ACM常用算法及其相应的练习题.docx
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ACM常用算法及其相应的练习题
ACM常用算法及其相应的练习题
2007-12-0323:
48
OJ上的一些水题(可用来练手和增加自信)
(poj3299,poj2159,poj2739,poj1083,poj2262,poj1503,poj3006,poj2255,poj3094)
初期:
一.基本算法:
(1)枚举.(poj1753,poj2965)
(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)
(3)递归和分治法.
(4)递推.
(5)构造法.(poj3295)
(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)
二.图算法:
(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.
(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)
(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)
(3)最小生成树算法(prim,kruskal)
(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)
(4)拓扑排序(poj1094)
(5)二分图的最大匹配(匈牙利算法)(poj3041,poj3020)
(6)最大流的增广路算法(KM算法).(poj1459,poj3436)
三.数据结构.
(1)串(poj1035,poj3080,poj1936)
(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排)(poj2388,poj2299)
(3)简单并查集的应用.
(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)
(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)
(5)哈夫曼树(poj3253)
(6)堆
(7)trie树(静态建树、动态建树)(poj2513)
四.简单搜索
(1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)
(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)
(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)
五.动态规划
(1)背包问题.(poj1837,poj1276)
(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149):
1.E[j]=opt{D+w(i,j)}(poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)
2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij}(最长公共子序列)
(poj3176,poj1080,poj1159)
3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)
六.数学
(1)组合数学:
1.加法原理和乘法原理.
2.排列组合.
3.递推关系.
(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)
(2)数论.
1.素数与整除问题
2.进制位.
3.同余模运算.
(poj2635,poj3292,poj1845,poj2115)
(3)计算方法.
1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)
七.计算几何学.
(1)几何公式.
(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等).(poj2031,poj1039)
(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交)
(poj1408,poj1584)
(4)凸包.(poj2187,poj1113)
中级:
一.基本算法:
(1)C++的标准模版库的应用.(poj3096,poj3007)
(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)
二.图算法:
(1)差分约束系统的建立和求解.(poj1201,poj2983)
(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)
(3)双连通分量(poj2942)
(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)
(5)图的割边和割点(poj3352)
(6)最小割模型、网络流规约(poj3308,)
三.数据结构.
(1)线段树.(poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)
(2)静态二叉检索树.(poj2482,poj2352)
(3)树状树组(poj1195,poj3321)
(4)RMQ.(poj3264,poj3368)
(5)并查集的高级应用.(poj1703,2492)
(6)KMP算法.(poj1961,poj2406)
四.搜索
(1)最优化剪枝和可行性剪枝
(2)搜索的技巧和优化(poj3411,poj1724)
(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)
五.动态规划
(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)
(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)
(2)记录状态的动态规划.(POJ3254,poj2411,poj1185)
(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)
六.数学
(1)组合数学:
1.容斥原理.
2.抽屉原理.
3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).
4.递推关系和母函数.
(2)数学.
1.高斯消元法(poj2947,poj1487,poj2065,poj1166,poj1222)
2.概率问题.(poj3071,poj3440)
3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理)(poj3101)
(3)计算方法.
1.0/1分数规划.(poj2976)
2.三分法求解单峰(单谷)的极值.
3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)
4.迭代逼近(poj3301)
(4)随机化算法(poj3318,poj2454)
(5)杂题.
(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)
七.计算几何学.
(1)坐标离散化.
(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).
(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)
(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)
(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)
高级:
一.基本算法要求:
(1)代码快速写成,精简但不失风格
(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)
(2)保证正确性和高效性.poj3434
二.图算法:
(1)度限制最小生成树和第K最短路.(poj1639)
(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)
(poj3155,poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446
(3)最优比率生成树.(poj2728)
(4)最小树形图(poj3164)
(5)次小生成树.
(6)无向图、有向图的最小环
三.数据结构.
(1)trie图的建立和应用.(poj2778)
(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题)有离线算法(并查集+dfs)和在线算法
(RMQ+dfs)).(poj1330)
(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的
目的).(poj2823)
(4)左偏树(可合并堆).
(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).
(poj3415,poj3294)
四.搜索
(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)
(2)广搜的状态优化:
利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法.(poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)
(3)深搜的优化:
尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法.(poj3131,poj2870,poj2286)
五.动态规划
(1)需要用数据结构优化的动态规划.
(poj2754,poj3378,poj3017)
(2)四边形不等式理论.
(3)较难的状态DP(poj3133)
六.数学
(1)组合数学.
