实验三 数字IIR滤波器的设计.docx

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实验三数字IIR滤波器的设计

实验三数字IIR滤波器的设计

一.实验目的

1.加深对选频滤波概念的理解；

2.学会用MATLAB设计IIR数字低通、高通、带通和带阻滤波器。

二.实验原理

2.1数字滤波器的结构

2.1.1直接型——传递函数形式

用分子和分母多项式的系数两个向量来表示。

Num=[b

（1）b

（2）……b（nb+1）]

Den=[a

（1）a

（2）……a（na+1）]

例：

num=[1-311-2718];

den=[16122-4-1];

2.1.2零极点增益形式

用零点向量z、极点向量p以及增益K表示

num=[1-311-2718];

den=[16122-4-1];

[z,p,k]=tf2zp（num,den）

z=0.0000+3.0000i

0.0000-3.0000i

2.0000

1.0000

p=-0.5000+0.5000i

-0.5000-0.5000i

0.5000

-0.2500

k=0.0625

2.1.3级联型——二阶因子级联形式

用

的数组SOS表示

sos=zp2sos（z,p,k）

sos=0.0625-0.18750.12501.0000-0.2500-0.1250

1.0000-0.00009.00001.00001.00000.5000

2.1.4并联型——部分分式展开式形式

用函数residuez（）把传递函数形式转换为部分分式形式。

例：

num=[1-311-2718];

den=[16122-4-1];

[r,p,c]=residuez（num,den）

r=

-5.0250-1.0750i

-5.0250+1.0750i

0.9250

27.1875

p=

-0.5000+0.5000i

-0.5000-0.5000i

0.5000

-0.2500

c=-18

然后将共轭极点两两合并成如下的一阶节和二阶节的并联。

MATLABSignalProcessingToolbox中的系统模型之间的相互转换函数有：

[z,p,k]=tf2zp（b,a）

[b,a]=zp2tf（z,p,k）

sos=zp2sos（z,p,k）

[z,p,k]=sos2zp（sos）

[b,a]=sos2tf（sos）

[r,p,k]=residuez（b,a）

[b,a]=residuz（r,p,k）

2.2IIR数字滤波器设计

2.2.1MATLAB中模拟滤波器设计函数介绍

设计流程图：

给定模拟滤波器的技术指标

采用真实角频率

（弧度/秒）

计算模拟滤波器的阶次N和截止频率Wc。

（利用buttord,cheb1ord,cheb2ord,ellipord等）

设计模拟低通滤波器原型G（p）。

（利用buttap,cheb1ap,cheb2ap,ellipap等）

模拟滤波器完全设计函数H（s）

（butter,cheby1,cheby2,ellip）

由模拟低通原型经频率变换获得所需要的低通、高通、带通和带阻滤波器H（s）。

（利用lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs）

1.阶次计算函数；

（1）Butterworth模拟滤波器

[N,Wn]=buttord（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’）；

（2）ChebyshevI型模拟滤波器

[N,Wn]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’）

（3）ChebyshevII型模拟滤波器

[N,Wn]=cheb2ord（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’）

（4）椭圆滤波器

[N,Wn]=ellipord（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’）

其中：

Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，单位为弧度/秒。

对低通和高通，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻，Wp,Ws是1×2的向量。

Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减（dB）。

N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。

2．模拟低通原型滤波器设计函数（注意：

得到的是归一化的传递函数）

（1）Butterworth模拟滤波器

[z,p,k]=buttap（N）；

滤波器传递函数具有如下形式：

（2）ChebyshevI型模拟滤波器

[z,p,k]=cheb1ap（N,Rp）

滤波器传递函数具有如下形式：

（3）ChebyshevII型模拟滤波器

[z,p,k]=cheb2ap（N,Rs）

滤波器传递函数具有如下形式：

（4）椭圆滤波器

[z,p,k]=ellipap（N,Rp,Rs）

滤波器传递函数具有如下形式：

其中，N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z,p,k是设计出的极点、零点及增益。

3．频率变换函数

将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带通及带阻滤波器。

（1）[B,A]=lp2lp（b,a,wo）,

（2）[B,A]=lp2hp（b,a,wo）

（3）[B,A]=lp2bp（b,a,wo,Bw）,

（4）[B,A]=lp2bs（b,a,wo,Bw）

b,a是AFLP的分子、分母的系数向量，B,A是转换后的的分子、分母的系数向量；在

（1）、

（2）中，wo是低通或高通滤波器的截止频率；在（3）、（4）中，wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽。

，

4．模拟滤波器完全设计函数（=2+3）

（1）Butterworth模拟滤波器

[b,a]=butter（N,Wn,’s’）%低通或带通滤波器

[b,a]=butter（N,Wn,’high’,’s’）%高通滤波器

[b,a]=butter（N,Wn,’stop’,’s’）%带阻滤波器

（2）ChebyshevI型模拟滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn,’s’）%低通或带通滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn,’high’,’s’）%高通滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn,’stop’,’s’）%带阻滤波器

