全等三角形难题集锦超级好5.docx
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全等三角形难题集锦超级好5
1、(2007年成都)已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。
(!
)求证:
BF=AC;
(2)求证:
CE=
BF;
(3)CE与BC的大小关系如何?
试证明你的结论。
2.(2012•内江)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.
3(08河北中考第24题)如图14-1,在△ABC中,BC边在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC.△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
4.如图1、图2、图3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位置关系吗?
为什么?
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.分析:
(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答.
(2)证明△DOB≌△COA,根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答:
解:
(1)相等.
在图1中,∵△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
∴OA=OB,OC=OD,
∴0A-0C=0B-OD,
∴AC=BD;
(2)相等.
在图2中,0D=OC,∠DOB=∠COA,OB=OA,
∴△DOB≌△COA,
∴BD=AC.点评:
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角.
5(2008河南).(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:
证明题;探究型.分析:
此题的两个小题思路是一致的;已知∠QAP=∠BAC,那么这两个等角同时减去同一个角(2题是加上同一个角),来证得∠QAB=∠PAC;而根据旋转的性质知:
AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS证得△ABQ≌△ACP,进而得出BQ=CP的结论.解答:
证明:
(1)∵∠QAP=∠BAC,
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,
即∠QAB=∠CAP;
在△BQA和△CPA中,
AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC,
∴△BQA≌△CPA(SAS);
∴BQ=CP.
(2)BQ=CP仍然成立,理由如下:
∵∠QAP=∠BAC,
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB,
即∠QAB=∠PAC;
在△QAB和△PAC中,
AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC,
∴△QAB≌△PAC(SAS),
∴BQ=CP.点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键.
5(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片
和
.且
≌
。
将这两张三角形胶片的顶点
与顶点
重合,把
绕点
顺时针方向旋转,这时
与
相交于点
.
①当
旋转至如图②位置,点
,
在同一直线上时,
与
的数量关系是.
②当
继续旋转至如图③位置时,
(1)中的结论还成立吗?
AO与DO存在怎样的数量关系?
请说明理由.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
探究型.分析:
(1)根据外角的性质,得∠AFD=∠D+∠ABC,∠DCA=∠A+∠ABC,从而得出∠AFD=∠DCA;
(2)成立.由△ABC≌△DEF,可证明∠ABF=∠DEC.则△ABF≌△DEC,从而证出∠AFD=∠DCA;
(3)BO⊥AD.由△ABC≌△DEF,可证得点B在AD的垂直平分线上,进而证得点O在AD的垂直平分线上,则直线BO是AD的垂直平分线,即BO⊥AD.解答:
解:
(1)∠AFD=∠DCA(或相等).
(2)∠AFD=∠DCA(或成立),理由如下:
方法一:
由△ABC≌△DEF,得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,
∴∠ABF=∠DEC.
在△ABF和△DEC中,AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC
∴△ABF≌△DEC,∠BAF=∠EDC.
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∠FAC=∠CDF.
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA,
∴∠AFD=∠DCA.
方法二:
连接AD.同方法一△ABF≌△DEC,
∴AF=DC.
由△ABC≌△DEF,得FD=CA.
在△AFD≌△DCA,AF=DCFD=CAAD=DA
∴△AFD≌△DCA,∠AFD=∠DCA.
(3)如图,BO⊥AD.
方法一:
由△ABC≌△DEF,点B与点E重合,
得∠BAC=∠BDF,BA=BD.
∴点B在AD的垂直平分线上,
且∠BAD=∠BDA.
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC,∠ODA=∠BDA-∠BDF,
∴∠OAD=∠ODA.
∴OA=OD,点O在AD的垂直平分线上.
∴直线BO是AD的垂直平分线,BO⊥AD.
方法二:
延长BO交AD于点G,同方法一,OA=OD.
在△ABO和△DBO中,AB=DBBO=BOOA=OD
∴△ABO≌△DBO,∠ABO=∠DBO.
在△ABG和△DBG中,AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG
∴△ABG≌△DBG,∠AGB=∠DGB=90°.
∴BO⊥AD.点评:
本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础知识要熟练掌握.
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.分析:
延长EB使得BG=DF,易证△ABG≌△ADF(SAS)可得AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题.解答:
解:
延长EB使得BG=DF,
在△ABG和△ADF中,
由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF,
可得△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°,
∴∠EAF=45°.
答:
∠EAF的角度为45°.点评:
本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键.
例2D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)
当
绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:
计算题.分析:
(1)连CD,根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,则∠BCD=45°,∠CDA=90°,由∠DM⊥DN得∠EDF=90°,根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF,根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF,即可得到结论;
(2)由△DCE≌△ADF,则S△DCE=S△ADF,于是四边形DECF的面积=S△ACD,由而AB=2可得CD=DA=1,根据三角形的面积公式易求得S△ACD,从而得到四边形DECF的面积.解答:
解:
(1)连CD,如图,
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,
∴∠BCD=45°,∠CDA=90°,
∵∠DM⊥DN,
∴∠EDF=90°,
∴∠CDE=∠ADF,
在△DCE和△ADF中,
∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF,
∴△DCE≌△ADF,
∴DE=DF;
(2)∵△DCE≌△ADF,
∴S△DCE=S△ADF,
∴四边形DECF的面积=S△ACD,
而AB=2,
∴CD=DA=1,
∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD•DA=12.点评:
本题考查了旋转的性质:
旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.
6、已知四边形
中,
,
,
,
,
,
绕
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
.
当
绕
点旋转到
时(如图1),易证
.
当
绕
点旋转到
时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
7(西城09年一模)已知:
PA=
PB=4,以AB为一边作
正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及
相应∠APB的大小.
