线性代数应用实例.docx
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线性代数应用实例
标准实用
线性代数应用实例
求插值多项式
右表给出函数
f(t)上4个点的值,试求三次插值多项式p(t)
a0
a1t
a2t2
a3t3,
并求f(1.5)的近似值。
解:
令三次多项式函数
p(t)
a0a1t
a2t2
a3t3过
ti
0
1
2
3
表中的4点,可以得到四元线性方程组:
a0
3
f(ti)
3
0
-1
6
a0
a1
a2
a3
0
a0
2a1
4a2
8a3
1
a0
3a1
9a2
27a3
6
对于四元方程组,笔算就很费事了。
应该用计算机求解了,键入:
>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])
得到x
=
1
0
0
0
3
0
1
0
0
-2
0
0
1
0
-2
0
0
0
1
1
得到a03,a12,a22,a31,三次多项函数为p(t)32t2t2t3,故f(1.5)近
似等于p(1.5)32(1.5)2(1.5)2(1.5)31.125。
在一般情况下,当给出函数f(t)在n+1个点ti(i1,2,L,n1)上的值f(ti)时,就可
以用n次多项式p(t)a0a1ta2t2Lantn对f(t)进行插值。
在数字信号处理中的应用-----数字滤波器系统函数
数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都限
u
2x1
y
文案大全
1/4
z1
1/4
x3
x2
z
1
3/8
图1某数字滤波器结构图
标准实用
定为双输入相加器;另外,数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算,它也是一个线性算
子,它的标注符号为z1。
根据这样的结构图,也可以用类似于例7.4的方法,求它的输入
输出之间的传递函数,在数字信号处理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图,现在要求出它的系统函数,即输出y与输入u
之比。
先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3,以便对每个节点列写方程。
由
于迟延算子z1不是数,要用符号代替,所以取
q
z
1,按照图示情况,可以写出
:
x1
qx2
2u
x2
3
q
1
1
8
x3
u
4
4
x3
x1
写成矩阵形式为
x1
0
q
0
x1
2
3
1
1
x
x2
0
0
x2
x=Qx-Pu
q
4
u
x3
8
x3
4
1
0
0
0
经过移项后,系统函数
W可以写成:
W=x/u=inv(I-Q)*P
现在可以列写计算系统函数的
MATLAB程序ea705
,
symsq
%规定符号变量
Q(1,2)q;Q(2,3)=3/8*q
1/4;Q(3,1)=1;
%给非零元素赋值
Q(3,3)=0;
%给右下角元素
Q〔3,3〕赋值后,矩阵中未赋值元素都自动置零
P=[2;1/4;0]
%
给P赋值
W=inv(eye(3)
Q)*P
%
用信号流图求传递函数的公式
程序运行的结果为
W=[
16/(
83*q^2
2*q)
2*q/(
83*q^2
2*q)
]
[
2*(3*q
2)/(8
3*q^2
2*q)
2/(8
3*q^2
2*q)]
[
16/(
8
3*q^2
2*q)
2*q/(
8
3*q^2
2*q)]
我们关心的是以yx3作为输出的系统函数,故再键入pretty(W(3))
文案大全
标准实用
整理后得到
y
16
2q
q
8
z
W(3)
83q2
2q
1.5q2
q4
u
1
8
2z14
用性代数方法的好是适用于任何复系,并能用算机解决。
信号与系统课程中的应用-----
线性时不变系统的零输入响应
描述n性不〔LTI〕系的微分方程
n
n1
andy
m
bmdu
a1dy
a2dy
an1yb1du
bm1u,n≥m
dtn
dt
dt
dtm
dt
y及其各数的初始
y(0),y
(1)
(0),⋯,y(n-1)(0)
,求系的零入响。
解:
当LTI系的入零,其零入响微分方程的次解〔即令微分方程等
号右端0〕,其形式〔特征根均根〕
y(t)
C1ep1t
C2ep2t
Cnepnt
其中p1,p2,⋯,pn是特征方程a1
n+a2
n-1+⋯+an+
an+1=0的根,它可用
roots(a)
句求得。
各系数
C1,⋯,Cn由y及其各数的初始来确定。
此有
C+
C+⋯+Cn=y
0
y
0
=y(0)
1
2
p1C1+
p2C2+⋯+pnCn=Dy0
(Dy0表示y的数的初始
y
(1)(0))
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
p1n1C1
p2n1C2
pnn1Cn
Dn1y0
1
1
1
C1
y0
p1
p2
pn
C2
Dy0
写成矩形式
p1n1
p2n1
pnn1
Cn
Dn1y0
即
V·C=Y0,其解
C=V\
Y0
式中C[C1,C2,L,Cn]T;Y0[y0,Dy0,L,Dn1y0]T
1
1
1
V
p1
p2
pn
p1n1
p2n1
pnn1
文案大全
标准实用
V为范德蒙矩阵,在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。
MATLAB程序
a=input('输入分母系数向量a=[a1,a2,...]=');
n=length(a)-1;
Y0=input('输入初始条件向量Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]=');
p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';
dt=input('dt=');tf=input('tf=')
t=0:
dt:
tf;y=zeros(1,length(t));
fork=1:
ny=y+c(k)*exp(p(k)*t);end
plot(t,y),grid
程序运行结果
用这个通用程序来解一个三阶系统,运行此程序
并输入
图2三阶系统的零输入响应
a=[3,5,7,1];
dt=0.2;tf=8;
而Y0取
[1,0,0];[0,1,0];[0,0,1]
三种情况,用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上,得到图2。
减肥配方的实现
设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表,表中还给出了
80
年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是:
如果用这三种食物作为每
天的主要食物,那么它们的用量应各取多少?