（3）ChebyshevII型模拟滤波器

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn,’s’）%低通或带通滤波

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn,’high’,’s’）%高通滤波器

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn,’stop’,’s’）%带阻滤波器

（4）椭圆滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’s’）%低通或带通滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’high’,’s’）%高通滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’stop’,’s’）%带阻滤波器

例1：

设计一个Butterworth模拟低通滤波器，通带截至频率fp=5KHz，阻带截至频率fs=10KHz；通带最大衰减Ap=3，阻带最小衰减As=30。

画出该滤波器的频率响应。

%DesignaButterworthAnaloglowpassfilter

%Specifications

Wp=5000*2*pi;

Ws=10000*2*pi;

Ap=3;As=30;

%ComputeorderandCutofffrequency

[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）;

%designanaloglowpassfilterprototype

[z,p,k]=buttap（N）%归一化的传递函数G（p）

[b,a]=zp2tf（z,p,k）;

%frequencytransform,得到反归一化传递函数G（s）

[bt,at]=lp2lp（b,a,Wp）;

w=0:

20*2*pi:

20000*2*pi;

H=freqs（bt,at,w）;

subplot（211）,plot（w/（2*pi）,abs（H））;

xlabel（'Frequency（Hz）'）;

ylabel（'Magnitude'）;

title（'ButterworthAnaloglowpassfilter'）;

grid

%Usingfilterwholedesignfuction

[bb,aa]=butter（N,Wc,'s'）;

w=0:

20*2*pi:

20000*2*pi;

HH=freqs（bb,aa,w）;

subplot（212）,plot（w/（2*pi）,abs（HH））;

xlabel（'Frequency（Hz）'）;

ylabel（'Magnitude'）;

title（'ButterworthAnaloglowpassfilter'）;

grid

例2：

设计一个Chebyshev模拟带通滤波器，通带截至频率分别为1000Hz和2000Hz，阻带截至频率分别为500Hz和2500Hz；通带最大衰减Ap=1，阻带最小衰减As=100。

画出该滤波器的频率响应。

%DesignaChebyshevAnalogbandpassfilter

%Specifications

Wp=[10002000]*2*pi;

Ws=[5002500]*2*pi;

Ap=1;As=100

%ComputeorderandCutofffrequency

[N,Wc]=cheb1ord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）;

%designanaloglowpassfilterprototype

[z,p,k]=cheb1ap（N,Ap）;

[b,a]=zp2tf（z,p,k）;

%findthecenterfrequencyandbandwidth

Wo=sqrt（Wp

（1）*Wp

（2））;

Bw=Wp

（2）-Wp

（1）;

%frequencytransform

[bt,at]=lp2bp（b,a,Wo,Bw）;

w=0:

20*2*pi:

4000*2*pi;

H=freqs（bt,at,w）;

subplot（211）,plot（w/（2*pi）,abs（H））;

xlabel（'Frequency（Hz）'）;

ylabel（'Magnitude'）;

title（'ChebyshevAnalogbandpassfilter'）;grid

%Usingfilterwholedesignfuction

[bb,aa]=cheby1（N,Ap,Wc,'s'）;

w=0:

20*2*pi:

4000*2*pi;

H=freqs（bb,aa,w）;

subplot（212）,plot（w/（2*pi）,abs（H））;

xlabel（'Frequency（Hz）'）;

ylabel（'Magnitude'）;

title（'ChebyshevAnalogbandpassfilter'）;grid

给定数字滤波器的技术指标

2.2.2MATLAB中IIR数字滤波器设计函数

给

采用归一化频率

0~1对应

采用真实角频率

（弧度/秒）

计算数字滤波器的

阶次N和截止频率Wc。

（利用buttord,cheb1ord,

cheb2ord,ellipord等）

模拟滤波器完全设计函数H（s）

（butter,cheby1,cheby2,ellip）

数字滤波器完全设计函数H（z）

（butter,cheby1,cheby2,ellip）

1.阶次计算函数；

（1）Butterworth数字滤波器

[N,Wn]=buttord（Wp,Ws,Rp,Rs）；

（2）ChebyshevI型数字滤波器

[N,Wn]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs）

（3）ChebyshevII型数字滤波器

[N,Wn]=cheb2ord（Wp,Ws,Rp,Rs）

（4）椭圆数字滤波器

[N,Wn]=ellipord（Wp,Ws,Rp,Rs）

其中：

Wp,Ws分别是通带和阻带的数字标准化频率，取值范围在0~1之间，标准化频率1对应的数字频率为

。

对低通和高通，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻，Wp,Ws是1×2的向量。

Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减（dB）。

N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。

2．数字滤波器完全设计函数（采用的是bilinear变换）

（1）Butterworth数字滤波器

[b,a]=butter（N,Wn）%低通或带通滤波器

[b,a]=butter（N,Wn,’high’）%高通滤波器

[b,a]=butter（N,Wn,’stop’）%带阻滤波器

（2）ChebyshevI型数字滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn）%低通或带通滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn,’high’）%高通滤波器

