G有()个顶点。
(1)10
(2)4(3)8(4)16
答:
(4)
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有()个顶点。
(1)10
(2)4(3)8(4)12
答:
(4)
73、设图G=
答:
有向图
74、任一有向图中,度数为奇数的结点有( )个。
答:
偶数
75、具有6个顶点,12条边的连通简单平面图中,每个面都是由( )条边围成?
(1)2
(2)4 (3)3 (4)5
答:
(3)
76、在有n个顶点的连通图中,其边数()。
(1)最多有n-1条
(2)至少有n-1条
(3)最多有n条 (4)至少有n条
答:
(2)
77、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则其1度顶点为()。
(1)5
(2)7(3)8 (4)9
答:
(4)
78、若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点,则它()片树叶。
(1)n
(2)2n(3)n-1 (4)2
答:
(1)
79、下列哪一种图不一定是树()。
(1)无简单回路的连通图
(2)有n个顶点n-1条边的连通图
(3)每对顶点间都有通路的图 (4)连通但删去一条边便不连通的图
答:
(3)
80、连通图G是一棵树当且仅当G中()。
(1)有些边是割边
(2)每条边都是割边
(3)所有边都不是割边 (4)图中存在一条欧拉路径
答:
(2)
(数理逻辑部分)
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式:
1、(P→Q)R
解:
(P→Q)R(PQ)R
(PR)(QR)(析取范式)
(P(QQ)R)((PP)QR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主合取范式)
2、(PR)(QR)P
解:
(PR)(QR)P(析取范式)
(P(QQ)R)((PP)QR)(P(QQ)(RR))
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((PR)(QR)P)
(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(PR)(QR)P(PQR)(PQR)(主合取范式)
3、(P→Q)(RP)
解:
(P→Q)(RP)
(PQ)(RP)(合取范式)
(PQ(RR))(P(QQ))R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)
((P→Q)(RP))
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(原公式否定的主合取范式)
(P→Q)(RP)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(主析取范式)
4、Q→(PR)
解:
Q→(PR)
QPR(主合取范式)
(Q→(PR))
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)
Q→(PR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主析取范式)
5、P→(P(Q→P))
解:
P→(P(Q→P))
P(P(QP))
PP
T(主合取范式)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
6、(P→Q)(RP)
解:
(P→Q)(RP)(PQ)(RP)
(PQ)(RP)(析取范式)
(PQ(RR))(P(QQ)R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(P→Q)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主合取范式)
7、P(P→Q)
解:
P(P→Q)P(PQ)(PP)Q
T(主合取范式)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
8、(R→Q)P
解:
(R→Q)P(RQ)P
(RP)(QP)(析取范式)
(R(QQ)P)((RR)QP)
(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)
(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
((R→Q)P)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(R→Q)P(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(主合取范式)
9、P→Q
解:
P→QPQ(主合取范式)
(P(QQ))((PP)Q)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)
(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
10、 PQ
解:
PQ(主合取范式)
(P(QQ))((PP)Q)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)
(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)
11、PQ
解:
PQ(主析取范式)(P(QQ))((PP)Q)
(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)
(PQ)(PQ)(PQ)(主合取范式)
12、(PR)Q
解:
(PR)Q
(PR)Q
(PR)Q
(PQ)(RQ)(合取范式)
(PQ(RR))((PP)QR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)
(PR)Q
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)
(PR)Q
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(主析取范式)
13、(PQ)R
解:
(PQ)R
(PQ)R
(PQ)R(析取范式)
(PQ(RR))((PP)(QQ)R)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(主析取范式)
(PQ)R
(PQ)R
(PQ)R(析取范式)
(PR)(QR)(合取范式)
(P(QQ)R)((PP)QR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)
14、(P(QR))(P(QR))
解:
(P(QR))(P(
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