图形与坐标历元 赵晓阳.docx
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图形与坐标历元赵晓阳
《图形与坐标》复习指导
基础盘点
1、平面直角坐标系
(1)在平面内画出两条互相垂直且有公共点的数轴,的一条叫做x轴或横轴,规定的方向为正方向,的一条叫做y轴或纵轴,规定的方向为正方向,这就构成了平面直角坐标系,简称。
在直角坐标系中,x轴与y轴统称为,它们的公共原点叫做,简称,一般用表示。
建立了的平面叫做坐标平面。
(2)在坐标平面内,x轴和y轴把平面分为四个部分:
位于原点右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按方向依次叫做、、和。
(3)坐标平面内的点与一一对应。
温馨提示:
坐标轴上的点不不属于任何象限。
2、平面直角坐标系中点的坐标特点
坐标轴上的点P(x,y)
连线平行与坐标轴的点
P(x,y)在各象限的点的特点
象限角平分线上的点
X轴
Y轴
原点
平行于x轴
平行于y轴
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
一三象限
二四象限
(x,0)
(0,y)
(0,0)
纵坐标相同
横坐标相同
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
(m,m)
(m,-m)
3.点的对称:
关于X轴对称:
横坐标不变,纵坐标互为相反数。
关于Y轴对称:
横坐标互为相反数,纵坐标不变。
关于原点对称:
横、纵坐标均互为相反数
温馨提示:
借助直角坐标系,数形结合,有助于加强记忆。
4.图形平移时点的坐标变化
上下平移:
横坐标不变,纵坐标上加下减;
左右平移:
纵坐标不变,横坐标右加左减。
5.函数的三种表示方法:
列表法、法、法
6、画函数图像的一般步骤:
、、。
7.一次函数的概念:
函数y=_______(k、b为常数,k______)叫做一次函数。
当b_____时,函数y=____(k____)叫做正比例函数.
温馨提示:
理解一次函数概念应注意下面两点:
(1)解析式中自变量x的一次整式。
⑵、比例系数k≠0.
8.一次函数的图像与性质:
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点(_____),(______)的_________.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,___),(_______,0)的__________.
(3)正比例函数y=kx(k≠0)的性质:
当k>0时,图象过______象限;y随x的增大而____.
当k<0时,图象过______象限;y随x的增大而____.
(4)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:
当k>0时,y随x的增大而_________。
当k<0时,y随x的增大而_________。
根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号:
考点呈现:
一.平面直角坐标系知识
1.建立直角坐标系,确定点的坐标。
例1.(2011湖南怀化,8,3分)如图,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“帥”位于点(-1,-2),“馬”位于点(2,-2),则“兵”位于点
A.(-1,1)B.(-2,-1)C.(-3,1)D.(1,-2)
分析:
由“帥”位于点(-1,-2),“馬”位于点(2,-2)可知,“炮”所在位置是坐标原点,可因此以“炮”所在的水平直线为x轴,垂直直线为y轴,建立直角坐标系,可确定“兵”的坐标。
解:
C.
点评:
解决此类题的关键是根据已知点的位置确定两坐标轴,建立直角坐标系。
2.各象限中点的坐标特点
例2.若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2,n+1)在第象限。
分析:
x轴上所有点的纵坐标是0,所以n=0,n-2=-2,n+1=1,所以B在第二象限。
解:
二
点评:
根据平面直角坐标系中各象限内点的特点求出字母的取值,然后进行应用。
牢记直角坐标系中各个位置的点的特点是解决问题的前提。
例3.(2011山东枣庄,4,3分)在平面直角坐标系中,点P(-2,+1)所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
分析:
因为-2<0,x2+1>0,所以点P在第二象限。
解:
B.
点评:
此题考查平面直角坐标系中各象限内点的特点,解决关键是牢记各象限横纵坐标的符号。
3.点的对称
例4.(2011广东肇庆,6,3分)点(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是
A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,-2)
分析:
关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标变为相反数。
所以选A.
解:
A.
点评:
本题考查一个点关于坐标轴对称,关键是数形结合,总结规律,并正确运用。
例5.(2011重庆江津,20,4分)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中(0,0),B(8,0),C(0,4,)若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处,则E点的坐标是__________.
分析:
设AE与DC的交点为F,则△ADF≌△CDF,则AF=CF。
设AF=CF=x,则DF=8-X,利用勾股定理可求出AF=CF=5,CF=3.过E点作EH⊥y轴,利用相似,可求得AH、EH的值即E点的坐标。
解:
点评:
(1)求点的坐标要向坐标轴作垂线段;
(2)解题时要注意对折前后对应线段、对应角的应用。
4.点的平移:
例6.(2011江苏宿迁,14,3分)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,0)、B(0,2),现将线段AB向右平移,使A与坐标原点O重合,则B平移后的坐标是.