[b,a]=cheby1（N,Rp,Wn,’stop’）%带阻滤波器

（4）ChebyshevII型数字滤波器

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn）%低通或带通滤波器

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn,’high’）%高通滤波器

[b,a]=cheby2（N,Rs,Wn,’stop’）%带阻滤波器

（4）椭圆滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’s’）%低通或带通滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’high’）%高通滤波器

[b,a]=ellip（N,Rp,Rs,Wn,’stop’）%带阻滤波器

3．impinvar

用冲激响应不变法实现模拟滤波器到数字滤波器的变换。

[Bz,Az]=impinvar（B,A,Fs）

4．bilinear双线性变换

用双线性变换实现模拟滤波器到数字滤波器的变换。

[Bz,Az]=bilinear（B,A,Fs）

式中B,A分别是模拟滤波器传递函数G（s）的分子、分母多项式的系数向量，Bz,Az分别是数字滤波器系统函数H（z）的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。

例3：

设计一个Butterworth数字低通滤波器，通带截至频率fp=100Hz，阻带截至频率fs=300Hz，采样频率Fs=1000Hz；通带最大衰减Ap=3，阻带最小衰减As=20。

画出该滤波器的频率响应。

用该滤波器对50Hz和400Hz的两个正弦信号之和

x=sin（2*pi*50*n/Fs）+sin（2*pi*400*n/Fs）进行滤波，画出滤波前后的信号波形。

%DesignaButterworthDigitallowpassfilter

%UsingbilinearTrasform

%DFspecifications

fp=100;fs=300;Fs=1000;

Ap=3;As=20;

T=1/Fs;

%Convertdigitalfrequencytoanalogfrequency

Wp=（2/T）*tan（fp*pi/Fs）;

Ws=（2/T）*tan（fs*pi/Fs）;

%Computeorderandcutofffrequency

[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）

%computertheanalogfilterprototype

[z,p,k]=buttap（N）;

[B,A]=zp2tf（z,p,k）

%frequencytransform

[b,a]=lp2lp（B,A,Wc）;

%bilinearTrasform

[bz,az]=bilinear（b,a,1/T）

disp（'Butterworthlowpassfilter'）;

%w=0:

0.01*pi:

pi;

Nn=128;

freqz（bz,az,Nn,Fs）;

%-------------------------------------

%NomalizedAngularFrequency

Wp=fp*2/Fs;

Ws=fs*2/Fs;

%Computeorderandcutofffrequency

[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Ap,As）;

%Desighdigitalhighpassfilter

[dz,cz]=butter（N,Wc）

%output

figure,

w=0:

0.01*pi:

pi;

freqz（dz,cz,w）;

%-------------------------------------

n=[0:

100];

x=sin（2*pi*50*n/Fs）+sin（2*pi*400*n/Fs）;

imp=[1;zeros（100,1）];

h=filter（bz,az,imp）;

y=conv（h,x）;

figure;

subplot（211）,plot（n,x）;xlabel（'n'）;ylabel（'Inputsignal'）;grid

subplot（212）,plot（n,y（21:

121））;

xlabel（'n'）;ylabel（'Outputsignal'）;grid

B=001

A=1.00001.41421.0000

bz=0.10530.21070.1053

az=1.0000-0.89580.3172

三、实验内容：

1.用双线性变换法设计ButterworthIIR数字低通滤波器,满足下列指标：

通带截止频率

阻带截止频率

，通带衰减小于1dB，阻带衰减大于15dB。

写出滤波器归一化传输函数

和最终的系统函数

的表达式，画出滤波器的频率响应曲线。

2.用双线性变换法设计ButterworthIIR数字高通滤波器,满足下列指标：

通带截止频率

阻带截止频率

，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB。

写出滤波器的归一化传输函数

和最终的系统函数

的表达式，画出滤波器的频率响应曲线。

3.用双线性变换法设计ButterworthIIR数字带通滤波器,满足下列指标：

通带范围为

通带衰减小于3dB，

以下和

以上为阻带，阻带衰减大于18dB。

写出滤波器归一化传输函数

和最终的系统函数

的表达式，画出滤波器的频率响应曲线。

4.用双线性变换法设计ButterworthIIR数字带阻滤波器,满足下列指标：

阻带范围为

阻带衰减大于13dB，

以下和

以上为阻带，通带衰减小于3dB。

写出滤波器归一化传输函数

和最终的系统函数

的表达式，画出滤波器的频率响应曲线。