中考导练讲义第6讲一元二次方程.docx

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中考导练讲义第6讲一元二次方程

第6讲一元二次方程

【章节知识清单】

知识点一：

一元二次方程及其解法

关键点拨及对应举例

1.一元二次方程的相关概念

（1）定义：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．

（2）一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

例：

方程

是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.

2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，可直接开平方求解.

（2）因式分解法：

可化为（ax+m）（bx+n）=0的方程，用因式分解法求解.

（3）公式法:

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=

（b2-4ac≥0）.

（4）配方法：

当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.

例：

把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式后，h=-3,k=6.

知识点二：

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

3.根的判别式

（1）当Δ＝

>0时，原方程有两个不相等的实数根．

（2）当Δ＝

=0时，原方程有两个相等的实数根．

（3）当Δ＝

<0时，原方程没有实数根．

例：

方程

的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程

的判别式等于－8，故该方程没有实数根.

*4.根与系数的关系

（1）基本关系：

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.

（2）解题策略：

已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.

与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1,x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2,

等.

失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.

知识点三：

一元二次方程的应用

4.列一元二次方程解应用题

（1）解题步骤：

①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

（2）应用模型：

一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率（降低率）问题：

公式：

b＝a（1±x）n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；

②利润问题：

利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

③传播、比赛问题：

④面积问题：

a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

【章节典例解析】

【例题1】若|x2﹣4x+4|与

互为相反数，则x+y的值为（　　）

A．3B．4C．6D．9

【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+

=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．

【解答】解：

根据题意得|x2﹣4x+4|+

=0，

所以|x2﹣4x+4|=0，

=0，

即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，

所以x=2，y=1，

所以x+y=3．

故选A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．

【例题2】（2017•黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为　10%　．

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，再根据题意列出方程解答即可．

【解答】解：

设这两次的百分率是x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）2=81，

解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．

答：

这两次的百分率是10%．

故答案为：

10%．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

【例题3】（2017湖北荆州）规定：

如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：

①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；

②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；

③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；

④若点（m，n）在反比例函数y=

的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．

上述结论中正确的有（　　）

A．①②B．③④C．②③D．②④

【考点】G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；AA：

根的判别式；AB：

根与系数的关系；HA：

抛物线与x轴的交点．

【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；

②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；

③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；

④若点（m，n）在反比例函数y=

的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；

【解答】解：

①由x2﹣2x﹣8=0，得

（x﹣4）（x+2）=0，

解得x1=4，x2=﹣2，

∵x1≠2x2，或x2≠2x1，

∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．

故①错误；

②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，

∴设x2=2x1，

∴x1•x2=2x12=2，

∴x1=±1，

当x1=1时，x2=2，

当x1=﹣1时，x2=﹣2，

∴x1+x2=﹣a=±3，

∴a=±3，故②正确；

③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，

∴x2=2x1，

∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，

∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），

故③正确；

④∵点（m，n）在反比例函数y=

的图象上，

∴mn=4，

解mx2+5x+n=0得x1=﹣

，x2=﹣

，

∴x2=4x1，

∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；

故选C．

【例题4】（2017绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．

【考点】AA：

根的判别式；AB：

根与系数的关系；L8：

菱形的性质．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；

（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．

【解答】解：

（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，

∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，

解得：

m＞﹣

．

∴当m＞﹣

时，方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两根分别为a、b，

根据题意得：

a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．

∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，

解得：

m=﹣4或m=2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b=﹣2m﹣1＞0，

∴m=﹣4．

若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．

【例题5】（2017山东烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】

（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．

【解答】解：

（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，

根据题意得：

200×（1﹣x）2=162，

解得：

x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．

答：

2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．

（2）100×

=

≈90.91（个），

在A商城需要的费用为162×91=14742（元），

在B商城需要的费用为162×100×

=14580（元）．

14742＞14580．

答：

去B商场购买足球更优惠．

【章节典例习题】

1.（2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．0B．﹣1C．2D．﹣3

2.（2017•乐山）已知x+

=3，则下列三个等式：

①x2+

=7，②x﹣

，③2x2﹣6x=﹣2中，正确的个数有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

3.（2017贵州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则

+

的值为（　　）

A．2B．﹣1C．

D．﹣2

4.（2017湖南岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2

，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．

5.（2017四川眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

6.（2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

7.（2017湖北宜昌）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．

2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：

2．

（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？

（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？

（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．

【章节典例习题】参考答案

1.（2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．0B．﹣1C．2D．﹣3

【考点】AA：

根的判别式．

【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．

【解答】解：

∵a=1，b=m，c=1，

∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，

∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，

∴m2﹣4＞0，

则m的值可以是：

﹣3，

故选：

D．

2.（2017•乐山）已知x+

=3，则下列三个等式：

①x2+

=7，②x﹣

，③2x2﹣6x=﹣2中，正确的个数有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【考点】4C：

完全平方公式；6C：

分式的混合运算．

【分析】将x+

=3两边同时平方，然后通过恒等变形可对①作出判断，由x﹣

=±

可对②作出判断，方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x，然后再通过恒等变形可对③作出判断．

【解答】解：

∵x+

=3，

∴（x+

）2=9，整理得：

x2+

=7，故①正确．

x﹣

=±

=±

，故②错误．

方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x得：

x﹣3=﹣

，整理得：

x+

=3，故③正确．

故选：

C．

【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

3.（2017贵州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则

+

的值为（　　）

A．2B．﹣1C．

D．﹣2

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到

+

=

，然后利用整体代入的方法计算

【解答】解：

根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，

所以

+

=

=

=﹣2．

故选D．

4.（2017湖南岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2

，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．

【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，

∴△=16﹣4b=0，

∴AC=b=4，

∵BC=2，AB=2

，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，

∴AC边上的中线长=

AC=2；

故答案为：

2．

【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．

5.（2017四川眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】

（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．

答：

此批次蛋糕属第3档次产品．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意得：

（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，

整理得：

x2﹣16x+55=0，

解得：

x1=5，x2=11．

答：

该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品．

6.（2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【考点】AD：

一元二次方程的应用；B7：

分式方程的应用．

【分析】

（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，

根据题意得：

=

，

解得：

x=35，

经检验，x=35是原方程的解．

答：

2014年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）设年增长率为m，

2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．

根据题意得：

（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，

解得：

a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

年增长率为20%．

7.（2017湖北宜昌）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．

2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：

2．

（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？

（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？

（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．

【考点】AD：

一元二次方程的应用；B7：

分式方程的应用．

【分析】

（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：

2，可得答案．

（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．

（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．

【解答】解：

（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×

=36（亿元）；

（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，

根据题意，得：

，

解得：

，

∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；

（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，

设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，

由题意，得：

20（1﹣y）2=5，

解得：

y1=0.5，y2=1.5（舍）

答：

搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．