离散数学公式.docx
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离散数学公式
离散数学公式
基本等值式
1.双重否定律A┐┐A
2.幂等律AA∨A,AA∧A
3.交换律A∨BB∨A,A∧BB∧A
4.结合律(A∨B)∨CA∨(B∨C)(A∧B)∧CA∧(B∧C)
5.分配律 A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)(∨对∧的分配律)
A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(∧对∨的分配律)
6.德·摩根律 ┐(A∨B)┐A∧┐B┐(A∧B)┐A∨┐B
7.吸收律 A∨(A∧B)A,A∧(A∨B)A
8.零律 A∨11,A∧00
9.同一律 A∨0A,A∧1A
10.排中律 A∨┐A1
11.矛盾律 A∧┐A0
12.蕴涵等值式 A→B⇔┐A∨B
13.等价等值式 A↔B⇔(A→B)∧(B→A)
14.假言易位 A→B⇔┐B→┐A
15.等价否定等值式 A↔B⇔┐A↔┐B
16.归谬论 (A→B)∧(A→┐B)⇔┐A
求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律:
利用∧对∨的分配律求析取范式,∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式
(1)A⇒(A∨B) 附加律
(2)(A∧B)⇒A 化简律
(3) (A→B)∧A⇒B 假言推理
(4)(A→B)∧┐B⇒┐A 拒取式
(5)(A∨B)∧┐B⇒A 析取三段论
(6) (A→B)∧(B→C)⇒(A→C) 假言三段论
(7) (A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)⇒B 构造性二难(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)⇒(┐A∨┐C)破坏性二难
设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有
(1)∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)
(2)∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,则
(1)┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)
(2)┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x)
设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,B中不含x的出现,则
(1)∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B
∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)
(2)∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B
∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)
设A(x),B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,则
(1)∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
(2)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
全称量词“∀”对“∨”无分配律。
存在量词“∃”对“∧”无分配律。
UI规则。
UG规则。
EG规则。
EI规则。
A∪B={x|x∈A∨x∈B}、
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
A-B={x|x∈A∧x∉B}
幂集P(A)={x|x⊆A}
对称差集A⊕B=(A-B)∪(B-A)
A⊕B=(A∪B)-(A∩B)
绝对补集~A={x|x∉A}
广义并∪A={x|∃z(z∈A∧x∈z)}广义交∩A={x|∀z(z∈A→x∈z)}
设A={{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}B={{a}}C={a,{c,d}}
则∪A={a,b,c,d,e,f}
∪B={a}
∪C=a∪{c,d}
∪∅=∅
∩A={a}
∩B={a}
∩C=a∩{c,d}
集合恒等式
幂等律A∪A=AA∩A=A
结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A
分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
同一律A∪∅=AA∩E=A
零律A∪E=EA∩∅=∅
排中律A∪~A=E
矛盾律A∩~A=∅
吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A
德摩根律A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
~(B∪C)=~B∩~C~(B∩C)=~B∪~C
~∅=E~E=∅
双重否定律~(~A)=A
集合运算性质的一些重要结果
A∩B⊆A,A∩B⊆B
A⊆A∪B,B⊆A∪B
A-B⊆A
A-B=A∩~B
A∪B=B⇔A⊆B⇔A∩B=A⇔A-B=∅
A⊕B=B⊕A
(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)
A∅⊕=A
A⊕A=∅
