中考数学新概念型问题专题复习.docx

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中考数学新概念型问题专题复习

中考数学新概念型问题专题复习

2013年中考数学专题讲座二：

新概念型问题

一、中考专题诠释

所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型“新概念”型问题成为近年中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力

二、解题策略和解法精讲

“新概念型专题”关键要把握两点：

一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．

三、中考典例剖析

考点一：

规律题型中的新概念

例1（2012•永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．

思路分析：

由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8．

解答：

解：

由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，

则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21，

故答案为：

21．

点评：

本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为2．

对应训练

1．（2012•自贡）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=-1，-1的差倒数为=，现已知x1=-，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2012=．

考点二：

运算题型中的新概念

例2（2012•菏泽）将4个数a，b，，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-b，上述记号就叫做2阶行列式．若=8，则x=．

思路分析：

根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．

解：

根据题意化简=8，得：

（x+1）2-（1-x）2=8，

整理得：

x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，

解得：

x=2．

故答案为：

2

点评：

此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：

完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．

对应训练

2．（2012•株洲）若（x1，1）•（x2，2）=x1x2+12，则（4，）•（6，8）=　　．

考点三：

探索题型中的新概念

例3（2012•南京）如图，A、B是⊙上的两个定点，P是⊙上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙的直径，则∠APB=　　°；

②若⊙的半径是1，AB=，求∠APB的度数；

（2）已知2是⊙1外一点，以2为圆心作一个圆与⊙1相交于A、B两点，∠APB是⊙1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙2于、N（点与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠AN、∠ANB之间的数量关系．

思路分析：

（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得∠AB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；

（2）根据点P在⊙1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠AN、∠ANB之间的数量关系．

解：

（1）①若AB是⊙的直径，则∠APB=90．

②如图，连接AB、A、B．

在△AB中，

∵A=B=1．AB=，

∴A2+B2=AB2．

∴∠AB=90°．

当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AB=4°；

当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AB）=13°…6分

（2）根据点P在⊙1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：

点P在⊙2外，且点A在点P与点之间，点B在点P与点N之间，如图①

∵∠AN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠AN﹣∠ANB；

第二种情况：

点P在⊙2外，且点A在点P与点之间，点N在点P与点B之间，如图②．

∵∠AN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB=∠AN+∠ANB﹣180°；

第三种情况：

点P在⊙2外，且点在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．

∵∠APB+∠ANB+∠AN=180°，

∴∠APB=180°﹣∠AN﹣∠ANB，

第四种情况：

点P在⊙2内，如图④，

∠APB=∠AN+∠ANB．点评：

综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．

对应训练

3．（2012•陕西）如果一条抛物线=ax2+bx+（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△AB是抛物线=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形ABD？

若存在，求出过、、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：

开放题型中的新概念

例4（2012•北京）在平面直角坐标系x中，对于任意两点P1（x1，1）与P2（x2，2）的“非常距离”，给出如下概念：

若|x1-x2|≥|1-2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；

若|x1-x2|＜|1-2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|1-2|．

例如：

点P1（1，2），点P2（3，），因为|1-3|＜|2-|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．

（1）已知点A（-，0），B为轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）已知是直线=x+3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点与点D的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；

②如图3，E是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点的坐标．思路分析：

（1）①根据点B位于轴上，可以设点B的坐标为（0，）．由“非常距离”的概念可以确定|0-|=2，据此可以求得的值；

②设点B的坐标为（0，）．因为|--0|≥|0-|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|--0|=；

（2）①设点的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|1-2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=x0+2，据此可以求得点的坐标；

②当点E在过原点且与直线=x+3垂直的直线上时，点与点E的“非常距离”最小，即E（-，）．解答思路同上．

解：

（1）①∵B为轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，）．

∵|--0|=≠2，

∴|0-|=2，

解得，=2或=-2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；

②点A与点B的“非常距离”的最小值为；

（2）①∵是直线=x+3上的一个动点，

∴设点的坐标为（x0，x0+3），

∴-x0=x0+2，

此时，x0=-，

∴点与点D的“非常距离”的最小值为：

，

此时（-，）；

②E（-，）．

--x0=x0+3-，

解得，x0=-，

则点的坐标为（-，），

最小值为1．

点评：

本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条．本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键．

对应训练

4．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：

1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=-，（-3）⊕=⊕（-3）=-，…

你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．

考点五：

阅读材料题型中的新概念

例（2012•常州）平面上有两条直线AB、D相交于点，且∠BD=10°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

（1）点的“距离坐标”为（0，0）；

（2）在直线D上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线D的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；

（3）到直线AB、D的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．

设为此平面上的点，其“距离坐标”为（，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

（1）画出图形（保留画图痕迹）：

①满足=1，且n=0的点的集合；

②满足=n的点的集合；

（2）若点在过点且与直线D垂直的直线l上，求与n所满足的关系式．（说明：

图中I长为一个单位长）思路分析：

（1）①以为圆心，以2为半径作圆，交D于两点，则此两点为所求；②分别作∠B和∠BD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；

