北师大版数学九年级下册教案第1课时.docx
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北师大版数学九年级下册教案第1课时
第1课时
§3.1车轮为什么做成圆形
教学目标
1、经历形成圆的概念和点与圆的位置关系的过程
2、理解圆的概念和点与圆的位置关系
教学重点和难点
重点:
点与圆的位置关系
难点:
点与圆的位置关系
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
与三角形、四边形一样,圆也是我们常见的图形。
圆的半径、直径、周长、面积,我们并不陌生。
在这一章里,我们将学习圆的更深入的知识。
Ø师生共同研究形成概念
1、车轮为什么做成圆形
本节主要用集合的观点研究圆的概念及点与圆的位置关系。
通过车轮的实例,让学生感受圆是生活中大量存在的图形。
教学时,可以给学生展示正方形或长方形的车轮在行走时存在的问题,使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳。
从而使学生认识到圆上任意一点到圆心的距离是一个定值。
2、圆的定义
☆议一议书本P83议一议
通过对游戏队形的讨论,使学生进一步认识圆的本质特征,为下面引出圆的定义做准备。
如果单纯考虑队形因素,即只考虑“距离”对投圈结果的影响,那么排成圆形队形比较公平。
学生在小学数学中已经学过圆的概念,书本在此用集合的观点给出了圆的描述性定义。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆;
其中,定点称为圆心;
定长称为半径的长。
“圆O”可表示成“⊙O”。
确定一个圆需要两个要素:
一是圆心,二是半径。
3、点与圆的位置关系
☆想一想书本P84想一想
通过投镖的情境引入点与圆的位置关系:
点在圆上,点在圆外,点在圆内。
点O在圆外,即这个点到圆心的距离大于半径;
点O在圆上,即这个点到圆心的距离等于半径;
点O在圆内,即这个点到圆心的距离小于半径。
点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系;反过来,也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系。
4、讲解例题
例1《练习册》P433
分析:
通过题目已知的面积,间接得出圆的半径,再通过点与圆心的距离判断点是否在圆上。
Ø随堂练习
5、书本P85随堂练习1、2
6、《练习册》P43
Ø小结
点与圆的位置关系。
第2课时
§3.2.1圆的对称性
教学目标
3、经历探索圆的对称性及相关性质,
4、理解圆的对称性及相关性质
5、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法
教学重点和难点
重点:
垂径定理及其逆定理难点:
垂径定理及其逆定理
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
圆是我们比较熟悉的图形。
它是漂亮的图形,这节课,我们研究一下它的性质。
Ø
师生共同研究形成概念
7、圆的轴对称性
☆议一议书本P89
在探索圆是轴对称图形时,大多数学生可能会采用折叠的方法,有的学生也可能用其他方法,只要合理,都应该鼓励
圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线
8、圆的几个概念
⌒
对于和圆有关的这些概念,应让学生借助图形进行理解,并弄清楚它们之间的联系和区别。
⌒
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧弧AB记作AB
大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧优弧DCA劣弧AB
连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径
1)注意
直径是弦,但弦不一定是直径;半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是劣弧,也不是优弧
9、垂径定理
☆做一做书本P90做一做
从此例子得出垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,垂足为M,
(1)
⌒
⌒
图中相等的线段有,相等的劣弧有;
(2)若AB=10,则AM=,BC=5,则AC=。
10、讲解例题
例2
如图,AB是⊙O的一条弦,OC⊥AB于点C,OA=5,AB=8,求OC的长。
11、垂径定理的逆定理
☆想一想书本P91想一想
鼓励学生独立探索,然后通过同学间的交流,得出结论。
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
如图,在⊙O中,直径CD平分弦AB,交AB于点M,
(1)
⌒
⌒
图中直角有,相等的劣弧有;
(2)若BC=5,则AC=。
12、讲解例题
例3如图,AB是⊙O的一条弦,点C为弦AB的中点,OC=3,AB=8,求OA的长。
例4
如图,两个圆都以点O为圆心,小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。
你认为AC与BD的大小有什么关系?
为什么?