A⊕B=A⊕C⇒B=C
对偶(dual)式:
一个集合表达式,如果只含有∩、∪、~、∅、E、=、⊆、⊇,那么同时把∩与∪互换,把∅与E互换,把⊆与⊇互换,得到式子称为原式的对偶式。
有序对
(1)当x≠y时,
(2)
笛卡儿积的符号化表示为A×B={
如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn。
笛卡儿积的运算性质
(1)对任意集合A,根据定义有
A×∅=∅,∅×A=∅
(2)一般的说,笛卡儿积运算不满足交换律,即
A×B≠B×A(当A≠∅∧B≠∅∧A≠B时)
(3)笛卡儿积运算不满足结合律,即
(A×B)×C≠A×(B×C)(当A≠∅∧B≠∅∧C≠∅时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律,即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)A⊆C∧B⊆D⇒A×B⊆C×D
常用的关系
对任意集合A,定义
全域关系EA={
恒等关系IA={
空关系∅
小于或等于关系:
LA={
整除关系:
DB={
包含关系:
R⊆={
关系矩阵和关系图
设A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
则R的关系矩阵和关系图分别是
定义域domR={x|∃y(
值域ranR={y|∃x(
域fldR=domR∪ranR
例求R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}的定义域、值域和域。
解答domR={1,2,4}ranR={2,3,4}fldR={1,2,3,4}
逆R-1={
右复合F︒G={
限制R↑A={
像R[A]=ran(R↑A)
例设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}
R↑{1}={<1,2>,<1,3>}R↑∅=∅R↑{2,3}={<2,2>,<2,4>},<3,2>}
R[{1}]={2,3}R[∅]=∅R[{3}]={2}
设F是任意的关系,则
(1)(F-1)-1=F
(2)domF-1=ranF,ranF-1=domF
设F,G,H是任意的关系,则
(1)(F︒G)︒H=F︒(G︒H)
(2)(F︒G)-1=G-1︒F-1
设R为A上的关系,则R︒IA=IA︒R=R
设F,G,H是任意的关系,则
(1)F︒(G∪H)=F︒G∪F︒H
(2)(G∪H)︒F=G︒F∪H︒F
(3)F︒(G∩H)⊆F︒G∩F︒H
(4)(G∩H)︒F⊆G︒F∩H︒F
设F为关系,A,B为集合,则
(1)F↑(A∪B)=F↑A∪F↑B
(2)F[A∪B]=F[A]∪F[B]
(3)F↑(A∩B)=F↑A∩F↑B
(4)F[A∩B]⊆F[A]∩F[B]
关系的幂运算
设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为:
(1)R0={
(2)Rn+1=Rn︒R
幂运算的性质
设A为n元集,R是A上的关系,则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。
设R是A上的关系,m,n∈N,则
(1)Rm︒Rn=Rm+n
(2)(Rm)n=Rmn
设R是A上的关系,若存在自然数s,t(s (1)对任何k∈N有Rs+k=Rt+k (2)对任何k,i∈N有Rs+kp+i=Rs+i,其中p=t-s (3)令S={R0,R1,…,Rt-1},则对于任意的q∈N有Rq∈S 自反∀x(x∈A→ 反自反∀x(x∈A→ 对称∀x∀y(x,y∈A∧ 反对称∀x∀y(x,y∈A∧ 传递∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧ 关系性质的等价描述 设R为A上的关系,则 (1)R在A上自反当且仅当IA⊆R (2)R在A上反自反当且仅当R∩IA=∅ (3)R在A上对称当且仅当R=R-1 (4)R在A上反对称当且仅当R∩R-1⊆IA (5)R在A上传递当且仅当R︒R⊆R (1)若R1,R2是自反的和对称的,则R1∪R2也是自反的和对称的。 (2)若R1和R2是传递的,则R1∩R2也是传递的。 关系性质的特点 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 集合表达式 IA⊆R R∩IA=∅ R=R-1 R∩R-1⊆IA R︒R⊆R 关系矩阵 主对角线元素全是1 主对角线元素全是0 矩阵是对称矩阵 若rij=1,且i≠j,则rji=0 对M2中1所在位置,M中相应的位置都是1 关系图 每个顶点都有环 每个顶点都没有环 如果两个顶点之间有边,一定是一对方向相反的边(无单边) 如果两点之间有边,一定是一条有向边(无双向边) 如果顶点xi到xj有边,xj到xk有边,则从xi到xk也有边 关系的性质和运算之间的关系 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R1-1 √ √ √ √ √ R1∩R2 √ √ √ √ √ R1∪R2 √ √ √ × × R1-R2 × √ √ √ × R1︒R2 √ × × × × 闭包的构造方法 设R为A上的关系,则有 (1)自反闭包r(R)=R∪R0 (2)对称闭包s(R)=R∪R-1 (3)t(R)=R∪R2∪R3∪… 关系性质与闭包运算之间的联系 设R是非空集合A上的关系, (1)若R是自反的,则s(R)与t(R)也是自反的。 (2)若R是对称的,则r(R)与t(R)也是对称的。 (3)若R是传递的,则r(R)是传递的。 等价类的性质 设R是非空集合A上的等价关系,则 (1)∀x∈A,[x]是A的非空子集。 (2)∀x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y]。 (3)∀x,y∈A,如果 (4)∪{[x]|x∈A}=A。 偏序集中的特殊元素 (1)若∀x(x∈B→y≤x)成立,则称y为B的最小元。 (2)若∀x(x∈B→x≤y)成立,则称y为B的最大元。 (3)若∀x(x∈B∧x≤y→x=y)成立,则称y为B的极小元。 (4)若∀x(x∈B∧y≤x→x=y)成立,则称y为B的极大元 B 最大元 最小元 极大元 极小元 {2,3,6,12,24,36} 无 无 24,36 2,3 {6,12} 12 6 12 6 {2,3,6} 6 无 6 2,3 {6} 6 6 6 6 B 上界 下界 上确界 下确界 {2,3,6,12,24,36} 无 无 无 无 {6,12} 12,24,36 2,3,6 12 6 {2,3,6} 6,12,24,36 无 6 无 {6} 6,12,24,36, 2,3,6, 6 6 函数相等 由定义可知,两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件: (1)domF=domG (2)∀x∈domF=domG,都有F(x)=G(x) 所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”,符号化表示为BA={f|f: A→B}。 例: 设A={1,2,3},B={a,b},求BA。 BA={f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7}。 其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>} 设f: A→B, (1)若ranf=B,则称f: A→B是满射(surjection)的。 (2)若∀y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,则称f: A→B是单射(injection)的。 (3)若f既是满射又是单射的,则称f: A→B是双射(bijection) 单射双射函数满射 例: 判断下面函数是否为单射、满射、双射的,为什么? (1)f: R→R,f(x)=-x2+2x-1 (2)f: Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集 (3)f: R→Z,f(x)=⎣x⎦(4)f: R→R,f(x)=2x+1。 解 (1)f在x=1取得极大值0。 既不是单射也不是满射的。 (2)f是单调上升的,是单射的,但不满射。 ranf={ln1,ln2,…}。 (3)f是满射的,但不是单射的,例如f(1.5)=f(1.2)=1。 (4)f是满射、单射、双射的,因为它是单调函数并且ranf=R。 例: (1)给定无向图G= E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}. (2)给定有向图D= 画出G与D的图形。 邻域: NG(v1)={v2,v5}后继元集: Г+D(d)={c} 闭邻域: NG(v1)={v1,v2,v5}先驱元集: Г-D(d)={a,c} 关联集: IG(v1)={e1,e2,e3}邻域: ND(d)={a,c} 闭邻域: ND(d)={a,c,d} d(v1)=4(注意,环提供2度),出度: d+(a)=4,入度: d-(a)=1 △=4,δ=1,(环e1提供出度1,提供入度1), v4是悬挂顶点,e7是悬挂边。 d(a)=4+1=5。 △=5,δ=3, △+=4(在a点达到) 度数列为4,4,2,1,3。 δ+=0(在b点达到) △-=3(在b点达到) δ-=1(在a和c点达到) 按字母顺序,度数列: 5,3,3,3 出度列: 4,0,2,1入度列: 1,3,1,2 设G= (1)G是树。 (2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 (3)G中无回路且m=n-1。 (4)G是连通的且m=n-1。 (5)G是连通的且G中任何边均为桥。 (6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。 例题已知无向树T中,有1个3度顶点,2个2度顶点,其余顶点全是树叶,试求树叶数,并画出满足要求的非同构的无向树。 解答设有x片树叶,于是结点总数 n=1+2+x=3+x 由握手定理和树的性质m=n-1可知, 2m=2(n-1)=2×(2+x) =1×3+2×2+x 解出x=3,故T有3片树叶。 故T的度数应为1、1、1、2、2、3。 求最小生成树的算法(避圈法(Kruskal)) (1)设n阶无向连通带权图G= 不妨设G中没有环(否则,可以将所有的环先删去),将m条边按权从小到大排序: e1,e2,…,em。 (2)取e1在T中。 (3)依次检查e2,…,em,若ej(j≥2)与已在T中的边不构成回路,取ej也在T中,否则弃去ej。 (4)算法停止时得到的T为G的最小生成树为止。 例: 求下图所示两个图中的最小生成树。 W(T1)=6W(T2)=12 T是n(n≥2)阶有向树, (1)T为根树—T中有一个顶点入度为0,其余顶点的入度均为1 (2)树根——入度为0的顶点 (3)树叶——入度为1,出度为0的顶点 (4)内点——入度为1,出度不为0的顶点 (5)分支点——树根与内点的总称 (6)顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7)树高——T中层数最大顶点的层数 根树的画法: 树根放上方,省去所有有向边上的箭头。 树叶——8片内点——6个分支点——7个高度——5 求带权为1、1、2、3、4、5的最优树。 W(T)=38 中序行遍法: ba(fdg)ce前序行遍法: ab(c(dfg)e) 后序行遍法: b((fgd)ec)a
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