中考数学压轴题考点训练数与式问题试题及答案解析.docx
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中考数学压轴题考点训练数与式问题试题及答案解析
中考数学压轴题考点训练数与式问题
实数与数轴问题
【例1】(2019年大庆)实数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是()
A.m>nB.﹣n>|m|C.﹣m>|n|D.|m|<|n|
【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数,且m<n,由此逐项分析得出结论即可.
【解析】因为m、n都是负数,且m<n,|m|<|n|,
A、m>n是错误的;
B、﹣n>|m|是错误的;
C、﹣m>|n|是正确的;
D、|m|<|n|是错误的.故选:
C.
【变式1-1】(2019年徐州)如图,数轴上有O、A、B三点,O为原点,OA、OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:
光年).下列选项中,与点B表示的数最为接近的是()
A.5×106B.107C.5×107D.108
【分析】先化简2.5×106=0.25×107,再从选项中分析即可;
【解析】2.5×106=0.25×107,
(5×107)÷(0.25×107)=20,
从数轴看比较接近;故选:
C.
【变式1-2】(2019年枣庄)点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC=1,
OA=OB.若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为()
A.﹣(a+1)B.﹣(a﹣1)C.a+1D.a﹣1
【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数,本题得以解决.
【解析】∵O为原点,AC=1,OA=OB,点C所表示的数为a,
∴点A表示的数为a﹣1,
∴点B表示的数为:
﹣(a﹣1),故选:
B.
【点拨】本题考查数轴,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【考点2】整式的求值问题
【例2】(2019年泰州)若2a﹣3b=﹣1,则代数式4a2﹣6ab+3b的值为()A.﹣1B.1C.2D.3
【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后,整体代入可得结论.
【解析】4a2﹣6ab+3b,
=2a(2a﹣3b)+3b,
=﹣2a+3b,
=﹣(2a﹣3b),
=1,
故选:
B.
【点拨】本题考查代数式求值;熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键.
【变式2-1】(2019年常州)如果a﹣b﹣2=0,那么代数式1+2a﹣2b的值是5.
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b=2整体代入即可求值;
【解析】∵a﹣b﹣2=0,
∴a﹣b=2,
∴1+2a﹣2b=1+2(a﹣b)=1+4=5;故答案为5.
【变式2-2】(2019•济宁)已知x﹣2y=3,那么代数式3﹣2x+4y的值是()A.﹣3B.0C.6D.9
【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2(x﹣2y),然后代入数值进行计算即可.
【解析】∵x﹣2y=3,
∴3﹣2x+4y=3﹣2(x﹣2y)=3﹣2×3=﹣3;故选:
A.
【考点3】分式的求值问题
【例3】(2019年内江)若
2,则分式
的值为﹣4.
【分析】由
2,可得m+n=2mn;化简
,即可求解;’
【解析】
2,可得m+n=2mn,
=﹣4;
故答案为﹣4;
【点拨】本题考查分式的值;能够通过已知条件得到m+n=2mn,整体代入的思想是解题的关键;
【变式3-1】(2019年绥化)当a=2018时,代数式(
)
的值是2019.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解析】(
)
=a+1,
当a=2018时,原式=2018+1=2019,故答案为:
2019.
【变式3-2】(2019年北京)如果m+n=1,那么代数式(
)•(m2﹣n2)的值为
()
A.﹣3B.﹣1C.1D.3
【分析】原式化简后,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.
【解析】原式
•(m+n)(m﹣n)
•(m+n)(m﹣n)=3(m+n),当m+n=1时,原式=3.
故选:
D.
【考点4】二次根式的性质与化简
【例4】(2019年绵阳)已知x是整数,当|x|取最小值时,x的值是()A.5B.6C.7D.8
【分析】根据绝对值的意义,由与
最接近的整数是5,可得结论.
【解析】∵
,
∴5
,
且与
最接近的整数是5,
∴当|x|取最小值时,x的值是5,故选:
A.
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义,熟练掌握平方数是关键.
【变式4-1】(2019年菏泽)已知x,那么x2﹣2
x的值是4.
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案.
