复习61勾股定理峄城潘歌.docx
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复习61勾股定理峄城潘歌
课时课题:
第六讲考点1勾股定理
执教人:
枣庄二十八中潘歌
课型:
复习课
授课时间:
2013年5月2日星期四第1、2节课
考试要求:
1.掌握勾股定理及其逆定理,掌握直角三角形的性质.
2.体验勾股定理的探究过程,会用勾股定理解决实际问题.
重点:
掌握勾股定理及其逆定理.
难点:
会用勾股定理解决实际问题.
教法及学法指导:
本节课是复习勾股定理,借助导学案,帮助学生回顾梳理本考点的知识要点;在小组讨论的基础上,师生共同建构本章的知识体系;进一步通过考题研究、来巩固本章的主要内容,达到巩固基础、提升能力的目的,在学习过程中要注意勾股定理的运用.同时,把握知识点间的联系.在学习过程中,还应注意研究中考的命题方向,夯实学生的基础,消灭易错点,确保基础不丢分,提高训练的针对性.
教学准备:
教师准备:
多媒体课件.
学生准备:
导学案.
教学过程:
一、激趣导入,预习展示
【师】同学们还记得这个美丽的图案吗?
在我们学习什么知识的时候用过它?
【生】学习推导勾股定理的时候(异口同声).
【师】请同学们结合下列知识网络图对本考点进行简要回顾.
(多媒体展示)
直角三角形的知识结构图
设计意图:
出示知识结构图让学生清晰、形象地了解各知识点间的联系.同时在此停留时间不宜太长,让学生有个大概的认识就行.
考点提要
(导学案提前下发,学生在导学案中填空.)
一、勾股定理
1.如果直角三角形两条直角边长分别为a,b斜边长为c,那么a,b,c三边应满足:
_____________.
2.勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
几组常见勾股数:
(1)3,4,5;
(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)8,15,17;
(5)7,24,25;(6)9,40,41等
勾股定理的应用:
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:
(1)已知直角三角形的两边求第三边问题.
(2)实际生活的运用(比如题组三).
(3)利用勾股定理解决折叠、对称、旋转问题等.
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是__________.
勾股定理的逆定理应用:
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:
(1)先确定最长的边;
(2)验证最长的边的平方是不是其它两边的平方和;
(3)若相等,那么这个三角形是直角三角形,最长的边对的角是直角;若不相等,那么这个三角形就不是直角三角形.
提示:
定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边).
a2+b2=c2
A
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理.
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关.
设计意图:
让学生进一步巩固本节学习的内容,把握复习重点,如有遗忘,借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间,也能加深学生对知识网络的理解.
实际效果:
通过课上展示,学生间相互补充,努力做到语言规范,准确.这样做既能够暴露出学生存在的问题(比直接给出答案让学生对比纠正要好的多),又能使学生感悟到知识的严密性,同时也节省了上课的时间.
二、题组训练,夯实基础
(导学案课前完成,课堂矫正)
题组一:
1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()
A.25B.14C.7D.7或25
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长()
A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm
3.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()
A.13B.8C.25D.64
设计意图:
本题组的设计以基础题目为主,训练运用勾股定理以及逆定理的基本技能.
实际效果:
从学生的做题反馈来看,准确率高,很好.
题组二:
1.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
点拨:
根据勾股定理的公式a2+b2=c2可以看出同时扩大相同的倍数k时,运用勾股定理是边同时变成倍数平方倍k2a2+k2b2=k2c2,左右同时除以k2时,利用等式的基本性质得到仍是直角三角形.
2.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
A.25B.12.5C.9D.8.5
3.如图,四边形ABCD是正方形,AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是______.
4.如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D,若BC=8,AD=5,则AC等于______________.
设计意图:
本题组是在三角形和四边形中运用勾股定理、垂直平分线的性质,并且较第一组练习增加了题目的灵活性(网格问题),同时锻炼了学生的做题的技巧.
实际效果:
较第一组练习来看,2、3、4、5题做的很好,第1题有几个同学出现错误.
题组三:
1.如图,某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
点拨:
首先明确楼梯铺设地毯的展开图是矩形,其矩形长是楼梯台阶向上的面与竖着的面的长度总和,楼梯台阶向上的面是楼梯底面的长可用勾股定理求出,从而求出地毯的长度.
2.如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞_______米.
