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凯迪数学1011
2015-2016学年浙江省宁波市北仑区长江中学九年级(上)月考
数学试卷
一、选择题(每题3分)
1.与y=2(x﹣1)2+3形状相同的抛物线解析式为( )
A.y=1+x2B.y=(2x+1)2C.y=(x﹣1)2D.y=2x2
2.将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位,得到函数y=x2﹣3x+2的图象,则a的值为( )
A.1B.2C.3D.4
3.根据下表中关于二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断二次函数的图象与x轴( )
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣2
…
A.只有一个交点
B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧
C.有两个交点,且它们均在y轴同侧
D.无交点
4.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
A.B.C.D.
5.一个密码锁有五位数字组成,每一位数字都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之中的一个,小明只记得其中的三个数字,则他一次就能打开锁的概率为( )
A.B.C.D.
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定
7.图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y=x2
8.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( )
A.h=mB.k=nC.k>nD.h>0,k>0
9.已知二次函数y=x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1),当b从﹣1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( )
A.先往左上方移动,再往左下方移动
B.先往左下方移动,再往左上方移动
C.先往右上方移动,再往右下方移动
D.先往右下方移动,再往右上方移动
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:
①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③⑤B.①③④C.①②③④D.①②③④⑤
二、填空题(每题3分)
11.抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是 .
12.抛物线y=2x2+4x的对称轴为 .
13.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O(0,0)对称的图象的解析式是 .
14.在﹣1,1,2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标,过P点画双曲线,该双曲线位于第一、三象限的概率是 .
15.已知二次函数y=(x﹣2a)2+(a﹣1)(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=﹣1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y= .
16.二次函数的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A2008在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2008在二次函数位于第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2007B2008A2008都为等边三角形,则△A2007B2008A2008的边长= .
三、解答题
17.已知一抛物线与x轴的交点是A(﹣2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:
当y>0时x的取值范围.
19.在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸取出一张纸牌然后放回,再随机摸取出一张纸牌,
(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率;
(2)甲、乙两个人进行游戏,如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数,则甲胜;如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数,则乙胜.这是个公平的游戏吗?
请说明理由.
20.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:
如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大?
每星期的最大利润是多少?
21.如图,平行四边形ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A,B.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.
22.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
23.已知:
如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?
若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
24.已知抛物线y=kx2+2kx﹣3k,交x轴于A、B两点(A在B的左边),交y轴于C点,且y有最大值4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△PBC是直角三角形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
2014-2015学年浙江省宁波市北仑区长江中学九年级(上)月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分)
1.与y=2(x﹣1)2+3形状相同的抛物线解析式为( )
A.y=1+x2B.y=(2x+1)2C.y=(x﹣1)2D.y=2x2
考点:
待定系数法求二次函数解析式.
分析:
抛物线的形状只是与a有关,a相等,形状就相同.
解答:
解:
y=2(x﹣1)2+3中,a=2.
故选D.
点评:
本题考查抛物线的形状与a的关系,比较简单.
2.将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位,得到函数y=x2﹣3x+2的图象,则a的值为( )
A.1B.2C.3D.4
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
压轴题.
分析:
把两个函数都化为顶点坐标式,按照“左加右减,上加下减”的规律,对比一下确定a的值.
解答:
解:
y=x2+x=(x+)2﹣.y=x2﹣3x+2=(x﹣)2﹣.所以a==2.
故选B.
点评:
此题不仅考查了对平移的理解,同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力.
3.根据下表中关于二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断二次函数的图象与x轴( )
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣2
…
A.只有一个交点
B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧
C.有两个交点,且它们均在y轴同侧
D.无交点
考点:
抛物线与x轴的交点.
专题:
数形结合.
分析:
利用二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值.
解答:
解:
根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可以发现当x=0,x=2时,y的值都等于﹣<0,
又根据二次函数的图象对称性可得:
x=1是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴,此时y有最小值﹣2,
再根据表中的数据,可以判断出y=0时,x<﹣1或x>2,
因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.
故选B.
点评:
本题难度中等,考查二次函数与一元二次方程的关系.解决本题时能够画出图形,利用图象理解起来更为方便,数形结合是数学上一种重要的方法思想.
4.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
A.B.C.D.
考点:
二次函数的图象;一次函数的图象.
分析:
根据a的符号,分类讨论,结合两函数图象相交于(0,1),逐一排除;
解答:
解:
当a>0时,函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象开口向上,函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限,故可排除D;
当a<0时,函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象开口向下,函数y=ax+1的图象应在一二四象限,故可排除B;
当x=0时,两个函数的值都为1,故两函数图象应相交于(0,1),可排除A.
正确的只有C.
故选C.
点评:
应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:
开口方向、对称轴、顶点坐标等.
5.一个密码锁有五位数字组成,每一位数字都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之中的一个,小明只记得其中的三个数字,则他一次就能打开锁的概率为( )
A.B.C.D.
考点:
概率公式.
分析:
密码锁有五位数字组成,每一位数字都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之中的一个,密码共100000种情况,小明只记得其中的三个数字,即有2个数字不准确共1000种情况;则他一次就能打开锁的概率为=.
解答:
解:
P(一次开锁)==.
故选D.
点评:
此题考查概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定
考点:
二次函数图象上点的坐标特征.
专题:
压轴题.
分析:
利用二次函数的性质即可解答.
解答:
解:
从题中给出的图象可以看出,对称轴为直线x=﹣3,a<0,
又点A、B位于对称轴右侧,y随x的增大而减小,
则y1>y2.
故选C.
点评:
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,学会比较图象上点的坐标的大小.
7.图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y=x2
考点:
根据实际问题列二次函数关系式.
专题:
压轴题.
分析:
由图中可以看出,所求抛物线的顶点在
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