matlab中方程根的近似计算.docx

matlab中方程根的近似计算.docx

《matlab中方程根的近似计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《matlab中方程根的近似计算.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

matlab中方程根的近似计算

实验一方程根的近似计算

一、问题

求非线性方程的根

二、实验目的

1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。

4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。

三、预备知识

方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。

它的一般形式是求方程f（x）=0的根。

如果有x*使得f（x*）=0，则称x*为f（x）=0的根，或函数f（x）的零点。

并非所有的方程都能求出精确解或解析解。

理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。

至于超越方程，通常很难求出其解析解。

不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。

而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。

下面介绍几种常见的求近似根的方法。

1.求方程近似解的简单方法

1.1图形方法—放大法求根

图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。

不过，不要总是想得到根的精确值。

这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。

并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。

例1.1求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。

解

（1）画出函数f（x）=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。

为此，在matlab命令窗中输入

clf

ezplotx-x,

gridon

holdon

ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi]）

1-1函数f（x）=x5+2x2+4的图形

clf

x=-2*pi:

0.1:

2*pi;

y1=zeros（size（x））;

y2=x.^5+2*x.^2+4;

plot（x,y1,x,y2）

gridon

axistight

title（'x^5+2x^2+4'）

xlabel（'x'）

从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。

（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。

在matlab命令窗中先后键入

subplot（2,2,1）

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2,2]）

subplot（2,2,2）

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2,-1]）

subplot（2,2,3）

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-1.6,-1.5]）

subplot（2,2,4）

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-1.55,-1.54]）

图1-2放大法求函数f（x）=x5+2x2+4的根

由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。

1.2数值方法

非线性方程f（x）=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。

（1）根的隔离与二分法

根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：

若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）f（b）<0，则方程f（x）=0在（a,b）内至少有一根x*。

二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{xn}来逼近根x*。

用该方法求f（x）=0的近似解可分两步做：

第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间[a,b],使所求根是位于这个区间内的唯一实根。

这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：

先画出y=f（x）的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。

第二步，以根的隔离区间[a,b]的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。

具体步骤如下：

取[a,b]的中点x0=（a+b）/2，若f（x0）=0，则x0就是f（x）=0的根x*。

若f（a）f（x0）<0，则根x*必在区间（a,x0）内，取a1=a,b1=x0；否则根x*必在区间（x0,b）内，取a1=x0,b1=b。

这样，得到新区间[a1,b1]，其长度为[a,b]的一半。

如此继续下去，进行n等分后，得到一组不断缩小的区间序列[a,b],[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…,和对应区间的中点数列xn=（an+bn）/2,n=0,1,2,…,其中每个区间都含有根x*，满足

[a,b]

[a1,b1]

[a2,b2]

…

[an,bn]

…

且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。

由于[an,bn]的长度为（b-a）/2n,当n不断变大时，这些区间将收敛于一点x*，该点即为所求的根。

当做到第n步时，有

选择适当的步数n，就可达到满意的精度。

用二分法，理论上区间中点序列{xn}将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。

（2）简单迭代法

迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。

简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。

由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f（x）=0等价变换为

，构造迭代计算公式

。

取定初值x0，算出数列{xn}。

如果{xn}收敛于x*，则有

这说明，x*就是方程f（x）=0的根。

上面

称为不动点方程，

称为迭代函数，数列{xn}称为迭代数列。

（3）牛顿迭代法

如果f（x）在[a,b]上具有二阶导数，f（a）f（b）<0，且f'（x）与f''（x）在[a,b]上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f（x）=0在（a,b）内的惟一实根。

牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。

具体做法如下：

设xn是f（x）=0的一个近似根，把f（x）在xk处作泰勒展开，得

f（x）=f（xk）+f'（xk）（x-xk）+（f''（xk）/2!