⌒
⌒
例5
⌒
如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m。
求这段弯路的半径。
Ø随堂练习
13、书本P93随堂练习1、2《练习册》P45
Ø小结
垂径定理及其逆定理。
Ø作业
书本P94习题3.21
Ø教学后记
第2课时
§2.1圆的对称性
知识目标:
经历探索圆的对称性及相关性质;理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方法
德育目标:
培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神
能力目标:
培养学生观察、分析、探索能力和创造力
教学重点和难点
重点:
垂径定理及其逆定理
难点:
垂径定理及其逆定理
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
在上一节课,我们研究了圆是轴对称图形,还学习了垂径定理及其逆定理。
这节课,我们继续研究圆的圆心角、弧、弦之间相等关系。
Ø师生共同研究形成概念
14、圆的中心对称(圆的旋转不变性)
☆做一做书本P94顶
通过这个实验,让学生了解圆的旋转不变性。
圆是中心对称图形,对称中心为圆心
圆的旋转不变性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。
15、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1)弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆
如图,在⊙O中,∠AOB是圆心角、∠DCE是圆周角
2)探索圆心角、弧、弦之间的关系(分开同圆和等圆两种来研究)
课件演示实验,或学生动手操作(剪)
☆做一做书本P94做一做
通过实验探索圆的另一个特征。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等
知二推三:
①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分圆弧;⑤平行劣弧
1)
举反例强调前提条件:
同圆或等圆
16、知一推三
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
①圆心角;②弧;③弦;④弦心距
17、讲解例题
例6如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F
1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?
为什么?
2)
如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?
AB与CD的大小有什么关系?
为什么?
∠AOB与∠COD呢?
例7书本P98随堂练习3
Ø随堂练习
18、书本P98随堂练习
19、书本P100习题3.32、3
20、《练习册》P47
Ø小结
圆心角、弧、弦之间的关系。
Ø作业
书本P99习题3.31
Ø教学后记
第3课时
§3.3圆周角和圆心角的关系
知识目标:
经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,理解圆周角的概念及其相关性质
德育目标:
体会分类、归纳等数学思想方法
能力目标:
提高分类、归纳的数学能力
教学重点和难点
重点:
圆周角和圆心角的关系难点:
圆周角和圆心角的关系
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
上一节课,我们学习了:
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等。
那么,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?
这节课,我们研究圆周角和圆心角的关系。
Ø师生共同研究形成概念
21、圆心角与弧的关系
我们把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份。
我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
所以,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
☆巩固练习:
若一条弧是70°,则它所对的圆心角是°;若一个圆周角等于80°,
则它所对的弧等于°。
22、圆周角与圆心角
通过射门游戏引入圆周角的概念。
提出这一问题意在引起学生思考,为本节活动埋下伏笔。
圆周角:
角的顶点在圆上,两边是圆的两条弦
圆心角:
角的顶点是圆心,两边是圆的两条半径
23、讲解例题
例8
下列图形中的角是不是圆周角。
分析:
通过此例,让学生理解好圆周角的定义。
24、讲解例题
例9下列图形中,哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
分析:
通过此例,让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。
25、同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系
☆议一议书本P101议一议
可放手让学生自己观察动手操作验证思考,老师作适当提点。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
学生动手画图验证
圆周角定理的几个推论
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
26、总结方法
在这里要帮学生方法,以利于学生解决圆的一些证明的题目。
☆议一议书本P106议一议
鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法,如度量与证明、分类与转化,以及类比等。
☆做一做书本P107做一做
是一个有实际背景的问题,解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论,而且还要应用反证法及分类的思想。
27、讲解例题
例10如图,AB是的直径,BD是的弦,延长BD到C,使CA=AB。
BD与CD的大小有什么关系?
为什么?
分析:
此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。
Ø随堂练习
28、书本P107随堂练习
29、《练习册》P49
Ø小结
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
Ø作业
书本P104习题3.42
Ø教学后记
第4课时
§3.4确定圆的条件
知识目标:
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程;了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念
能力目标:
进一步体会解决数学问题的策略
德育目标:
提高分类、归纳的数学能力
教学重点和难点
重点:
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点:
过不在同一条直线上的三个点作圆
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
在初一的时候,我们研究过,确定一条直线。
经过一点可以作无数条直线,经过两点只能作一条直线。
那么经过一点能作几个圆?
经过两点、三点,能确定几个圆呢?
