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填数游戏
填数游戏
数字谜是是一种数学的猜谜游戏,它通常给出某个算术运算式子,且式中含有一些文字、字母或者符号表示特定的数字,要求我们根据运算性质、法则和分析、推理的方法,判断和确定文字、字母或符号所代表的数字。
常见方法:
实验法、列举筛选法、逆推、反证等。
注意:
1.尽可能多的找出各种条件;
2.学会运用估值的方法,以缩小搜索范围。
一、添运算符号和括号
例1填上运算符号或(),使等式成立,可将几个数字排列成一个多位数。
98-7654321=20
试一试:
(1)888888888888888=1989
(2)在每一个数前添上“+”、“-”使等式成立。
987654321=21
例2在下式中填上适当的括号,使计算结果符合要求:
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8
试一试:
在下列方框中填入×或÷,有种不同的填法。
9□8□7□6□5□4□3□2□1=
例3二十四点游戏:
有四个自然数2,4,6,8,将这四个数(每个数只能用一次)进行适当组合,只能用加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24。
(方法越多越好)
2×6+4+8;(8÷4+2)×6;8÷4×2×6;6×8÷(4-2);(6+8)×2-4
(2+6)×4-8;
打擂:
一级3,3,3,74,4,4,13,3,3,1
二级2,4,6,36,6,6,210,10,4,4
三级5,5,5,13,3,7,73,3,8,8
二、在算式中填数之试验与列举筛选法
例1将1~9填入框内,使下面的三个等式成立。
□+□=□
□-□=□
□×□=□
分析:
由三式一个数分解成另两个数的乘积,只有两种可能:
2×3=6,2×4=8,又由和、差的奇偶性知1,2式中要么不出现奇数,要么出现2个奇数。
但在1-9中有5个奇数,所以3式应出现1个奇数。
因此,3式应为2×3=6,剩下的问题是将剩下的数分成两组,使每组中的两数之和等于第三个数。
试一试:
将0~9填入框内,使下面的三个等式成立。
□+□=□
□-□=□
□×□=□□
例2将右边竖式中的字母换成数字,相同的字母换成相同的数字,不同的字母换成不同的数字,并且使算式成立。
方法1:
方法2:
练习
(1)将下面算式中的字母换成数字,相同的字母换成相同的数字,不同的字母换成不同的数字,并且使算式成立。
(2)
(3)
(4)在下面的乘法算式中,1到9这9个数字各出现一次。
试填出□的数字:
□×1□□□=□□52
分析:
被乘数的百位数应该≥3,乘数≤7,乘数只能是3,4,6,7。
就这四个值分别试算,知3,6,7均无解,答案为1963×4=7852,1738×4=6952
例3一个四位数使一个平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同,求这个四位数。
分析:
设所求的数是。
注意平方数的特征,
补充练习,
(1)付钱的问题:
甲和乙合伙买一件东西,甲付10元钱,一付10元钱,甲付10元钱,一付10元钱,……当甲付完10员钱时,乙付的不足10元钱,总价是一个完全平方数,乙应该付给甲多少钱,两人付的钱一样多?
(2)拉灯的问题:
设有编号为1、2、3…,100盏电灯,各有一下拉线开关控制着,开始时都是闭合状态,现有100个学生,第一个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,把号码是2的倍数的开关拉一下,第n个学生进来,把号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把号码是100的倍数的开关拉一下,直到最后。
请问:
还有多少盏灯是亮着的?
例4在方框中填入适当的数,使等式成立。
2001×□□□□=2□0□0□1
分析:
容易得出乘数的千位和个位为1,百位和十位分别设为a、b。
借助下图可知b等于0或5。
试一试:
P65在方框中填入适当的数,使等式成立。
2004×□□□□=2□0□0□4
两组解:
2004×1001=2006004;2004×1251=2507004
例5在1-13这13个自然数中,选12个填写在空格中,使得每横行四个数的和都相等,每竖列三个数的和也相等。
共有多少种不同的填法?
分析:
因为所选的12个数的和既是3的倍数,又是4的倍数,所以必然12的倍数。
,12的倍数中比91略小的数是84,91-84=7,所以没有7。
先考虑列:
84÷4=21,找出所有和为21的三个数的组合:
逐一实验;然后考虑行:
84÷3=28
结果为:
4!
×3!
=144种不同的填法。
三、数独游戏
数独,是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。
传统的数独游戏是将一个大正方形划成3×3的九个九宫格,每个九宫格又由3行3列共9个小方格构成,这样整个大正方形形成一个9×9的方格群。
在这个大正方形内填满1-9的数字,要求大正方形每一行、每一列及每个九宫格内均必须包括1到9的每一个数字,既不能遗漏也不能重复。
如
初级:
9
5
3
6
8
2
6
4
3
1
2
9
5
6
7
8
1
2
3
5
2
7
8
4
3
7
9
5
1
4
6
3
5
9
3
6
8
4
2
3
7
5
8
2
3
9
6
9
5
1
2
4
9
5
1
6
4
2
3
3
2
9
5
7
3
6
8
5
1
3
9
5
1
6
1
9
3
1
9
7
2
5
6
5
2
6
9
1
5
4
1
7
3
5
2
1
5
7
9
6
3
7
4
5
1
8
9
7
5
4
2
6
7
8
3
2
3
8
2
6
7
中级:
1能放在哪里?