【解析】∵x,
∴x2﹣2
x+2=6,
∴x2﹣2
x=4,故答案为:
4
【变式4-2】(2019年内江)若|1001﹣a|
a,则a﹣10012=1002.
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002,据此去绝对值并求得a的值,代入求值即可.
【解析】∵a﹣1002≥0,
∴a≥1002.
由|1001﹣a|
a,得﹣1001+aa,
∴
1001,
∴a﹣1002=10012.
∴a﹣10012=1002.故答案是:
1002.
【考点5】数字的变化规律
【例5】(2019年河池)a1,a2,a3,a4,a5,a6,…,是一列数,已知第1个数a1=4,第
5个数a5=5,且任意三个相邻的数之和为15,则第2019个数a2019的值是6.
【分析】由任意三个相邻数之和都是15,可知a1、a4、a7、…a3n+1相等,a2、a5、a8、…
a3n+2相等,a3、a6、a9、…a3n相等,可以得出a5=a2=5,根据a1+a2+a3=15得4+5+a3
=15,求得a3,进而按循环规律求得结果.
【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知:
a1+a2+a3=15,a2+a3+a4=15,a3+a4+a5=15,
…
an+an+1+an+2=15,
可以推出:
a1=a4=a7=…=a3n+1,a2=a5=a8=…=a3n+2,a3=a6=a9=…=a3n,
所以a5=a2=5,则4+5+a3=15,解得a3=6,
∵2019÷3=673,
因此a2019=a3=6.故答案为:
6.
【变式5-1】(2019年益阳)观察下列等式:
①3﹣2
(
1)2,
②5﹣2
(
)2,
③7﹣2
(
)2,
…
请你根据以上规律,写出第6个等式.
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1,根号下的数为n(n+1),利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(
)2(n≥1的整数).
【解析】写出第6个等式为13﹣2
(
)2.故答案为
(
)2.
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算:
先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
【变式5-2】(2019年铜仁市)按一定规律排列的一列数依次为:
,
,
,
,…(a
≠0),按此规律排列下去,这列数中的第n个数是.(n为正整数)
【分析】先确定正负号与序号数的关系,再确定分母与序号数的关系,然后确定a的指数与序号数的关系.
【解析】第1个数为(﹣1)1•,
第2个数为(﹣1)2•,
第3
,
第4
,
…,
所以这列数中的第n个数是(﹣1)n•
.故答案为(﹣1)n•
.
【点拨】本题考查了规律型:
数字的变化类:
寻数列规律:
认真观察、仔细思考,善用联
想是解决这类问题的方法.
【考点6】图形的变化规律
【例6】(2019年大庆)归纳“T”字形,用棋子摆成的“T”字形如图所示,按照图①,图②,图③的规律摆下去,摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为.
【分析】根据题意和图形,可以发现图形中棋子的变化规律,从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数.
【解析】由图可得,
图①中棋子的个数为:
3+2=5,图②中棋子的个数为:
5+3=8,图③中棋子的个数为:
7+4=11,
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为:
(2n+1)+(n+1)=3n+2,故答案为:
3n+2.
【点拨】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中棋子的变化规律,利用数形结合的思想解答.
【变式6-1】(2019年天水)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有6058个〇.
【分析】根据题目中的图形,可以发现〇的变化规律,从而可以得到第2019个图形中〇的个数.
【解析】由图可得,
第1个图象中〇的个数为:
1+3×1=4,第2个图象中〇的个数为:
1+3×2=7,第3个图象中〇的个数为:
1+3×3=10,第4个图象中〇的个数为:
1+3×4=13,
……
∴第2019个图形中共有:
1+3×2019=1+6057=6058个〇,故答案为:
6058.
【点拨】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现图形中〇的变化规律,利用数形结合的思想解答.
【变式6-2】(2019年甘肃)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n幅图中有2019个菱形,则n=1010.
【分析】根据题意分析可得:
第1幅图中有1个,第2幅图中有2×2﹣1=3个,第3幅图中有2×3﹣1=5个,…,可以发现,每个图形都比前一个图形多2个,继而即可得出答案.