1.MoBius反演(poj2888,poj2154)
2.偏序关系理论.
(2)博奕论.
1.极大极小过程(poj3317,poj1085)
2.Nim问题.
七.计算几何学.
(1)半平面求交(poj3384,poj2540)
(2)可视图的建立(poj2966)
(3)点集最小圆覆盖.
(4)对踵点(poj2079)
八.综合题.
(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)
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以及补充
Dp状态设计与方程总结
1.不完全状态记录
<1>青蛙过河问题
<2>利用区间dp
2.背包类问题
<1>0-1背包,经典问题
<2>无限背包,经典问题
<3>判定性背包问题
<4>带附属关系的背包问题
<5>+-1背包问题
<6>双背包求最优值
<7>构造三角形问题
<8>带上下界限制的背包问题(012背包)
3.线性的动态规划问题
<1>积木游戏问题
<2>决斗(判定性问题)
<3>圆的最大多边形问题
<4>统计单词个数问题
<5>棋盘分割
<6>日程安排问题
<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)
<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)
<9>资源分配问题
<10>数字三角形问题
<11>漂亮的打印
<12>邮局问题与构造答案
<13>最高积木问题
<14>两段连续和最大
<15>2次幂和问题
<16>N个数的最大M段子段和
<17>交叉最大数问题
4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)
<1>模K问题的dp
<2>特殊的模K问题,求最大(最小)模K的数
<3>变换数问题
5.单调性优化的动态规划
<1>1-SUM问题
<2>2-SUM问题
<3>序列划分问题(单调队列优化)
6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)
<1>凸多边形的三角剖分问题
<2>乘积最大问题
<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)
<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)
7.贪心的动态规划
<1>最优装载问题
<2>部分背包问题
<3>乘船问题
<4>贪心策略
<5>双机调度问题Johnson算法
8.状态dp
<1>牛仔射击问题(博弈类)
<2>哈密顿路径的状态dp
<3>两支点天平平衡问题
<4>一个有向图的最接近二部图
9.树型dp
<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)
<2>小胖守皇宫问题
<3>网络收费问题
<4>树中漫游问题
<5>树上的博弈
<6>树的最大独立集问题
<7>树的最大平衡值问题
<8>构造树的最小环
枚举法,常常称之为穷举法,是指从可能的集合中一一枚举各个元素,用题目给定的约束条件判定哪些是无用的,哪些是有用的。
能使命题成立者,即为问题的解。
采用枚举算法解题的基本思路:
(1) 确定枚举对象、枚举范围和判定条件;
(2) 一一枚举可能的解,验证是否是问题的解
下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定,这三个方面来探讨如何用枚举法解题。
例1:
百钱买百鸡问题:
有一个人有一百块钱,打算买一百只鸡。
到市场一看,大鸡三块钱一只,小鸡一块钱三只,不大不小的鸡两块钱一只。
现在,请你编一程序,帮他计划一下,怎么样买法,才能刚好用一百块钱买一百只鸡?
算法分析:
此题很显然是用枚举法,我们以三种鸡的个数为枚举对象(分别设为x,y,z),以三种鸡的总数(x+y+z)和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件,穷举各种鸡的个数。
下面是解这个百鸡问题的程序
varx,y,z:
integer;
begin
forx:
=0to100do
fory:
=0to100do
forz:
=0to100do{枚举所有可能的解}
if(x+y+z=100)and(x*3+y*2+zdiv3=100)and(zmod3=0)thenwriteln('x=',x,'y=',y,'z=',z);{验证可能的解,并输出符合题目要求的解}
end.
上面的条件还有优化的空间,三种鸡的和是固定的,我们只要枚举二种鸡(x,y),第三种鸡就可以根据约束条件求得(z=100-x-y),这样就缩小了枚举范围,请看下面的程序:
varx,y,z:
integer;
begin
forx:
=0to100do
fory:
=0to100-xdo
begin
z:
=100-x-y;
if(x*3+y*2+zdiv3=100)and(zmod3=0)thenwriteln('x=',x,'y=',y,'z=',z);
end;
end.
未经优化的程序循环了1013次,时间复杂度为O(n3);优化后的程序只循环了(102*101/2)次,时间复杂度为O(n2)。
从上面的对比可以看出,对于枚举算法,加强约束条件,缩小枚举的范围,是程序优化的主要考虑方向。
在枚举算法中,枚举对象的选择也是非常重要的,它直接影响着算法的时间复杂度,选择适当的枚举对象可以获得更高的效率。
如下例:
例2、将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:
2:
3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.