考虑这上面三个九宫格,看看能否决定1的位置
红色格子能放2和3,在左上九宫格里,能放1的只有红色与棕色格子,但红色格子将会被2和3所占据,所以能确定棕色格子必然为1。
看看左上方九宫格里,能否由些微线索决定1的位置
直观法:
(1)单元唯一法
(2)单元排除法:
在某一单元(即行,列或区块)中找到能填入某一数字的唯一位置,换句话说,就是把单元中其他的空白位置都排除掉。
观察数字9在谜题中的位置,可以看到它出现在[B2],[A4],[C7],[D8],[I1]和[H9]。
(3)区块排除法
虽然我们无法确定2在起始于[G1]的区块中的确定位置,但幸运的是,能填入2的位置正好都在行I上,也就是说,无论2在[I1]还是在[I3],行I的其他单元格中将不可能再出现数字2,所以可以毫不犹豫地排除在[I5]填入2的可能性,这样,对于起始于[G4]的区块而言,能填入数字2的位置就只剩下[H6]了。
所以[H6]=2。
接下来,当然毫无疑问,利用单元唯一法,在[I5]填入数字1。
在行C上,数字3的位置可以通过下面的方法来确定:
先看行B,利用单元排除法,通过[H2]和[F3]位置上的3进行列排除,得到行B中能填入3的位置为[B4]和[B5]。
碰巧的是,这两个单元格都在起始于[A4]的区块中,这时已经满足了上述情况3的条件。
利用单元排除法的区块排除,则行C上的[C4]和[C5]都不能再填入3;再加上[F3]的列排除的共同努力,最终确定数字3在行C上的唯一位置就是[C1]。
要想求得数字8在第6列的位置,就必须要借助区块排除法。
先看第4列,通过位于[C3]和[I8]的数字8的行排除,使8在第4列可能填入的位置只剩下[D4]和[F4],而这两个单元格正好都在起始于[D4]的区块中。
因为第4列不能没有数字8,而数字8如果填在区块中的其他位置(如[D6],[E6]或[F6])时将迫使[D4]和[F4]上不能再填入8,这样会导致第4列没有数字8。
因此,第6列中的[D6],[E6]和[F6]能填入数字8的可能性被排除。
这样第6列中就只剩下[B6]能填入8了。
你能确定数字3在起始于[A1]的区块中的位置吗?
先看位于[C5]的数字3,它不仅排除了同一行中[C1]和[C3]中填入3的可能性,也同时排除了同一行中[C8]和[C9]填入3的可能性,这使得在起始于[A7]的区块中,能填入3的位置只剩下[B8]和[B9]
利用区块排除法,在起始于[A7]的区块中,无论3在[B8]还是[B9],行B中的其他位置都不能再填入3,所以[B1],[B2]和[B3]都被排除。
于是,在起始于[A1]的区块中,能填入3的位置仅剩下[A1]和[A2]了。
但至此我们还无法确定3的准确位置,这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。
观察起始于[D1]的区块,利用[D7]位置上的3排除同一行的[D1],以及用[G3]位置上的3排除同一列的[E3]和[F3],使区块中可能填入3的位置只余[E2]和[F2],刚好这两个位置都在第2列中,符合上面介绍的第2种情况,于是可以把[A2]也排除掉。
最后,我们就可以很肯定地在[A1]中填入数字3了。
这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。
在实际使用中虽然这种情况并不常见,但却也不少见。
关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。
相信通过大量的练习并勤于分析思考,这种方法就可以运用自如,得心应手。
(4)唯一余数法
对于单元格[G9]应该填入什么数字,就算你把前面介绍的所有直观技法都用上,也不得而知。
然而,我们通过观察它所在的行,列和区块,可以发现除了数字2以外,1到9中其他的数字都出现了,其中行G中包含了7,6,9,5,3和8,第9列中包含了数字5,8,7和1,起始于[G7]的单元格中包含了3,8,4,7,5和1。
这样,如果[G9]不填入数字2,就一定会违反游戏“行,列或区块不能出现重复数字”的规则。
所以[G9]中的数字一定是2
你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗?
[E6]=9
[I7]=9
5.组合排除法
组合排除法和区块排除法一样,都是直观法中进阶的技法,但它的应用范围要更小一点。
一般情况下,基本没有机会用到这种方法解题,所以要找到相应的例子也都很困难。
当然,如果你希望优先以这个技法来解题的话,还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。
组合排除法,顾名思义,要考虑到某种组合。
这里的组
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