【解析】根据题意分析可得:
第1幅图中有1个.第2幅图中有2×2﹣1=3个.
第3幅图中有2×3﹣1=5个.第4幅图中有2×4﹣1=7个.
….
可以发现,每个图形都比前一个图形多2个.故第n幅图中共有(2n﹣1)个.
当图中有2019个菱形时,2n﹣1=2019,n=1010,
故答案为:
1010.
【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题,难度适中,要求学生通过观察,分析、归纳并发现其中的规律.
1.(2019年北京)在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向右平
移1个单位长度,得到点C,若CO=BO,则a的值为()A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.1
【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为﹣2,据此可得a=﹣2﹣1=﹣3.
【解析】∵点C在原点的左侧,且CO=BO,
∴点C表示的数为﹣2,
∴a=﹣2﹣1=﹣3.故选:
A.
2.(2019
,中,绝对值最大的数是()A.﹣3B.﹣0.5
D.
【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,
两个负实数绝对值大的反而小判断即可.
【解析】∵|﹣3|=3,|﹣0.5|=0.5,|
|
,||且
3,
∴所给的几个数中,绝对值最大的数是﹣3.故选:
A.
3.(2019年云南)按一定规律排列的单项式:
x3,﹣x5,x7,﹣x9,x11,……,第n个单项式是()
A.(﹣1)n﹣1x2n﹣1B.(﹣1)nx2n﹣1
C.(﹣1)n﹣1x2n+1D.(﹣1)nx2n+1
【分析】观察指数规律与符号规律,进行解答便可.
【解析】∵x3=(﹣1)1﹣1x2×1+1,
﹣x5=(﹣1)2﹣1x2×2+1,
x7=(﹣1)3﹣1x2×3+1,
﹣x9=(﹣1)4﹣1x2×4+1,
x11=(﹣1)5﹣1x2×5+1,
……
由上可知,第n个单项式是:
(﹣1)n﹣1x2n+1,故选:
C.
4.(2019年黔东南州)如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项,那么m等于()A.2B.1C.﹣1D.0
【分析】根据同类项的定义,含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同,列出等式,直接计算即可.
【解析】根据题意,得:
2m﹣1=m+1,解得:
m=2.
故选:
A.
5.(2019年常德)观察下列等式:
70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是()
A.0B.1C.7D.8
【分析】首先得出尾数变化规律,进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字.
【解析】∵70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,
∴个位数4个数一循环,
∴(2019+1)÷4=505,
∴1+7+9+3=20,
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是:
0.故选:
A.
6.(2019年深圳)定义一种新运算
n•xn﹣1dx=an﹣bn,例如
2xdx=k2﹣n2,若
x﹣
2dx=﹣2,则m=()
A.﹣2
C.2D.
【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣(5m)﹣1=﹣2,解出即可.
【解析】由题意得:
m﹣1﹣(5m)﹣1=﹣2,2,
5﹣1=﹣10m,
故选:
B.
7.(2019年攀枝花)一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为a千米/时,下山速度为b千米/时.则货车上、下山的平均速度为()千米/时.
A.
(a+b)
C.
D.
【分析】平均速度=总路程÷总时间,设单程的路程为x,表示出上山下山的总时间,把相关数值代入化简即可.
【解答】设上山的路程为x千米,
则上山的时间小时,下山的时间为小时,
则上、下山的平均速度千米/时.
故选:
D.
8.(2019年临沂)计算
a﹣1的正确结果是()A.
B.
C.
D.
【分析】先将后两项结合起来,然后再化成同分母分式,按照同分母分式加减的法则计算
就可以了.
【解析】原式
,
,
.
9.(2019年舟山)数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,b,﹣
a,﹣b的大小关系为b<﹣a<a<﹣b(用“<”号连接).
【分析】根据两个负数比较大小,其绝对值大的反而小和负数都小于0,即可得出答案.
【解析】∵a>0,b<0,a+b<0,
∴|b|>a,
∴﹣b>a,b<﹣a,
∴四个数a,b,﹣a,﹣b的大小关系为b<﹣a<a<﹣b.故答案为:
b<﹣a<a<﹣b
10.(2019年咸宁)有一列数,按一定规律排列成1,﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…,其中某三个相邻数的积是412,则这三个数的和是﹣384.