才能全面准确地实现这个营养要求。
每100g
食物所含营养(g)
减肥所要求的
营养
脱脂牛奶
大豆面粉
乳清
每日营养量
蛋白质
36
51
13
33
碳水化合物
52
34
74
45
文案大全
标准实用
脂肪
0
7
3
设脱脂牛奶的用量为x1个单位〔100g〕,大豆面粉的用量为x2个单位〔100g〕,乳清
的用量为x3个单位〔100g〕,表中的三个营养成分列向量为:
365113
a152,a234,a174,
07
那么它们的组合所具有的营养为
365113
x1a1x2a2x3a3x152x234x374
07
使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等,就可以得到以下的矩阵方程:
36
51
13
x1
33
52
34
74
x2
45
Axb
0
7
x3
3
用MATLAB解这个问题非常方便,列出程序ag763如下:
A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]
b=[33;45;3]
x=A\b
程序执行的结果为:
x
即脱脂牛奶的用量为27.7g,大豆面粉的用量为39.2g,乳清的用量为23.3g,就能保证
所需的综合营养量。
文案大全
标准实用
人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。
人口的分布那么因居民在市区和郊区之间迁徙而变
化。
每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区。
假设开始时有30%
的居民住在市区,70%的居民住在郊区,问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少?
30
年、50年后又如何?
这个问题可以用矩阵乘法来描述。
把人口变量用市区和郊区两个分量表示,即
xk
xck
其中xc为市区人口所占比例,
xs为郊区人口所占比例,
k表示年份的次序。
xsk
在k=0
的初始状态:
x0
xc0
xs0
。
一年以后,市区人口为xc1=
(1-0.02)
xc0+0.06xs0,郊区人口
xs1=0.02xc0+
(1-0.06)x
s0
,用矩阵乘法来描述,可写成:
x1
xc1
Ax0
xs1
此关系可以从初始时间到k
年,扩展为xkAxk1A2xk2
L
Akx0,用下列
MATLAB程序进行计算:
A=[0.94,0.02;0.06,0.98]
x0=[0.3;0.7]
x1=A*x0,
x10=A^10*x0
x30=A^30*x0
x50=A^50*x0
程序运行的结果为:
文案大全
标准实用
x1
x10
x30
x50
无限增加时间
k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数
。
为了弄清为什么
这个过程趋向于一个稳态值,我们改变一下坐标系统。
在这个坐标系统中可以更清楚地看到
乘以矩阵
A的效果。
选
u1
为稳态向量
[0.25,0.75]
T的任意一个倍数,令
u1=[1,3]T和
u2=[-1,1]
T。
可以看到,用
A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度,不影响其相
角〔方向〕:
Au1
1
1
u1
3
3
Au2
1
1
2
初始向量x0
可以写成这两个基向量
u1和u2
的线性组合;
x0
1
1
2
3
1
1
因此
xk
Akx0
1
0.05(0.82)ku2
式中的第二项会随着
k的增大趋向于零。
如果只取小数点后两位,
那么只要k>27,这第
二项就可以忽略不计而得到
xk
k27
Akx0
1
适中选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子,
防止相角项出现,使
得问题简单化。
这也是方阵求特征值的根本思想。
这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。
所得到的向量序列x1,x2,...,xk
称为马尔可夫链。
马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状
态xk-1所决定,与k-1时刻之前的系统状态无关。
文案大全
标准实用
交通流的分析
某城市有两组单行道,
构成了一个包含四个节点
A,B,C,D的十字路口如图
6.5.2所示。
在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量
〔每小时的车流数〕标于图上。
现要求
计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。
解:
在每个节点上,进入和离开的车数应该相等,这就决定了四个流通的方程:
节点A:
x1+450
=x2+610
节点B:
x2
+520
=x3
+480
节点C:
x3
+390
=x4
+600
节点D:
x4+640=x2+310
将这组方程进行整理,写成矩阵形式:
x1x2
=160
x2x3
=-40
x3-
x4=210
x1
x4=-330
其系数增广矩阵为:
11M160
图3单行线交通流图
11M-40
[A,b]
11M210
1
M
1-330
