高考数学理科一轮复习直线及其方程学案带答案.docx

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高考数学理科一轮复习直线及其方程学案带答案

高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案

第九　解析几何

学案47　直线及其方程

导学目标：

1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理

1．直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①定义：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角的范围为______________．

（2）直线的斜率

①定义：

一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1（x1，1），P2（x2，2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为＝______________________

2．直线的方向向量

经过两点P1（x1，1），P2（x2，2）的直线的一个方向向量为P1P2→，其坐标为________________，当斜率存在时，方向向量的坐标可记为（1，）．

3．直线的方程和方程的直线

已知二元一次方程Ax＋B＋＝0（A2＋B2≠0）和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋B＋＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋B＋＝0的直线，称方程Ax＋B＋＝0是直线l的方程．

4．直线方程的五种基本形式

名称方程适用范围

点斜式不含直线x＝x0

斜截式不含垂直于x轴的直线

两点式不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线＝1（1≠2）

截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为（x1，1），（x2，2），且线段P1P2的中点的坐标为（x，），则x＝　　　　，＝　　　　，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

自我检测

1．（2011•银川调研）若A（－2,3），B（3，－2），12，三点共线，则的值为（　　）

A12B．－12．－2D．2

2．直线l与两条直线x－－7＝0，＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为（1，－1），则直线l的斜率为（　　）

A．－32B3223D．－23

3．下列四个命题中，假命题是（　　）

A．经过定点P（x0，0）的直线不一定都可以用方程－0＝（x－x0）表示

B．经过两个不同的点P1（x1，1）、P2（x2，2）的直线都可以用方程（－1）（x2－x1）＝（x－x1）（2－1）表示

．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋b＝1表示

D．经过点Q（0，b）的直线都可以表示为＝x＋b

4．（2011•商丘期末）如果A•<0，且B•<0，那么直线Ax＋B＋＝0不通过（　　）

A．第一象限B．第二象限

．第三象限D．第四象限

．已知直线l的方向向量与向量a＝（1,2）垂直，且直线l过点A（1,1），则直线l的方程为（　　）

A．x－2－1＝0B．2x＋－3＝0

．x＋2＋1＝0D．x＋2－3＝0探究点一　倾斜角与斜率

例1　已知两点A（－1，－）、B（3，－2），直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．

变式迁移1　直线xsinα－＋1＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A0，π2B．（0，π）

－π4，π4D0，π4∪3π4，π

探究点二　直线的方程

例2　（2011•武汉模拟）过点（0,1）作直线，使它被两直线l1：

x－3＋10＝0，l2：

2x＋－8＝0所截得的线段恰好被所平分，求此直线方程．

变式迁移2　求适合下列条的直线方程：

（1）经过点P（3,2）且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（－1，－3），倾斜角等于直线＝3x的倾斜角的2倍．

探究点三　直线方程的应用

例3　过点P（2,1）的直线l交x轴、轴正半轴于A、B两点，求使：

（1）△AB面积最小时l的方程；

（2）|PA|•|PB|最小时l的方程．变式迁移3　为了绿化城市，拟在矩形区域ABD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一物保护区不能占用，经测量|AB|＝100，|B|＝80，|AE|＝30，|AF|＝20，应如何设计才能使草坪面积最大？

探究点四　数形结合思想

例4　已知实数x，满足＝x2－2x＋2（－1≤x≤1）．

试求＋3x＋2的最大值与最小值．

变式迁移4　直线l过点（－1,2）且与以点P（－2，－3）、Q（4,0）为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是（　　）

A．[－2，]B．[－2，0）∪（0,]

．（－∞，－2]∪[，＋∞）D．[－2，π2）∪（π2，]1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式＝2－1x2－x1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标（x1≠x2），根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，1≠2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

2．当直线没有斜率（x1＝x2）或斜率为0（1＝2）时，不能用两点式－12－1＝x－x1x2－x1求直线方程，但都可以写成（x2－x1）（－1）＝（2－1）（x－x1）的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．

