届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46.docx
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届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46
第4章第6节
一、选择题
1.(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,且sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角C等于( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a2-c2=(a-b)·b,
由余弦定理得cosC==,
∵0 2.(文)(2010·泰安模拟)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( ) A.30°B.45° C.135°D.45°或135° [答案] B [解析] ∵AC·sin60°=4×=2<4<4,故△ABC只有一解,由正弦定理得,=, ∴sinB=,∵4<4,∴B (理)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,A=,a=,b=1,则c=( ) A.1B.2 C.-1D. [答案] B [解析] ∵bsinA=<1<,∴本题只有一解. ∵a=,b=1,A=, ∴根据余弦定理,cosA===, 解之得,c=2或-1, ∵c>0,∴c=2.故选B. 3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=2,b=2,且三角形有两解,则角A的取值范围是( ) A.B. C.D. [答案] A [解析] 由条件知bsinA ∵a [点评] 如图,AC=2,以C为圆心2为半径作⊙C,则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC,当AB与⊙C相切时,AB=2,∠BAC=,当AB与⊙C相交时,∠BAC<,因为三角形有两解,所以直线AB与⊙C应相交,∴0<∠BAC<. 4.(2010·湖南理)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C=120°,c=a,则( ) A.a>bB.a<b C.a=bD.a与b的大小关系不能确定 [答案] A [解析] ∵∠C=120°,c=a,c2=a2+b2-2abcosC ∴a2-b2=ab, 又∵a>0,b>0,∴a-b=>0,所以a>b. 5.(文)(2010·天津理)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( ) A.30°B.60° C.120°D.150° [答案] A [解析] 由余弦定理得: cosA=, ∵sinC=2sinB,∴c=2b,∴c2=2bc, 又∵b2-a2=-bc,∴cosA=, 又A∈(0°,180°),∴A=30°,故选A. (理)(2010·山东济南)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为( ) A.B. C.或D.或 [答案] D [解析] 由(a2+c2-b2)tanB=ac得,·tanB=,再由余弦定理cosB=得,2cosB·tanB=,即sinB=,∴角B的值为或,故应选D. 6.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为0.5,那么b为( ) A.1+B.3+ C.D.2+ [答案] C [解析] acsinB=,∴ac=2, 又2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,b=. 7.(2010·厦门市检测)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( ) A.B. C.D.2 [答案] C [解析] ∵A、B、C成等差数列,∴B=60°, ∵=,∴sinA===, ∴A=30°或A=150°(舍去),∴C=90°, ∴S△ABC=ab=. 8.(2010·山师大附中模考)在△ABC中,cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为( ) A.直角三角形B.正三角形 C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 [答案] A [解析] ∵cos2=,∴=, ∴sinCcosB=sinA, ∴sinCcosB=sin(B+C),∴sinBcosC=0, ∵0 9.(2010·四川双流县质检)在△ABC中,tanA=,cosB=,若最长边为1,则最短边的长为( ) A.B. C.D. [答案] D [解析] 由tanA>0,cosB>0知A、B均为锐角, ∵tanA=<1,∴0, ∴0 由cosB=知,tanB=,∴B 由条件知,sinA=,cosA=,sinB=, ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =×+×=, 由正弦定理=知,=,∴b=. 10.(2010·山东烟台)已知非零向量,和满足·=0,且=,则△ABC为( ) A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 [答案] D [解析] ∵=cos∠ACB=, ∴∠ACB=45°, 又∵·=0, ∴∠A=90°,∴△ABC为等腰直角三角形,故选D. 二、填空题 11.(文)判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a=1,b=,B=45°; ②a=,b=,A=30°; ③a=6,b=20,A=30°; ④a=5,B=60°,C=45°. [答案] ①④ [解析] ①一解,asinB=<1<,有一解. ②两解,b·sinA=<<,有两解; ③无解,b·sinA=10>6,无解. ④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定. (理)在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是________. [答案] [解析] 边c最长时: cosC==>0, ∴c2<5.∴0 边b最长时: cosB==>0, ∴c2>3.∴c>. 综上, 12.(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆+=1上,则的值为________. [答案] 2 [解析] 由题意知△ABC中,AC=2,BA+BC=4, 由正弦定理得==2. 13.(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且·=4,则△ABC的面积等于________. [答案] 2 [解析] ∵b2+c2=a2+bc,∴cosA==, ∵·=4,∴b·c·cosA=4,∴bc=8, ∴S=AC·ABsinA=×bc·sinA=2. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=c=2b且sinB=,当△ABC的面积为时,b=________. [答案] 2 [解析] ∵a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2 (1) ∵S△ABC=acsinB=ac=,∴ac= (2) ∵sinB=,∴cosB=(由a+c=2b知B为锐角), ∴=,∴a2+c2=+b2(3) 由 (1)、 (2)、(3)解得b=2. 14.(2010·合肥市质检)在△ABC中,=,则角B=________. [答案] [解析] 依题意得sin2A-sin2B=sin(A+B)(sinA-sinC)=sinAsinC-sin2C, 由正弦定理知: a2-b2=ac-c2, ∴a2+c2-b2=ac, 由余弦定理知: cosB==, ∴B=. 三、解答题 15.(文)(2010·广州六中)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足cos=,·=3. (1)求△ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值. [解析] (1)∵cos=, ∴cosA=2cos2-1=,sinA=. 又由·=3得,bccosA=3,∴bc=5, ∴S△ABC=bcsinA=2. (2)∵bc=5,又b+c=6,∴b=5,c=1或b=1,c=5, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=20,∴a=2. (理)(2010·山东滨州)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且m·n=sin2C. (1)求角C的大小; (2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·(-)=18,求边c的长. [解析] (1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B). 在△ABC中,由于sin(A+B)=sinC. ∴m·n=sinC. 又∵m·n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 又sinC≠0,所以cosC=.而0 (2)由sinA,sinC,sinB成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. ∵·(-)=18,∴·=18. 即abcosC=18,由 (1)知,cosC=,所以ab=36. 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36. ∴c=6. 16.(文)在△ABC中,已知AB=,BC=2. (1)若cosB=-,求sinC的值; (2)求角C的取值范围. [解析] (1)在△ABC中,由余弦定理知, AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB =3+4-2×2×=9. 所以AC=3. 又因为sinB===, 由正弦定理得=. 所以sinC=sinB=. (2)在△ABC中,由余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC, ∴3=AC2+4-4AC·cosC, 即AC2-4cosC·AC+1=0. 由题意知,关于AC的一元二次方程应该有解, 令Δ=(4cosC)2-4≥0,得cosC≥,或cosC≤-(舍去,因为AB 所以,0 [点评] 1.本题也可用图示法,如图: A为⊙B上不在直线BC上的任一点,由于r=AB=,故当CA与⊙B相切时∠C最大为,故C∈. 2.高考命题大题的第一题一般比较容易入手,大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制,这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实. (理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosC+c=b. (1)求角A的大小; (2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围. [解析] (1)由acosC+c=b得 sinAcosC+sinC=sinB 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ∴sinC=cosAsinC, ∵sinC≠0,∴cosA=, 又∵0 (2)解法1: 由正弦定理得: b==sinB,c=sinC l=a+b+c=1+(sinB+sinC) =1+(sinB+sin(A+B)) =1+2=1+2sin ∵A=,∴B∈,∴B
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- 届高三 数学 一轮 复习 第四 三角函数 三角形 46
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