点拨:
过矮树的顶端向高树那边作垂线段,得到矩形和直角三角形,这时直角三角形的两条边分别是8和5,再用勾股定理求出即可.
3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2.
点拨:
连续运用正方形的面积公式与勾股定理来完成.
设计意图:
本题考查矩形、正方形、勾股定理相结合的综合性的题目,关键是根据每个图形中隐含的等量关系来找到数量之间的关系,从而利用勾股定理来完成.
实际效果:
尽管是综合性比较强的题目,学生做题正确率较好.
三、典例剖析,深化知识
【考点一】勾股定理的逆定理与三角形
【例1】(2012,四川巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系
+|a-b|=0,则△ABC的形状为______.
【解析】由关系+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,即a2+b2=c2,且a-b=0即∴a=b,△ABC是等腰直角三角形.应填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【点评】本题考查非负数的一个性质:
“两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.
设计意图:
判断一个三角形的形状可分为三种情况:
当两个非负数或三个非负数之和为零时,那么这两个非负数或三个非负数同时为零.比如:
开算术平方根、绝对值、平方,同时对因式分解进行综合训练.
【跟踪练习1】
1.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
2.已知三角形的三边长分别为a、b、c,并且满足a2c2-b2c2=a4-b4则这个三角形是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上答案都有可能
点拨:
a2c2-b2c2=a4-b4得到(a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2)当a2-b2=0时,此三角形为等腰三角形;a2-b2≠0时,(a2+b2)=c2此三角形为直角三角形,所以都有可能.
实际效果:
学生会用分解因式的方法找到关系式,第2题学生出现错误较多.
【考点二】勾股定理与逆定理
【例2】如图,在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm∠C=90°,
(1)求BD的长;
(2)当AD为多长时,∠ABD=90°?
【解析】
(1)在Rt△BCD中,BC=3,CD=4
∴BD2=BC2+CD2=42+32=25,BD=5(cm).
(2)当AD=13时,∠ABD=90°.
∵AB=12,BD=5,AD=13,
∴AB2+BD2=AD2
∴∠ABD=90°.
【点评】本题考查勾股定理和逆定理的相互结合的应用.
设计意图:
本题是勾股定理和逆定理的相互结合的应用,特别是跟踪练习需要作辅助线构成三角形.
【跟踪练习2】
3.如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
4.如图,是一个四边形的边角料,东东通过测量,获得了如下数据:
AB=3cm,BC=12cm,CD=13cm,AD=4cm,东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为东东的判断正确吗?
如果你认为他正确,请说明其中的理由;如果你认为他不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?
实际效果:
学生在做这两道练习时,做法能够掌握,效果很好.
【考点三】勾股定理与折叠
【例3】(2012,荷泽)如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8,在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标.
【解析】
(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
∴在Rt△ABE中,AE=AO=10,AB=8,,
∴CE=4,∴E(4,8)
在Rt△DCE,DC2+CE2=DE2,
又DE=OD,∴(8-OD)2+42=OD2,
∴OD=5,∴D(0,5).
【点评】根据折叠问题及矩形的性质,可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标.
设计意图:
根据矩形的性质,结合折叠中出现的直角三角形的性质来完成.
【跟踪练习3】
5.(2012,武汉)如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是( )
A.7B.8C.9D.10
6.如图,将一张长方形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,若AD=8,AB=4,求△BED的面积.
点拨:
由折叠和矩形的性质可得△BED是等腰三角形即BE=DE,有AD=AE+DE,可换成AE+BE=8,因此在Rt△BED用勾股定理来完成BE的长度,从而求出面积.
实际效果:
第5题效果很好,但是第6题求△BED的面积有一部分同学有疑惑.
【考点四】勾股定理与对称
【例4】(2012,陕西)如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过路径的长为________.
【解析】设这一束光与x轴交与点C,作点B关于x轴的对称点B′,过B′作B′D⊥y轴于点D.由反射的性质,知A,C,B′这三点在同一条直线上.再由轴对称的性质知B′C=BC.则AC+CB=AC+CB′=AB.
由题意得AD=5,B′D=4,由勾股定理,得AB′=.所以AC+CB=.【答案】.
【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、轴对称性质以及勾股定理等.
设计意图:
在立体图形中求线段的长度,往往采用展开图来完成.
【跟踪练习4】
7.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30
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