浙江省宁波市届高三第二次模拟数学理试题.docx

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浙江省宁波市届高三第二次模拟数学理试题

浙江省宁波市2013年高考模拟试卷

数学（理科）试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页．满分150分,考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A，B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn（k）=pk（1-p）n-k  （k=0,1,2,…，n）

台体的体积公式：

V=

（其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高）

柱体的体积公式：

（其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高）

锥体的体积公式：

（其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高）

球的表面积公式：

S=4πR2

球的体积公式：

（其中R表示球的半径）

第Ⅰ卷（选择题部分　共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=

（A）{0}（B）{0,1}　（C）{-1,1}　（D）{-1,0}

2．函数是

（A）周期为的偶函数（B）周期为2的偶函数

（C）周期为的奇函数（D）周期为2的奇函数

3．已知某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是

（A）（B）

（C）（D）

4．已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x,y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是

（A）12（B）16　（C）32（D）64

5．已知R，条件p：

“”，条件q：

“”，则p是q的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：

“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是

（A）（B）　（C）（D）1

7．已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，是1为首项、2为公比的等比

数列．设，，则当Tn>2013时，n的最小值是

（A）7（B）9　（C）10（D）11

8．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为

（A）（B）　（C）　（D）

9．设函数的导函数为，对任意R都有成立，则

（A）（B）

（C）（D）的大小不确定

10．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是

（A）（B）（C）　（D）

第Ⅱ卷（非选择题部分共100分）

二、填空题：

本大题共7小题,每小题4分,共28分．

11．已知i是虚数单位，复数的虚部是▲．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的k值是▲．

13．的展开式的常数项是▲．

14．设函数，若函数

为偶函数，则实

数的值为▲．

15．从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，

且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则

不同的选派方法有▲种．

16．已知曲线：

和：

，直线与、分别相切于点A、B，直线（不同于）与、分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是▲．

17．在直角坐标平面上，已知点A（0,2），B（0,1），D（t,0）（t>0）．点M是线段AD上

的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是▲．

三、解答题：

本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知函数

R）．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的值．

19．（本题满分14分）设公比大于零的等比数列的前项和为，且，

，数列的前项和为，满足，，．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

20．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为

菱形，且∠ABC=60，AB=PC=2，AP=BP=．

（Ⅰ）求证：

平面PAB⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）如图，已知椭圆E：

的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．

（Ⅰ）求椭圆E的方程以及点Q的坐标；

（Ⅱ）过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两

点,连结AF并延长交椭圆于点C，连结

BF并延长交椭圆于点D．

①求证：

B、C关于x轴对称;

②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

22．（本题满分14分）设函数，其中．

（Ⅰ）如果是函数的一个极值点，求实数a的值及的最大值；

（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：

①对于任意实数且，恒成立；

②对于任意实数且，恒成立．

宁波市2013年高考模拟试卷

数学（理科）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分．

1．B　　2．D　　3．A　　4．C　　5．A　

6．D　　7．C　　8．B　　9．C　　10．D

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

11．12．313．14．

15．10016．17．

三、解答题：

本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

解：

（Ⅰ）依题意，…………2分

………5分

所以函数的最小正周期是,有最大值．……………7分

（）由（）知：

由，得，所以．

．

……………14分

19．（本题满分14分）

解：

（Ⅰ）由，得………………3分

又（，

则得

所以，当时也满足．……………7分

（Ⅱ），所以，使数列是单调递减数列，

则对都成立，……………10分

即，……………12分

，

当或时，所以．……………14分

20．（本题满分15分）

解：

（Ⅰ）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．……………2分

PE=1，CE=，PC=2，即．

由勾股定理可得，PE⊥CE．……………4分

又因为AB平面ABCD，CE平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．

……………5分

而PE平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．……………7分

（Ⅱ）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．……10分

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．……………13分

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．……………15分

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），

=（,1,0），=（,0,-1），

=（0,2,0）．……………9分

设是平面PAC的一个法向量，

则，即．

取，可得，

．…………11分

设是平面PCD的一个法向量，则，即．

取，可得，．……………13分

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．

……………15分

21．（本题满分15分）

解：

（Ⅰ）设点F（c,0），Q（x,0）（）．

由，

可得，解得．

……………2分

依题意，即．………4分

又因为，所以．

故椭圆的方程是，点Q的坐标是（2,0）．……………6分

（Ⅱ）①设直线l的方程为，代入椭圆E的方程可得

依题意，，．

此时，若设，则，．（*）

……………8分

点B关于x轴的对称点B1（），则A、F、B1三点共线等价于

由（*）可知上述关系成立．

因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．……………10分

②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．

所以，四边形ABCD是一个等腰梯形．则四边形ABCD的面积

．……………12分

设，则，．

求导可得，令，可得．

由于在上单调增，在上单调减．

所以，当即时，

四边形ABCD的面积S取得最大值．……………14分

此时，直线l的方程是．……………15分

22．（本题满分14分）

解：

（Ⅰ）函数的定义域是，对求导可得

……………2分

依题意，，解得．……………3分

此时，，．

因为，令，可得；令，可得．

所以，函数在上单调递增，在上单调递减．……………5分

因此，当时，取得最大值．……………6分

（Ⅱ）令

……………8分

由（Ⅰ）中的结论可知，对任意恒成立，即

（*）恒成立．……………9分

（ⅰ）如果，且，则．

根据（*）可得,．

若满足性质①，则恒成立,

于是对任意且恒成立，所以．…………11分

（ⅱ）如果且，则．根据（*）可得

则．若满足性质②，则

恒成立．

于是对任意且恒成立，所以．…13分

综合（ⅰ）（ⅱ）可得，．…………14分