（2）过作N⊥AB于N，根据已知得出=n，N=，求出∠N=60°，根据锐角三角函数得出sin60°==，求出即可．

解：

（1）①如图所示：

点1和2为所求；

②如图所示：

直线N和直线EF（除外）为所求；

（2）如图：

过作N⊥AB于N，

∵的“距离坐标”为（，n），

∴=n，N=，

∵∠BD=10°，直线l⊥D，

∴∠N=10°-90°=60°，

在Rt△N中，sin60°==，

即与n所满足的关系式是：

=n．

点评：

本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

对应训练

．（2012•钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，），若规定以下两种变换：

①f（x，）=（，x）．如f（2，3）=（3，2）；

②g（x，）=（-x，-），如g（2，3）=（-2，-3）．

按照以上变换有：

f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（　　）

A．（7，6）B．（7，-6）．（-7，6）D．（-7，-6）

四、中考真题演练

一、选择题

1．（2012•六盘水）概念：

f（a，b）=（b，a），g（，n）=（-，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-，6）]等于（　　）

A．（-6，）B．（-，-6）．（6，-）D．（-，6）

2．（2012•湘潭）设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（　　）

A．B．6．7D．8

点评：

本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．

3．（2012•丽水）小明用棋子摆放图形研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）A．2010B．2012．2014D．2016

二、填空题

4．（2012•常德）规定用符号[]表示一个实数的整数部分，例如：

[]=0，[314]=3．按此规定[]的值为　　．

．（2012•随州）概念：

平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线、的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（　　）

A．2B．1．4D．3

6．（2012•荆门）新概念：

[a，b]为一次函数=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+=1的解为．

7．（2012•自贡）如图，△AB是正三角形，曲线DEF叫做正三角形的渐开线，其中弧D、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、，如果AB=1，那么曲线DEF的长是．

8．（2012•泉州）在△AB中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△AB，使截得的三角形与△AB相似，我们不妨称这种直线为过点P的△AB的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．

（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△AB的相似线（其中l1⊥B，l2∥A），此外，还有条；

（2）如图②，∠=90°，∠B=30°，当=时，P（lx）截得的三角形面积为△AB面积的．三、解答题

9．（2012•铜仁地区）如图，概念：

在直角三角形AB中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作tanα，即tanα==，根据上述角的余切概念，解下列问题：

（1）tan30°=；

（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求tanA的值．

10．（2012•无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，1），P2（x2，2），我们把|x1-x2|+|1-2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．

（1）已知为坐标原点，动点P（x，）满足d（，P）=1，请写出x与之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条的点P所组成的图形；

（2）设P0（x0，0）是一定点，Q（x，）是直线=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线=ax+b的直角距离．试求点（2，1）到直线=x+2的直角距离．11．（2012•厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果点P在直线=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”．

（1）判断点（）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；

（2）若点Q（，n）是线段AB的“临近点”，求的取值范围．

12．（2012•兰州）如图，概念：

若双曲线=（＞0）与它的其中一条对称轴=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线=（＞0）的对径．

（1）求双曲线=的对径．

（2）若双曲线=（＞0）的对径是10，求的值．

（3）仿照上述概念，概念双曲线=（＜0）的对径．

13．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

概念：

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：

如图1，若PA=PB，则点P为△AB的准外心．

应用：

如图2，D为等边三角形AB的高，准外心P在高D上，且PD=AB，求∠APB的度数．

探究：

已知△AB为直角三角形，斜边B=，AB=3，准外心P在A边上，试探究PA的长．14．（2012•嘉兴）将△AB绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原的n倍，得△AB′′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△AB作变换[60°，]得△AB′′，则S△AB′′：

S△AB=；直线B与直线B′′所夹的锐角为度；

（2）如图②，△AB中，∠BA=30°，∠AB=90°，对△AB作变换[θ，n]得△AB’’，使点B、、′在同一直线上，且四边形ABB’’为矩形，求θ和n的值；

（3）如图③，△AB中，AB=A，∠BA=36°，B=l，对△AB作变换[θ，n]得△AB′′，使点B、、B′在同一直线上，且四边形ABB’’为平行四边形，求θ和n的值．1．（2012•台州）概念：

P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．

已知（0，0），A（4，0），B（，n），（+4，n）是平面直角坐标系中四点．

（1）根据上述概念，当=2，n=2时，如图1，线段B与线段A的距离是；当=，n=2时，如图2，线段B与线段A的距离（即线段AB长）为；

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段B与线段A的距离记为d，求d关于的函数解析式．

（3）当的值变化时，动线段B与线段A的距离始终为2，线段B的中点为，

①求出点随线段B运动所围成的封闭图形的周长；

②点D的坐标为（0，2），≥0，n≥0，作N⊥x轴，垂足为H，是否存在的值使以A、、H为顶点的三角形与△AD相似？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．专题讲座二：