Ø
师生共同研究形成概念
30、
平分一条弧
要写作法
31、确定圆的条件
☆做一做书本P109做一做
由易到难让学生经历作圆的过程,从中探索确定圆的条件。
作图前,要引导学生通过思考明确这样的基本思想:
作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题,确定了圆心和半径,圆就随之确定。
不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆
要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆。
32、讲解例题
例11分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆。
分析:
要让学生动手操作。
33、外接圆与外心
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆;
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
锐角三角形:
外心在圆内
直角三角形:
外心在斜边的中点
钝角三角形:
外心在圆外
Ø随堂练习
34、书本P1141
35、《练习册》P53
Ø小结
确定圆的条件。
Ø作业
作一个钝角三角形的外接圆。
Ø教学后记
第7课时
§3.6.1直线和圆的位置关系
知识目标:
经历探索直线与圆位置关系的过程;理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系;了解切线的概念
能力目标:
提高学生的读图能力
德育目标:
运用辩证的观点看待问题
教学重点和难点
重点:
理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系
难点:
灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
上一阶段,我们研究过点与圆的位置关系。
这节课,我们研究直线与圆的位置关系。
Ø师生共同研究形成概念
36、地平线与太阳的位置关系
首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象,然后让学生动手操作。
在这一过程中引导学生归纳出直线与圆的几种位置关系。
37、直线与圆的位置关系
☆做一做试按下列要求画直线
1)与⊙O有两个交点;2)与⊙O有一个交点;3)与⊙O没有交点。
直线与圆有三种位置关系:
相交、相切、相离。
相交——直线与圆有两个交点;
相切——直线与圆有一个交点;
相离——直线与圆有零个交点。
直线和圆有惟一公共点时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点。
☆想一想书本P117想一想
通过观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化。
这种等价关系是研究切线的理论基础。
直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离
;
割线切线
☆巩固练习1、《练习册》P541、2、3;
2、随机找一些数据让学生判断直线和圆的位置关系。
38、讲解例题
例12已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm。
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
分析:
以直线与圆的位置为主线分析,可画圆演示。
根据d与r的数量关系判断直线和圆的位置关系,同时应用了三角函数的知识。
Ø随堂练习
39、书本P120随堂练习1
40、《练习册》P547、9
Ø小结
直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
Ø作业
书本P120习题3.71
Ø教学后记
第8课时
§3.6.2直线和圆的位置关系
知识目标:
探索切线与过切点的直径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线
能力目标:
提高学生的读图能力
德育目标:
运用辩证的观点看待问题
教学重点和难点
重点:
切线的性质
难点:
灵活运用切线的性质解决实际问题
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
复习直线与圆的位置关系及切线的性质。
Ø师生共同研究形成概念
41、探索圆的切线的性质
☆议一议书本P114议一议
由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究。
圆的切线垂直于过切点的直径
在⊙O中,AB切⊙O于点C,
∴OC⊥AB
知切线,连半径,得垂直;知直径,得直角。
42、反证法
只要求学生了解,并且知道第一步是要假设结论不成立。
43、讲解例题
例13
如图,CA为⊙O的切线,A为切点,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,求∠AOB的度数。
☆巩固练习P551
例14
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D。
求证:
AC平分∠DAB。
Ø随堂练习
44、书本P120随堂练习2
45、《练习册》P552、3、4、5
46、如图,已知AB是⊙O的直径,AD是弦,过点B的切线交AD的延长线于C,求证:
。
47、如图,AB是⊙O的直径,CE是切线,切点为C,BE⊥CE于E,交⊙O于D,求证:
AC=CD。
48、如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,∠APB=90°,OP=4,求⊙O的半径。
Ø小结
切线的性质。
Ø作业
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点。
求证:
C是AB的中点。
Ø教学后记
第9课时
§3.6.3直线和圆的位置关系
知识目标:
能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线
能力目标:
提高学生动手操作的能力
德育目标:
辩证地看待问题的能力
教学重点和难点
重点:
判定一条直线是否为圆的切线
难点:
判定一条直线是否为圆的切线
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系,圆的切线垂直于过切点的直径。
Ø师生共同研究形成概念
49、切线的判定
通过旋转实验的办法,探索切线的判定条件。
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线
在⊙O中,
∵AB⊥CD,且点A在⊙O上
∴CD是⊙O的切线
50、切线判定的应用
☆做一做书本P121做一做
这是切线判定定理的一个直接应用,由于学生只学过用尺规作线段的垂直平分线,而没有学过用尺规一般地作垂线,因此,这里不要求所有学生都用尺规作图,允许用三角尺作垂线。
51、讲解例题
例15
如图,AB是⊙O的直径,∠ACB=45°,BA=BC,求证:
BC是⊙O的切线。
分析:
此例是巩固学生对圆的切线判定的理解。
可让手让学生自己做。
52、讲解例题
例16
如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,∠CAB=30°,求证:
DA是⊙O的切线。
Ø随堂练习
53、书本P123随堂练习1
54、《练习册》P564、5、7
55、《练习册》P572、3
Ø小结
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
Ø作业
书本P123习题3.81
Ø教学后记
第10课时
§3.6.4直线和圆的位置关系
知识目标:
知道三角形的内心是三个角的平分线的交点,会作出三角形的内心,能借助三角形的内心解决实际问题
能力目标:
提高学生动手操作的能力
德育目标:
辩证地看待问题的能力
教学重点和难点
重点:
借助三角形的内心解决实际问题
难点:
借助三角形的内心解决实际问题
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系;圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
Ø师生共同研究形成概念
56、复习三角形的外接圆、外心
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆;
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
锐角三角形:
外心在圆内;直角三角形:
外心在斜边的中点;钝角三角形:
外心在圆外
57、讲解例题
例17如图,从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?