）（x-xk）2+…

取前两项来近似代替f（x），则得近似线性方程

f（x）≈f（xk）+f'（xk）（x-xk）=0

如果f'（xk）≠0，令其解为xk+1，得

xk+1=xk-f（xk）/f'（xk）,k=1,2,..（1-1）

上式称为f（x）=0的根的牛顿迭代格式。

牛顿法具有明显的几何意义，方程

y=f（xk）+f'（xk）（x-xk）

是曲线在点（xk,f（xk））处的切线方程。

迭代方程（1.1）就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标近似替代曲线与x轴交点的横坐标。

因此牛顿法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛最快的方法。

2.matlab中方程求解的基本命令

roots（p）：

求多项式方程的根，其中p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。

solve（fun）：

求方程fun=0的符号解，如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。

solve（fun,var）：

对指定变量var求代数方程fun=0的符号解。

fsolve（fun,x0）：

用最小二乘法求非线性方程fun=0在估计值x0附近的近似解。

fzero（fun,x0）：

求函数fun在x0附近的零点。

四、实验过程

1、编写二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0实根的近似值，使误差不超过10-3。

解：

（1）求根的初始隔离区间

在matlab工作区输入命令：

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'）

图1-4

画出曲线图1-4。

由上图可知，根应在-2和2之间，进一步画出该部分的图形。

ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4',[-2,2]）

图1-5

由图1-5可见，根在0.5与1之间。

（2）编写程序如下：

f=input（'输入函数：

f（x）='）;

qujian=input（'输入区间='）;

err=input（'输入误差='）;

a=qujian

（1）;

b=qujian

（2）;

yc=1;

while（（b-a）>err）&（yc~=0）

c=（a+b）/2;

x=a;ya=eval（f）;

x=b;yb=eval（f）;

x=c;yc=eval（f）;

ifya*yc<0

b=c;

else

a=c;

end

x0=c

end

存为文件erfenfa.m

调用erfenfa得到如下结果：

>>erfenfa

输入函数：

f（x）='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

输入区间=[0,1]

输入误差=0.001

x0=0.5000

x0=0.7500

x0=0.6250

x0=0.6875

x0=0.6563

x0=0.6719

x0=0.6641

x0=0.6680

x0=0.6699

x0=0.6709

由此得到，方程的根的近似值为0.6709.

2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。

解：

由1可知，[0.5,1]是根所在的区间，在[0.5,1]上

f（x）=x3+1.1x2+0.9x-1.4

f'（x）=3*x2+2.2x+0.9,f''（x）=6x+2.2

f'（x）与f''（x）在[0.5,1]上保持同号，f

（1）>0与f''

（1）同号，所以取x0=1为迭代初始值。

用matlab语言编写一般的程序如下：

f=input（'输入函数：

f（x）='）;

n=input（'请输入迭代次数：

n='）;

x0=input（'请输入迭代初始值：

x0='）;

f1=diff（f）;

formatlong

fori=1:

n

x=x0;

fx0=eval（f）;

f1x0=eval（f1）;

x0=x0-fx0/f1x0;

fprintf（'x0=%12.10f\n',x0）

end

存为文件niudunfa.m，调用及运行结果如下：

>>niudunfa

输入函数：

f（x）='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

请输入迭代次数：

n=6

请输入迭代初始值：

x0=1

x0=0.7377049180

x0=0.6741688117

x0=0.6706675756

x0=0.6706573108

x0=0.6706573107

x0=0.6706573107

由此得到，方程的根的近似值为0.6706573107。

3.用matlab中的内部函数求方程的根。

（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；

（2）用solve求上述方程的根；

（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；

（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；

解：

（1）在matlab命令窗口输入命令：

p=zeros（10,1）;

p（[1:

2,end],1）=1;

roots（p）

ans=

-1.213149723059643

-0.901727735578254+0.575312094072893i

-0.901727735578254-0.575312094072893i

-0.269351937596575+0.940578401023146i

-0.269351937596575-0.940578401023146i

0.416834006536573+0.841919773084660i

0.416834006536573-0.841919773084660i

0.860820528168075+0.334352258897906i

0.860820528168075-0.334352258897906i

（2）在matlab命令窗口输入命令：

solve（'x^9+x^8+1=0'）

ans=

RootOf（X1^9+X1^8+1,X1）

（3）首先作图确定根的大致范围：

clf,ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^2+4*sin（x）-25'）

图1-6

由图1-6可确定两根在x1≈-4，x2≈5附近。

再具体求根。

x1=fzero（'x^2+4*sin（x）-25',-4）

x2=fzero（'x^2+4*sin（x）-25',5）

x1=

-4.586052690568049

x2=

5.318580248846235

（4）在matlab命令窗口输入命令：

x=fsolve（'x-exp（-x）',0）

Optimizationterminated:

first-orderoptimalityislessthanoptions.TolFun.

x=

0.567143165036970

五、实验练习

1、用二分法求方程x3-1.2x+6=0的实根的近似值，使误差不超过10-3，并用roots命令进行检验。

2、用牛顿迭代法求方程x3-1.1x2+2x-8=0的实根的近似值，使误差不超过0.001，并用solve命令进行检验。

3、用简单迭代法求方程x=e-x在0附近的根，并用fsolve命令进行检验。