3．使用直线方程时，一定要注意限制条以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条是直线必须有斜率，截距式的使用条是截距存在且不为零，两点式的使用条是直线不与坐标轴垂直．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•临沂月考）已知直线l经过A（2,1）、B（1，2）（∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A．（0，π）B0，π4∪π2，π

0，π4Dπ4，π2∪π2，π

2．若直线l：

＝x－3与直线2x＋3－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

Aπ6，π3Bπ6，π2

π3，π2Dπ6，π2

3．点P（x，）在经过A（3,0），B（1,1）两点的直线上，那么2x＋4的最小值是（　　）

A．22B．42

．16D．不存在

4．（2011•宜昌调研）点A（a＋b，ab）在第一象限内，则直线bx＋a－ab＝0不经过的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限

．第三象限D．第四象限

．（2011•包头期末）经过点P（2，－1），且在轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为（　　）

A．2x＋＝2B．2x＋＝4

．2x＋＝3D．2x＋＝3或x＋2＝0

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．过两点A（2＋2，2－3），B（3－－2,2）的直线l的倾斜角为4°，则＝________

7．直线x＋（a2＋1）＋1＝0（a∈R）的倾斜角的取值范围是________．

8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－＋1＝0，则直线PB的方程是________________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）已知两点A（－1,2），B（,3），求：

（1）直线AB的斜率；

（2）求直线AB的方程；

（3）已知实数∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．

10．（12分）（2011•秦皇岛模拟）已知线段PQ两端点的坐标分别为（－1,1）、（2,2），若直线l：

x＋＋＝0与线段PQ有交点，求的范围．11．（14分）已知直线l：

x－＋1＋2＝0（∈R）．

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，△AB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

学案47　直线及其方程

自主梳理

1．

（1）①正向　向上　0°　②0°≤α<180°　

（2）①正切值　tanα　②2－1x2－x1　2（x2－x1，2－1）　3Ax＋B＋＝0

直线l上　4－0＝（x－x0）　＝x＋b　－12－1＝x－x1x2－x1　xa＋b＝1（a≠0，b≠0）　Ax＋B＋＝0（A、B不同时为0）　x1＋x22　1＋22

自我检测

1．A　2D　3D　4　D

堂活动区

例1　解题导引　斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．

解　设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，

由题意可知：

tan2α＝－2－－3－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34

整理得3tan2α＋8tanα－3＝0

解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝34>0，

∴0°<2α<90°，∴0°<α<4°，∴tanα>0，

故直线l的斜率为13

变式迁移1　D　[直线xsinα－＋1＝0的斜率是＝sinα，

又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤≤1

当0≤≤1时，倾斜角的范围是0，π4，

当－1≤<0时，倾斜角的范围是3π4，π]

例2　解题导引　

（1）对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．

（2）求直线方程常用方法——待定系数法．

待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条求出参数．

解　过点且与x轴垂直的直线是轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和（0,8），

显然不满足中点是点（0,1）的条．

故可设所求直线方程为＝x＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组＝x＋1，x－3＋10＝0，①

＝x＋1，2x＋－8＝0，②

由①解得xA＝73－1，由②解得xB＝7＋2

∵点平分线段AB，∴xA＋xB＝2x，

即73－1＋7＋2＝0，解得＝－14

故所求直线方程为x＋4－4＝0

变式迁移2　解　

（1）设直线l在x，轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0,0）和（3,2），

∴l的方程为＝23x，即2x－3＝0

若a≠0，则设l的方程为xa＋a＝1，

∵l过点（3,2），∴3a＋2a＝1，

∴a＝，∴l的方程为x＋－＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3＝0或x＋－＝0

（2）由已知：

设直线＝3x的倾斜角为α，

则所求直线的倾斜角为2α

∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为＋3＝－34（x＋1），

即3x＋4＋1＝0

例3　解题导引　先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△AB的面积，然后利用相关的数学知识求最值．