图1图2图3
(
)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时
;
(
)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM
DN时,猜想(
)问的两个结论还成立吗?
写出
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
考点:
菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.分析:
(1)利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案;
(2)根据已知可以得出∠BAE=∠CAF,进而求出△ABE≌△ACF即可;
(3)利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可.解答:
解:
(1)得出结论是:
BE=CF,
证明:
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即:
∠BAE=∠CAF,
又∵AB=AC,∠ABE=∠ACF=60°,
∴∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF,
(2)还成立,
证明:
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC,
即∠BAE=∠CAF,
又∵AB=AC,∠ABE=∠ACF=60°,
即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF,
(3)证明:
∵△ABE≌△ACF,
∴S△ABE=S△ACF,
∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC;
而S△ABC=12S菱形ABCD,
∴S=12S菱形ABCD.点评:
此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积,熟练利用全等三角形判定求出是解题关键.
解:
(1)BE=CF.
证明:
在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF
8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DC⊥BE.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
专题:
证明题.
分析:
(1)此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形,容易得到全等条件证明△ABE≌△ACD;
(2)根据
(1)的结论和已知条件可以证明DC⊥BE.
解答:
证明:
(1)∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°.
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE.
即∠BAE=∠CAD,
在△ABE与△ACD中,
∵AB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD
∴△ABE≌△ACD.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠ACD=∠ABE=45°.
又∵∠ACB=45°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°.
∴DC⊥BE.
点评:
此题是一个实际应用问题,利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题,关键是理解题意,得
9、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.分析:
延长EB使得BG=DF,易证△ABG≌△ADF(SAS)可得AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题.解答:
解:
延长EB使得BG=DF,
在△ABG和△ADF中,
由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF,
可得△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°,
∴∠EAF=45°.
答:
∠EAF的角度为45°.点评:
本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键.
7、D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
①当
绕点D转动时,求证DE=DF。
②若AB=2,求四边形DECF的面积。
10、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积
考点:
全等三角形的判定与性质.专题:
应用题.分析:
可延长DE至F,使EF=BC,可得△ABC≌△AEF,连AC,AD,AF,可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积,进而求出结论.解答:
解:
延长DE至F,使EF=BC,连AC,AD,AF,
∵AB=CD=AE=BC+DE,∠ABC=∠AED=90°,
∴CD=EF+DE=DF,
在Rt△ABC与Rt△AEF中,
∵AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△AEF(SAS),
∴AC=AF,
在△ACD与△AFD中,
∵AC=AFCD=DFAD=AD
∴△ACD≌△AFD(SSS),
∴SABCDE=2S△ADF=2×12•DF•AE=2×12×2×2=4.点评:
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算,应熟练掌握
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE,AF=AG,
所以三角形AEF全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF
又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
(1)如图1,现有一正方形ABCD,将三角尺的指直角顶点放在A点处,两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量,判断AE与AF之间的数量关系,并说明理由.
(2)将三角尺沿对角线平移到图2的位置,PE、PF之间有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)如果将三角尺旋转到图3的位置,PE、PF之间是否还具有
(2)中的数量关系?
如果有,请说明
理由.如果没有,那么点P在AC的什么位置时,PE、PF才具有
(2)中的数量关系.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
几何综合题.分析:
(1)证明△ABE≌△ADF可推出AE=AF.
(2)本题要借助辅助线的帮助.过点P作PM⊥BC于M,PN⊥DC于N,证明△PME≌△PNF可推出PE=PF.
(3)PE、PF不具有
(2)中的数量关系.当点P在AC的中点时,PE,PF才具有
(2)中的数量关系.解答:
解:
(1)如图1,AE=AF.理由:
证明△ABE≌△ADF(ASA)
(2)如图2,PE=PF.
理由:
过点P作PM⊥BC于M,PN⊥DC于N,则PM=PN.由此可证得△PME≌
△PNF(ASA),从而证得PE=PF.
(3)PE、PF不具有
(2)中的数量关系.
当点P在AC的中点时,PE、PF才具有
(2)中的数量关系.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
几何综合题.分析:
(1)证明△ABE≌△ADF可推出AE=AF.
(2)本题要借助辅助线的帮助.过点P作PM⊥BC于M,PN⊥DC于N,证明△PME≌△PNF可推出PE=PF.
(3)PE、PF不具有
(2)中的数量关系.当点P在AC的中点时,PE,PF才具有
(2)中的数量关系.解答:
解:
(1)如图1,AE=AF.理由:
证明△ABE≌△ADF(ASA)
(2)如图2,PE=PF.
理由:
过点P作PM⊥BC于M,PN⊥DC于N,则PM=PN.由此可证得△PME≌△PNF(ASA),从而证得PE=PF.
(3)PE、PF不具有
(2)中的数量关系.
当点P在AC的中点时,PE、PF才具有
(2)中的数量关系.点评:
本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定.
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
解:
(1)BE=CF.
证明:
在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF
10、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图所示),通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图所示),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
说明理由。
11已知∠AOB=90°,∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。
当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:
CD=CE
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2图3这两种情况下,上述结论是否成立,请给予证明,若不成立,请写出你的猜想,不需证明。
3、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。
(1)说明:
△BCG≌△DCE;
(2)BG与CD有何关系?
为什么?
(3)将正方形GCEF绕点C顺时针旋转,在旋转过程中,
(1)、
(2)中的结论还成立吗?
画出一个图形,直接回答,不必说明理由。
12如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.分析:
(1)结合等边三角形的性质,根据SAS可证△AMB≌△ENB;
(2)连接MN,由
(1)的结论证明△BMN为等边三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小,从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)根据
(2)中费尔马点的定义,又△ABC的费尔马点在线段EC上,同理也在线段BF
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