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类型三 全称命题与特称命题
(1)已知命题p:
∀x>0,总有(x+1)ex>1,则綈p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)
≤1
B.∃x0>0,使得(x0+1)
≤1
C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
解:
全称命题的否定是特称命题.故选B.
(2)已知“命题p:
∃x0∈R,ax
+2x0+1<0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[0,1)B.(-∞,1)
C.[1,+∞)D.(-∞,1]
解法一:
当a=0时,2x+1<0,可得x<-
,此时命题p为真;当a≠0时,要使命题p为真,只要Δ=4-4a>0,即a<1且a≠0即可.综上可知,a<1.
解法二:
命题p的否定是“∀x∈R,ax2+2x+1≥0”.当a=0时,显然命题綈p为假;当a≠0时,命题綈p为真的充要条件是a>0且Δ=4-4a≤0,即a≥1.故綈p为真时,a的取值范围为A=[1,+∞),故p为真时,a的取值范围为∁RA=(-∞,1).故选B.
点拨:
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
常见命题及其否定形式:
命题
否定
p
綈p
p∨q
(綈p)∧(綈q)
p∧q
(綈p)∨(綈q)
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
(1)设命题p:
∀平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|,则綈p为( )
A.∀平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|
B.∃平面向量a0和b0,|a0-b0|<|a0|+|b0|
C.∃平面向量a0和b0,|a0-b0|>|a0|+|b0|
D.∃平面向量a0和b0,|a0-b0|≥|a0|+|b0|
(2)命题“∃x0∈R,asinx0+cosx0≥2”为假命题,则实数a的取值范围是________.
解:
(1)改全称量词为存在量词并且否定结论.故选D.
(2)原命题为假,即命题“∀x∈R,asinx+cosx<2”为真命题,即
<2,解得-
<a<
,即实数a的取值范围是(-
,
).故填(-
,
).
1.含有逻辑联结词命题真假的判断
判断一个含有逻辑联结词命题的真假,应先对该命题进行分解,判断出构成它的简单命题的真假,再根据真值表进行判断.
2.全称命题与特称命题真假的判断
(1)要判断全称命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,至少能找一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
3.在有些命题中,逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的.如“x=±1”中含逻辑联结词“或”,“≥”表示“大于或等于”;“綊”表示“平行且等于”,“并且”的含义为“且”;“∉”表示“不属于”,“不是”的含义为“非”等.
4.一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表:
正面词语
等于(=)
大于(>)
小于(<)
是
都是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
一定
否定词语
至少有两个
一个也没有
某个
某些
不一定
1.“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
A.a和b至少有一个是偶数
B.a和b至多有一个是偶数
C.a是偶数,b不是偶数
D.a和b都是偶数
解:
“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”.故选A.
2.已知命题p:
∀x∈R,sinx≤1,则( )
A.綈p:
∃x0∈R,sinx0≥1
B.綈p:
∀x∈R,sinx≥1
C.綈p:
∃x0∈R,sinx0>1
D.綈p:
∀x∈R,sinx>1
解:
綈p是对p的否定,故为∃x0∈R,sinx0>1.故选C.
3.对于函数f(x)=sinx+cosx,下列命题正确的是( )
A.∀x∈R,f(x)=
B.∃x0∈R,f(x0)=
C.∀x∈R,f(x)>
D.∃x0∈R,f(x0)>
解:
f(x)=sinx+cosx=
sin
∈[-
,
].故选B.
4.下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈R,
≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
解:
此类题目多选用筛选法,因为ex>0对任意x∈R恒成立,所以A选项错误;因为当x=3时23=8,32=9且8<9,所以选项B错误;因为当a=b=0时a+b=0,而
无意义,所以选项C错误.故选D.
5.下列命题中,正确的是( )
A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,x
-x0≥0”
B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件
C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真
D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为
解:
A中否定不能有等号.B中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件.D中概率应为1-
.故选C.
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)
C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)
解:
因为函数f(x)的最小值是f
=f(x0),所以∀x∈R,f(x)≥f(x0),选项C错误.故选C.
7.已知命题p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数;p2:
函数y=x+
在(0,+∞)上为减函数.则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
(綈p1)∨p2和q4:
p1∧(綈p2)中,是真命题的是________.
解:
p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题,
所以q1:
p1∨p2是真命题,q2:
p1∧p2是假命题,
所以q3:
(綈p1)∨p2为假命题,q4:
p1∧(綈p2)为真命题.
所以真命题是q1,q4.故填q1,q4.
8.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解:
由题意知,p:
a≤1,q:
a≤-2或a≥1,因为“p且q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.故填{a|a≤-2或a=1}.
9.分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题,并判断其真假.
(1)p:
2是4的约数,q:
2是6的约数;
(2)p:
矩形的对角线相等,q:
矩形的对角线互相平分.
解:
(1)p∨q:
2是4的约数或2是6的约数,真命题;
p∧q:
2是4的约数且2是6的约数,真命题;
綈p:
2不是4的约数,假命题.
(2)p∨q:
矩形的对角线相等或互相平分,真命题;
p∧q:
矩形的对角线相等且互相平分,真命题;
綈p:
矩形的对角线不相等,假命题.
10.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,写出它们的否定形式,并判断否定形式的真假.
(1)若a>0且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tanx1<tanx2;
(3)∃T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|;
(4)∃x0∈R,使x
+1<0.