确定直线方程可分为两个类型：

一是根据题目条确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．

解　设直线的方程为xa＋b＝1（a>2，b>1），

由已知可得2a＋1b＝1

（1）∵22a•1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8

∴S△AB＝12ab≥4

当且仅当2a＝1b＝12，

即a＝4，b＝2时，S△AB取最小值4，

此时直线l的方程为x4＋2＝1，

即x＋2－4＝0

（2）由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得（a－2）（b－1）＝2，

|PA|•|PB|

＝2－a2＋1－02•2－02＋1－b2

＝[2－a2＋1]•[1－b2＋4]

≥2a－2•4b－1

当且仅当a－2＝1，b－1＝2，

即a＝3，b＝3时，|PA|•|PB|取最小值4

此时直线l的方程为x＋－3＝0

变式迁移3　解　如图所示建立直角坐标系，则E（30,0），F（0,20），∴线段EF的方程为x30＋20＝1（0≤x≤30）．

在线段EF上取点P（，n），

作PQ⊥B于点Q，

PR⊥D于点R，设矩形PQR的面积为S，

则S＝|PQ||PR|＝（100－）（80－n）．

又30＋n20＝1（0≤≤30），

∴n＝20（1－30）．

∴S＝（100－）（80－20＋23）

＝－23（－）2＋18003（0≤≤30）．

∴当＝时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－＝

所以当矩形草坪的两边在B、D上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成∶1时，草坪面积最大．

例4　解题导引　解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．解　由＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P（－2，－3）与曲线段AB上任一点（x，）的直线的斜率，由图可知：

PA≤≤PB，由已知可得：

A（1,1），B（－1,），

∴43≤≤8，

故＋3x＋2的最大值为8，最小值为43

变式迁移4　　[如图，过点作轴的平行线与线段PQ相交于点N

P＝，Q＝－2

当直线l从P开始绕按逆时针方向旋转到N时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，≥当直线l从N开始逆时针旋转到Q时，

∵正切函数在（π2，π）上仍为增函数，

∴斜率从－∞开始增加，增大到Q＝－2，

故直线l的斜率范围是（－∞，－2]∪[，＋∞）．]

后练习区

1．B　2B　3B　4　D

6．－2　7[34π，π）　8x＋－＝0

9．解　

（1）当＝－1时，

直线AB的斜率不存在；（1分）

当≠－1时，＝1＋1（3分）

（2）当＝－1时，AB的方程为x＝－1，（分）

当≠－1时，AB的方程为－2＝1＋1（x＋1），

即＝x＋1＋2＋3＋1（7分）

∴直线AB的方程为x＝－1或＝x＋1＋2＋3＋1

（8分）

（3）①当＝－1时，α＝π2；

②当≠－1时，

∵＝1＋1∈（－∞，－3]∪33，＋∞，

∴α∈π6，π2∪π2，2π3（10分）

综合①②，知直线AB的倾斜角

α∈π6，2π3（12分）

10解　直线x＋＋＝0恒过A（0，－1）点．（2分）

AP＝－1－10＋1＝－2，

AQ＝－1－20－2＝32，（分）

则－1≥32或－1≤－2，

∴－23≤≤12且≠0（9分）

又＝0时直线x＋＋＝0与线段PQ有交点，

∴所求的范围是－23≤≤12（12分）

11．

（1）证明　直线l的方程是：

（x＋2）＋（1－）＝0，

令x＋2＝01－＝0，解之得x＝－2＝1，

∴无论取何值，直线总经过定点（－2,1）．（4分）

（2）解　由方程知，当≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2，在轴上的截距为1＋2，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2≤－21＋2≥1，解之得>0；（7分）

当＝0时，直线为＝1，符合题意，故≥0（9分）

（3）解　由l的方程，得A－1＋2，0，

B（0,1＋2）．依题意得－1＋2<0，1＋2>0，　

解得>0（11分）

∵S＝12•|A|•|B|

＝12•1＋2•|1＋2|

＝12•1＋22＝124＋1＋4≥12×（2×2＋4）＝4，

“＝”成立的条是>0且4＝1，

即＝12，

∴Sin＝4，此时l：

x－2＋4＝0（14分）