分析:
这里作圆的关键是确定圆心的位置。
58、三角形的内切圆、内心
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,这个点叫做三角形的内心。
59、三角形外、内心对比
外心
内心
构成
三边垂直平分线的交点
三条角平分线的交点
特点
到三个顶点的距离相等
到三边的距离相等
位置
可在圆内、圆上、圆外
圆内
60、讲解例题
例18分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心。
例19如图1,I是△ABC的内心,∠BIC=130°,∠1=20°,求∠A的大小。
例20如图2,D是△ABC的内心,且∠A=50°,求∠BDC的度数。
例21如图3,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D。
求证:
DE=DB。
例22
如图4,点O是△ABC的内心,以O为圆心的圆和△ABC的三边相交于D、E、F、G、H、I,求证:
DE=FG=HI。
Ø随堂练习
61、书本P123随堂练习2
62、《练习册》P561、2、3、6
63、《练习册》P571、5
64、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点I是内心,求∠BIC的度数。
65、
如图,点I是△ABC的内心,AI交BC边于点D,交△ABC的外接圆于点E。
求证:
。
Ø小结
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,这个点叫做三角形的内心。
Ø作业
书本P124习题3.82
Ø教学后记
第11课时
§3.6圆和圆的位置关系
知识目标:
经历探索两个圆之间位置关系的过程;了解圆与圆之间的几种位置关系;了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系
能力目标:
德育目标:
教学重点和难点
重点:
圆与圆之间的几种位置关系
难点:
两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
1)复习点与圆的位置关系;2)复习直线与圆的位置关系。
Ø师生共同研究形成概念
66、书本引例
☆想一想P125平移两个圆
利用平移实验直观地探索圆和圆的位置关系。
67、圆与圆的位置关系
每一种位置关系都可以先让学生想想应该用什么名称表达。
在讲解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系时,可先让学生探索,老师不要生硬地把答案说出来
外离外切相交内切内含
两圆没有交点两圆只有一个交点两圆有两个交点两圆只有一个交点两圆没有交点
☆巩固练习若两圆没有交点,则这两个圆的位置关系是;
若两圆有一个交点,则这两个圆的位置关系是;
若两圆有两个交点,则这两个圆的位置关系是;
☆想一想书本P126想一想
通过实际例子让学生理解圆与圆的位置关系。
68、圆与圆相切的性质
☆想一想书本P127想一想
旨在引导学生思考两圆相切的性质:
如果两圆相切,那么两圆的连心线经过切点,这一性质是下面议一议的基础。
学生容易看出两圆相切图形的轴对称性及对称轴,但要说明切点在连心线上则有一定困难。
如果两圆相切,那么两圆的连心线经过切点
69、讲解例题
例23
已知⊙
、⊙
相交于点A、B,∠A
B=120°,∠A
B=60°,
=6cm。
求:
(1)∠
A
的度数;2)⊙
的半径
和⊙
的半径
。
70、讲解例题
例24
两个同样大小的肥皂泡粘在一起,其剖面如图所示,分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小。
Ø随堂练习
71、书本P128随堂练习
72、《练习册》P59
Ø小结
圆与圆的位置关系;圆心距与两圆半径和两圆的关系。
Ø作业
书本P130习题3.91
Ø教学
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