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标准实用
用消元法求其行阶梯形式,或者直接调用U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式
1
0
0
-1
M330
0
1
0
-1
M170
为U0=
0
1
-1
M210
0
0
0
0
0M0
注意这个系数矩阵所代表的意义,它的左边四列从左至右依次为变量
x1,x2,x3,x4的系
数,第五列那么是在等式右边的常数项。
把第四列移到等式右边,可以按行列写恢复为方程,
其结果为:
x1=x4+330,
x2=x4+170,
x3=x4+210
1=0
由于最后一行变为全零,这个精简行阶梯形式只有三行有效,也就是说四个方程中有一
个是相依的,实际上只有三个有效方程。
方程数比未知数的数目少,即没有给出足够的信息
来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。
其原因也不难从物理上想象,题目给出的只是进入和离开这
个十字路区的流量,如果有些车沿着这四方的单行道绕圈,那是不会影响总的输入输出流量
的,但可以全面增加四条路上的流量。
所以x4被称为自由变量,实际上它的取值也不能完
全自由,因为规定了这些路段都是单行道,x1,x2,x3,和x4。
都不能取负值。
所以要准确了解这里的交通流情况,还应该在x1,x2,x3,和x4中,再检测一个变量。
价格平衡模型
在Leontiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中,线性代数曾起过重要的作用,我们来看
看他的根本思路。
假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部门,这些部门都有生产产
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标准实用
品或效劳的独立功能。
设单列n元向量x是这些n个部门的产出,组成在Rn空间的产出向
量。
先假定该社会是自给自足的经济,这是一个最简单的情况。
因此各经济部门生产出的产
品,完全被自己部门和其它部门所消费。
Leontiff提出的第一个问题是,各生产部门的实
际产出的价格p应该是多少,才能使各部门的收入和消耗相等,以维持持续的生产。
Leontiff的输入输出模型中的一个根本假定是:
对于每个部门,存在着一个在Rn空间
单位消耗列向量vi,它表示第i个部门每产出一个单位〔比方100万美金〕产品,由本部
门和其他各个部门消耗的百分比。
在自给自足的经济中,这些列向量中所有元素的总和应该
为1。
把这n个vi,并列起来,它可以构成一个
n×n的系数矩阵,可称为内部需求矩阵V。
举一个最简单的例子,
假设一个自给自足的经济体由三个部门组成,
它们是煤炭业、电
力业和钢铁业。
它们的单位消耗列向量和销售收入列向量
p如下表:
由以下部
每单位输出的消耗分配
销售价格p
门购置
煤炭业
电力业
钢铁业
〔收入〕
煤炭业
0.
pc
电力业
pe
钢铁业
ps
如果电力业产出了
100
个单位的产品,有
40个单位会被煤炭业消耗,10个单位被自
己消耗,而被钢铁业消耗的是50个单位,各行业付出的费用为:
pev2pe
这就是内部消耗的计算方法,把几个部门都算上,可以写出
pcpc
各部门消耗本钱=pcvcpevepsvs[vc,ve,vs]pe销售收入pe
psps
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标准实用
其中Vvc,ve,vs
于是总的价格平衡方程可以写成为:
p–Vp=0
(I–V)p=0
此等式右端常数项为零,是一个齐次方程。
它有非零解的条件是系数行列式等于零,
或者用行阶梯简化来求解。
用MATLAB语句写出其解的表示式:
V=[0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2],
U0=rref([[eye(3)-V],zeros(3,1)])
程序运行的结果为
0
0
U0
0
0
0
0
0
0
这个结果是合理的,简化行阶梯形式只有两行,说明
[I-V]的秩是
2,所以它的行列式
必定为零。
由于现在有三个变量,只有两个方程,必定有一个变量可以作为自由变量。
记住
U0
矩阵中各列的意义,它们分别是原方程中
pc,pe,ps,的系数,所以简化行阶梯矩阵
U0
表示的是以下方程:
pc
ps
=0
pc=0.9394ps
pe
ps
=0
pe=0.8485ps
这里取ps为自由变量,所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的
0.94和
0.85倍。
如果钢铁业产品价格总计为
100万元,那么煤炭业的产品价格总计为
94万,电
力业的价格总计为
85万
文案大全
标准实用
网络的矩阵分割和连接
在电路设计中,经常要把复杂的电路分割为局部电路,每一个电路都用一个网络‘黑盒
子’来表示。
黑盒子的输入为u1,i1,输出为u2,i2,其输入输出关系用一个矩阵A来表示(如
图7.6.1所示):
u2
Au1
i1
i2
i2
i1
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