新概念型问题参考答案

三、中考典例剖析

对应训练

1．

解：

∵x1=-，

∴x2==，x3==4，x4=，

∴差倒数为3个循环的数，

∵2012=670×3+2，

∴x2012=x2=，

故答案为：

．

2．64

解：

∵（x1，1）•（x2，2）=x1x2+12，

∴（4，）•（6，8）=4×6+×8=64，

故答案为64．

3．解：

（1）如图；

根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在、B的垂直平分线上，所以A=AB，即：

“抛物线三角形”必为等腰三角形．

故填：

等腰．

（2）∵抛物线=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

∴该抛物线的顶点（）满足（b＞0）．

∴b=2．

（3）存在．

如图，作△D与△AB关于原点中心对称，则四边形ABD为平行四边形．

当A=B时，平行四边形ABD是矩形，

又∵A=AB，

∴△AB为等边三角形．

作AE⊥B，垂足为E，

∴AE=E．

∴=•（b′＞0）．

∴b′=2．

∴A（，3），B（2，0）．

∴（-，-3），D（-2，0）．

设过点、、D的抛物线为=x2+nx，则

，

解得．

故所求抛物线的表达式为=x2+2x．

4．解：

根据题意可得：

1⊕2=2⊕1=3=，

（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=-=，

（-3）⊕=⊕（-3）=-=，

则a⊕b==．

故答案为：

．

．

解：

∵f（-6，7）=（7，-6），

∴g（f（-6，7））=g（7，-6）=（-7，6）．

故选．

四、中考真题演练

一、选择题

1．A

2．B．

3．D

解：

∵3，6，9，12，…称为三角形数，

∴三角数都是3的倍数，

∵4，8，12，16，…称为正方形数，

∴正方形数都是4的倍数，

∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，

∵2010÷12=167…6，

2012÷12=167…8，

2014÷12=167…10，

2016÷12=168，

∴2016既是三角形数又是正方形数．

故选D．

二、填空题

4．4

解：

∵3＜＜4，

∴3+1＜+1＜4+1，

∴4＜+1＜，

∴[+1]=4，

故答案为：

4．

．

解：

如图所示，所求的点有4个，故选．

6．x=3

解：

根据题意可得：

=x+-2，

∵“关联数”[1，-2]的一次函数是正比例函数，

∴-2=0，

解得：

=2，

则关于x的方程+=1变为+=1，

解得：

x=3，

检验：

把x=3代入最简公分母2（x-1）=4≠0，

故x=3是原分式方程的解，

故答案为：

x=3．

7．4π

解：

弧D的长是=，

弧DE的长是：

=，

弧EF的长是：

=2π，

则曲线DEF的长是：

++2π=4π．

故答案是：

4π．

8．

（1）1；

（2）或或

解：

（1）存在另外1条相似线．

如图1所示，过点P作l3∥B交A于Q，则△APQ∽△AB；

故答案为：

1；

（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△AB，则相似比为1：

2．

如图2所示，共有4条相似线：

①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥A，∴=；

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥A，∴=；

③第3条l3，此时BP与B为对应边，且=，∴==；

④第4条l4，此时AP与A为对应边，且=，∴，

∴=．

故答案为：

或或．

三、解答题

9．解：

（1）∵Rt△AB中，α=30°，

∴B=AB，

∴A===AB，

∴tan30°==．

故答案为：

；

（2）∵tanA=，

∴设B=3，A=4，则AB=，

∴tanA==．

10．解：

（1）由题意，得|x|+||=1，

所有符合条的点P组成的图形如图所示。

（2）∵d（，Q）=|x-2|+|-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，

又∵x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3．

∴点（2，1）到直线=x+2的直角距离为3。

11．解：

（1）点（）是线段AB的“临近点”．理由是：

∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，

∴AB∥x轴，3-1=2，3+1=4，

∴当纵坐标在2＜＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，点的坐标是（），

∴=＞2，且小于4，

∵（）在直线=x-1上，

∴点（）是线段AB的“临近点”．

（2）由

（1）知：

线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜＜4，

把=2代入=x-1得：

x=3，

把=4代入=x-1得：

x=，

∴3＜x＜，

∵点Q（，n）是线段AB的“临近点”，

∴的取值范围是3＜＜．

12．解：

过A点作A⊥x轴于，如图，

（1）解方程组，得，，

∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），

∴=A=1，

∴A==，

∴AB=2A=2，

∴双曲线=的对径是2；

（2）∵双曲线的对径为10，即AB=10，A=，

∴A==A，

∴=A=，

∴点A坐标为（，），

把A（，）代入双曲线=（＞0）得=×=2，

即的值为2；

（3）若双曲线=（＜0）与它的其中一条对称轴=-x相交于A、B两点，

则线段AB的长称为双曲线=（＜0）的对径．

13．解：

①若PB=P，连接PB，则∠PB=∠PB，

∵D为等边三角形的高，

∴AD=BD，∠PB=30°，

∴∠PBD=∠PB=30°，

∴PD=DB=AB，

与已知PD=AB矛盾，∴PB≠P，

②若PA=P，连接PA，同理可得PA≠P，

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，

∴∠APD=4°，

故∠APB=90°；

探究：

解：

∵B=，AB=3，

∴A===4，

①若PB=P，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，

∴x=，即PA=，

②若PA=P，则PA=2，

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或．

14．解：

（1）根据题意得：

△AB∽△AB′′，

∴S△AB′′：

S△AB=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，

∵∠ANB=∠B′N，