【分析】根据题目中的数字,可以发现它们的变化规律,再根据其中某三个相邻数的积是
412,可以求得这三个数,从而可以求得这三个数的和.
【解析】∵一列数为1,﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…,
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1,
∵其中某三个相邻数的积是412,
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1,则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1=412,
即(﹣2)3n=(22)12,
∴(﹣2)3n=224,
∴3n=24,解得,n=8,
∴这三个数的和是:
(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9=(﹣2)7×(1﹣2+4)=(﹣128)×3
=﹣384,
故答案为:
﹣384.
11.(2019年湘潭)若a+b=5,a﹣b=3,则a2﹣b2=15.
【分析】先根据平方差公式分解因式,再代入求出即可.
【解析】∵a+b=5,a﹣b=3,
∴a2﹣b2
=(a+b)(a﹣b)
=5×3
=15,
故答案为:
15.
12.(2019年徐州)若a=b+2,则代数式a2﹣2ab+b2的值为4.
【分析】由a=b+2,可得a﹣b=2,代入所求代数式即可.
【解析】∵a=b+2,
∴a﹣b=2,
∴a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2=22=4.故答案为:
4
13.(2019年桂林)若x2+ax+4=(x﹣2)2,则a=﹣4.
【分析】直接利用完全平方公式得出a的值.
【解析】∵x2+ax+4=(x﹣2)2,
∴a=﹣4.
故答案为:
﹣4.
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
14.(2019年咸宁)若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则
m的值可以是﹣1(写一个即可).
【分析】令m=﹣1,使其能利用平方差公式分解即可.
【解析】令m=﹣1,整式为x2﹣y2=(x+y)(x﹣y).故答案为:
﹣1(答案不唯一).
15.(2019年广州)代数式
有意义时,x应满足的条件是x>8.
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围.
【解析】代数式
有意义时,
x﹣8>0,
解得:
x>8.
故答案为:
x>8.
16.(2019年枣庄)观察下列各式:
1
1+(1
),
1
1+(
),
1
1+(
),
…
请利用你发现的规律,计算:
,
其结果为2018.
【分析】根据题意找出规律,根据二次根式的性质计算即可.
【解析】
=1+(1
)+1+(
)+…+1+(
)
=2018+1
=2018
,
故答案为:
2018
.
17.(2019年西藏)观察下列式子
第1个式子:
2×4+1=9=32第2个式子:
6×8+1=49=72
第3个式子:
14×16+1=225=152
……
请写出第n个式子:
(2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2.
【分析】由题意可知:
①等号左边是两个连续偶数的积(其中第二个因数比第一个因数大2)与1的和;右边是比左边第一个因数大1的数的平方;②第1个式子的第一个因数是22﹣2,第2个式子的第一个因数是23﹣2,第3个式子的第一个因数是24﹣2,以此类推,得出第
n个式子的第一个因数是2n+1﹣2,从而能写出第n个式子.
【解析】∵第1个式子:
2×4+1=9=32,即(22﹣2)×22+1=(22﹣1)2,第2个式子:
6×8+1=49=72,即(23﹣2)×23+1=(23﹣1)2,
第3个式子:
14×16+1=225=152,即(24﹣2)×24+1=(24﹣1)2,
……
∴第n个等式为:
(2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2.故答案为:
(2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2.
18.(2019年海南)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是0,这2019个数的和是2.
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数,从而可以数字的变化规律,本题得以解决.
【解析】由题意可得,
这列数为:
0,1,1,0,﹣1,﹣1,0,1,1,…,
∴前6个数的和是:
0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)=0,
∵2019÷6=336…3,
∴这2019个数的和是:
0×336+(0+1+1)=2,故答案为:
0,2.
19.(2019年安顺)如图,将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是2019.
【分析】观察图表可知:
第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、第7列的数是2025﹣6=2019
【解析】观察图表可知:
第n行第一个数是n2,
∴第45行第一个数是2025,
∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019,故答案为2019
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