解:
(1)全称命题,其否定形式为:
若a>0且a≠1,则∃x∈R,ax≤0,显然该命题为假命题.
(2)全称命题,其否定形式为:
∃x1,x2∈R,且x1<x2,使tanx1≥tanx2,该命题为真命题.例如取x1=0,x2=π,有x1<x2,但tanx1=tanx2=0;又当x1=0,x2=
时,有x1<x2,但tan0=0,tan
=-
,所以tanx1>tanx2.
(3)特称命题,其否定形式为:
∀T∈R,|sin(x+T)|≠|sinx|,该命题是假命题.例如T0=π时,有|sin(x+π)|=|sinx|.
(4)特称命题,其否定形式为∀x∈R,x2+1≥0.因为x∈R时,x2≥0,所以x2+1≥1>0,故为真命题.
11.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.求使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围.
解:
由
得m<-1,所以p:
m<-1;
由Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,
所以q:
-2<m<3.
由p∨q为真,p∧q为假可知,命题p,q一真一假.
当p真q假时,
此时m≤-2;
当p假q真时,
此时-1≤m<3.
所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).
已知m∈R,命题p:
对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命题q:
存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)当a=1时,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
解:
(1)因为对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,所以(2x-2)min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,解得1≤m≤2.
因此,若p为真命题时,m的取值范围是[1,2].
(2)因为a=1,且存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立,
所以m≤1.
因此,命题q为真时,m≤1.
因为p且q为假,p或q为真,
所以p,q中一个是真命题,一个是假命题.
当p真q假时,由
得1<m≤2;
当p假q真时,由
得m<1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1)∪(1,2].
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(
)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=( )
A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解:
由已知可得,集合A的补集∁UA=[-2,2].故选C.
2.(
)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=( )
A.(-1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(1,2)
解:
根据集合的并集的定义,得P∪Q=(-1,2).故选A.
3.(
)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{-1,0,1,2,3}
解:
集合B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.故选C.
4.命题“∃m∈[0,1],使得x+
<2m”的否定形式是( )
A.∀m∈[0,1],总有x+
<2m
B.∃m∈[0,1],使得x+
≥2m
C.∃m∈(-∞,0)∪(1,+∞),使得x+
≥2m
D.∀m∈[0,1],总有x+
≥2m
解:
特称命题的否定是全称命题.故选D.
5.已知全集U=R,集合A=
,B={y|y=2x,x<1},则A∩(∁RB)=( )
A.(0,2)B.[2,+∞)
C.(-∞,0]D.(2,+∞)
解:
因为集合A=
=(0,+∞),B={y|y=2x,x<1}=(0,2),所以∁RB=(-∞,0]∪[2,+∞),所以A∩(∁RB)=[2,+∞).故选B.
6.已知p:
∅⊆{0},q:
{1}∈{1,2},由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
解:
因为空集是任何集合的子集,{1}⊆{1,2},所以p真q假.所以“p∨q”为真,“p∧q”“綈p”为假.故选B.
7.已知集合A=
,则集合A中的元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
解:
因为
∈Z且x∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.故选C.
8.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解:
a-b>1,即a>b+1.因为a,b为正数,所以a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立.反之,当a=
,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.故选A.
9.下列命题中:
①“∃x0∈R,x
-x0+1≤0”的否定;
②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;
③命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
解:
只有③不正确.故选C.
10.(
)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解:
S4+S6-2S5=a5+a6-2a5=d,所以为充要条件.故选C.
11.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一~六名),记“甲得第一名”为p,“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r,若p∨q是真命题,p∧q是假命题,(綈q)∧r是真命题,则选拔赛的结果为
( )
A.甲第一、乙第二、丙第三
B.甲第二、乙第一、丙第三
C.甲第一、乙第三、丙第二
D.甲第一、乙没得第二名、丙第三
解:
(綈q)∧r是真命题意味着綈q为真,q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名);p∨q是真命题,由于q为假,只能p为真(甲得第一名),这与p∧q是假命题相吻合;由于还有其他三名队员参赛,只能肯定其他队员得第二名,乙没得第二名.故选D.
12.设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.[-1,0]B.(-1,0)
C.(-∞,-1)∪[0,1)D.(-∞,-1]∪(0,1)
解:
因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},B={y|y=f(x)}={y|y≤0},所以A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1).故选D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是________.
解:
把全称量词“∀”改为存在量词“∃”,并把结论加以否定.故填∃x0∈[0,+∞),x
+x0<0.
14.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2解:
由交集的定义可得A∩B={-1,2}.因此A∩B的子集为∅,{-1},{2},{-1,2}.故填4.
15.已知集合A={1,a,5},B={2,a2+1}.若A∩B中有且只有一个元素,则实数a的值为________.
解:
若a2+1=1,则a=0,A∩B={1};
若a2+1=5,则a=±2,当a=2时,A∩B={2,5},不合题意,舍去;当a=-2时,A∩B={5};
若a2+1=a,则a2-a+1=0无解.
所以a=0或a=-2.故填0或-2.
16.已知p:
x<1或x>3,q:
a-1解:
若綈p⇒綈q,则q⇒p,所以a+1≤1或a-1≥3,得a≤0或a≥4.故填(-∞,0]∪[4,+∞).
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知R为全集,A={x|log
(3-x)≥-2},B=
.
(1)求A∩