分析:
由A(4,0)平移到原点(0,0)可知,是将线段AB向左平移4个单位,左右平移时横坐标左减右加,纵坐标不变,所以B(0,2)平移后的坐标是(-4,2).
解:
(-4,2)
点评:
因为平移前后两个图形上所有点的变化规律是相同的,所以要通过图形上某一点的变化规律得到整个图形的变化规律,进而求出相应点平移以后的坐标。
5.点的旋转问题:
例7.(2011湖北宜昌,13,3分)如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形OABC绕点0旋转180°,旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为().
A.(2,1)B.(-2,l)C.(-2,-l)D.(2,-1)
分析:
将矩形OABC绕点0旋转180°后,B点也绕原点旋转了1800,所以,点B与点B1关于原点对称。
解:
C.
点评:
此题考查点旋转后坐标变化,做题时应数形结合,具体分析对应点的位置。
6.在方格纸中对图形进行变换。
例8.(2011湖南永州,19,6分)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(,5),(,3).
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
⑶写出点B′的坐标.
分析:
根据已知点的坐标可确定直角坐标系,找出对称点的位置,进而确定对应点的坐标
解:
⑴⑵如图,⑶B′(2,1)
点评:
此类题并不困难,仔细审题,理解题意是解决关键。
7.平面直角坐标系中的探索规律问题。
例9.(2011四川内江,加试4,6分)在直角坐标系中,正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数的图像上,点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上。
若点B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),则点An的坐标为
分析:
本题根据图形,可以分析出A1(0,1),A2(1,2),A3(3,4),A4(7,8),,根据这些点可推出An点的坐标。
解:
(,)
点评:
此题为猜想题,解决这一类题的一般步骤是:
(1)观察:
摘录观察的对象
(2)分析:
分析各数据之间的数量关系(3)对比:
在分析各数据的情况下,找出各数据之间的区别和联系,为归纳做准备(4)归纳:
将观察、分析、对比所得出的结论用文字或数学式子表示出来。
这种数学方法叫从特殊到一般的思想方法。
8.开放题
例10.(2011浙江台州,15,5分)若点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,则称点P为“和谐点”。
请写出一个“和谐点”的坐标,答:
。
分析:
可采用取特殊值的方法确定x的值,根据要求求出y值,得到答案。
解:
答案不唯一。
如(2,2)等。
点评:
开放题关键是审清题意,满足要求即可。
9.阅读应用
例11.(2011贵州贵阳,24,10分)
【阅读】
在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(,).
【运用】
(1)如图,矩形ONEF的对角线交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为______;(4分)
(2)在直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.(6分)
分析:
第一小题直接应用中点坐标公式,第二题有三种情况,注意要分类讨论。
解:
(1)∵四边形ONEF是矩形,
∴点M是OE的中点.
∵O(0,0),E(4,3),
∴点M的坐标为(2,).
(2)设点D的坐标为(x,y).
若以AB为对角线,AC,BC为邻边构成平行四边形,则AB,CD的中点重合
∴,解得,.
若以BC为对角线,AB,AC为邻边构成平行四边形,则AD,BC的中点重合
∴,解得,.
若以AC为对角线,AB,BC为邻边构成平行四边形,则BD,AC的中点重合
∴,解得,.
综上可知,点D的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).
点评:
此类题综合考查阅读理解能力及应用能力,审清题意,明确结论的理论依据,并能正确应用结论是解题的关键。
二、函数图象
1.类型一整理信息、识别图像
例12(2011山东临沂,14,3分)甲、乙两个同学从400m环形跑道上的同一点出发,同向而行,甲的速度为6m/s,乙的速度为4m/s.设经过x(单位:
s)后,跑道上此两人间的较短部分的长度为y(单位:
m),则y与x(0≤x≤300)之间函数关系可用图像表示为()
ABCD
分析:
由于相向而行,且二人速度差为6﹣4=2m/s,二人间最长距离为200米,最短距离为0,据此即可进行推理.二人速度差为6﹣4=2m/s,100秒时,二人相距2×100=200米,200秒时,二人相距2×200=400米,较短部分的长度为0,300秒时,二人相距2×300=600米,即甲超过乙600﹣400=200米.由于y=2x或y=400﹣2x,函数图象为直线(线段).故选C.
解:
C
点评:
本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.
例13.(2011湖南永州,14,3分)如图所示,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是()
分析:
根据直线的运动路径找到长度变化的几个关键点,在B点时,EF的长为0,然后逐渐增大,到A点长度最大,一直保持到C点长度不变,然后逐渐减小,直到D点长为0,据此可以得到函数的图象.
解A
点评:
本题考查了动点问题的函数图象,注意分析y随x的变化而变化的趋势,而不一定要通过求解析式来解决.
2.类型二观察图象、判断信息
例14.(2011山东潍坊,8,3分)在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力
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- 图形与坐标历元 赵晓阳 图形 坐标