例如:
三个三位数192,384,576满足以上条件.(NOIP1998pj)
算法分析:
这是1998年全国分区联赛普及组试题(简称NOIP1998pj,以下同)。
此题数据规模不大,可以进行枚举,如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象,一位一位地去枚举:
fora:
=1to9do
forb:
=1to9do
………
fori:
=1to9do
这样下去,枚举次数就有99次,如果我们分别设三个数为x,2x,3x,以x为枚举对象,穷举的范围就减少为93,在细节上再进一步优化,枚举范围就更少了。
程序如下:
var
t,x:
integer;
s,st:
string;
c:
char;
begin
forx:
=123to321do{枚举所有可能的解}
begin
t:
=0;
str(x,st);{把整数x转化为字符串,存放在st中}
str(x*2,s);st:
=st+s;
str(x*3,s);st:
=st+s;
forc:
='1'to'9'do{枚举9个字符,判断是否都在st中}
ifpos(c,st)<>0theninc(t)elsebreak;{如果不在st中,则退出循环}
ift=9thenwriteln(x,'',x*2,'',x*3);
end;
end.
在枚举法解题中,判定条件的确定也是很重要的,如果约束条件不对或者不全面,就穷举不出正确的结果, 我们再看看下面的例子。
例3一元三次方程求解(noip2001tg)
问题描述有形如:
ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。
给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数),并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间),且根与根之差的绝对值>=1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格),并精确到小数点后2位。
提示:
记方程f(x)=0,若存在2个数x1和x2,且x1 样例 输入: 1-5-420 输出: -2.002.005.00 算法分析: 由题目的提示很符合二分法求解的原理,所以此题可以用二分法。 用二分法解题相对于枚举法来说很要复杂很多。 此题是否能用枚举法求解呢? 再分析一下题目,根的范围在-100到100之间,结果只要保留两位小数,我们不妨将根的值域扩大100倍(-10000<=x<=10000),再以根为枚举对象,枚举范围是-10000到10000,用原方程式进行一一验证,找出方程的解。 有的同学在比赛中是这样做 var k: integer; a,b,c,d,x: real; begin read(a,b,c,d); fork: =-10000to10000do begin x: =k/100; ifa*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0thenwrite(x: 0: 2,''); end; end. 用这种方法,很快就可以把程序编出来,再将样例数据代入测试也是对的,等成绩下来才发现这题没有全对,只得了一半的分。 这种解法为什么是错的呢? 错在哪里? 前面的分析好象也没错啊,难道这题不能用枚举法做吗? 看到这里大家可能有点迷惑了。 在上面的解法中,枚举范围和枚举对象都没有错,而是在验证枚举结果时,判定条件用错了。 因为要保留二位小数,所以求出来的解不一定是方程的精确根,再代入ax3+bx2+cx+d中,所得的结果也就不一定等于0,因此用原方程ax3+bx2+cx+d=0作为判断条件是不准确的。 我们换一个角度来思考问题,设f(x)=ax3+bx2+cx+d,若x为方程的根,则根据提示可知,必有f(x-0.005)*(x+0.005)<0,如果我们以此为枚举判定条件,问题就逆刃而解。 另外,如果f(x-0.005)=0,哪么就说明x-0.005是方程的根,这时根据四舍5入,方程的根也为x。 所以我们用(f(x-0.005)*f(x+0.005)<0)和(f(x-0.005)=0)作为判定条件。 为了程序设计的方便,我们设计一个函数f(x)计算ax3+bx2+cx+d的值,程序如下: {$N+} var k: integer; a,b,c,d,x: extended; functionf(x: extended): extended;{计算ax3+bx2+cx+d的值} begin f: =((a*x+b)*x+c)*x+d; end; begin read(a,b,c,d); fork: =-10000to10000do begin x: =k/100; if(f(x-0.005)*f(x+0.005)<0)or(f(x-0.005)=0)thenwrite(x: 0: 2,'');{若x两端的函数值异号或x-0.005刚好是方程的根,则确定x为方程的根} end; end. 用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大,解题效率不高,如果枚举范围太大(一般以不超过两百万次为限),在时间上就难以承受。 但枚举算法的思路简单,程序编写和调试方便,比赛时也容易想到,在竞赛中,时间是有限的,我们竞赛的最终目标就是求出问题解,因此,如果题目的规模不是很大,在规定的时间与空间限制内能够求出解,那么我们最好是采用枚举法,而不需太在意是否还有更快的算法,这样可以使你有更多的时间去解答其他难题。
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