广州高三数学一模文科数学试题.docx
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广州高三数学一模文科数学试题
2009年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(文科)2009.3
本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:
锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
如果事件、互斥,那么.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数的最小正周期为
A.B.C.D.
2.已知全集R,集合,,则
A.B.C.D.
3.已知i(1i)(i为虚数单位),则复数在复平面上所对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2日9时至
14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图1所示.
已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时
的销售额为
A.万元B.万元
C.万元D.万元
5.已知过、两点的直线与直线平行,
则的值为
A.B.
C.D.
6.已知R且,则下列不等式中成立的是
A.B.
C.D.
7.阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“:
=”),
若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是
A.?
B.?
C.?
D.?
8.如果命题“且”是假命题,“非”是真命题,那么
A.命题一定是真命题B.命题一定是真命题
C.命题一定是假命题D.命题可以是真命题也可以是假命题
9.已知平面内不共线的四点满足,
则:
A.B.C.D.
10.在区间上任意取两个实数,则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.椭圆的离心率为.
12.已知数列的前项和为,对任意N都有,
则的值为,数列的通项公式.
13.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:
cm)如图3所示,
则该几何体的侧面积为cm.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线被圆截得的弦长为__.
15.(几何证明选讲选做题)已知是圆(为圆心)的切线,切点为,交圆于两点,,则线段的长为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
某校高三级要从3名男生和2名女生中任选3名代表参加学校的演讲比赛.
(1)求男生被选中的概率;
(2)求男生和女生至少有一人被选中的概率.
17.(本小题满分14分)
已知△的内角所对的边分别为且.
(1)若,求的值;
(2)若△的面积求的值.
18.(本小题满分14分)
如图4,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,
是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:
⊥平面;
(2)求三棱锥的体积的最大值.
19.(本小题满分14分)
设点、是抛物线上不同的两点,且该抛物线在点、处的两条切线相交于点,并且满足.
(1)求证:
;
(2)判断抛物线的准线与经过、、三点的圆的位置关系,并说明理由.
20.(本小题满分12分)
某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名(N).
(1)设完成型零件加工所需时间为小时,写出的解析式;
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务,应取何值?
21.(本小题满分14分)
已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且
.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)设是数列的前项和,问是否存在常数,使得对任意N都成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
2009年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:
1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
C
B
D
A
D
D
C
二、填空题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,每小题5分,满分20分,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第12题第一个空2分,第二个空3分.
11.12.;13.14.15.1
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查古典概率等基础知识,考查运算求解能力)
解:
从3名男生和2名女生中任选3名代表的可能选法是:
;;;
;;;;;;共10种.
(1)男生被选中的的情况共有6种,于是男生被选中的概率为.
(2)男生和女生至少有一人被选中的情况共有9种,故男生和女生至少有一人被选
中的概率为.
16.(本小题满分14分)
(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力)
解:
(1)∵,且,
∴.
由正弦定理得,
∴.
(2)∵
∴.
∴.
由余弦定理得,
∴.
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:
∵是底面圆周上异于、的一点,且为底面圆的直径,
∴.……2分
∵⊥平面,平面,
∴.……4分
∵平面,平面,
∴平面.……6分
(2)解法1:
设,在Rt△中,(0<x<2,
故(0<x<2,
即.
∵,
∴当,即时,三棱锥的体积的最大值为.
解法2:
在Rt△中,,
.
当且仅当时等号成立,此时.
∴三棱锥的体积的最大值为.
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究,考查数形结合的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:
由,得,则,
∴抛物线在点,处的切线的斜率分别为,.
∵,
∴.
∴抛物线在点,处两切线相互垂直.
∴.
∴.
(2)解法1:
∵,
∴.
∴经过三点的圆的圆心为线段的中点,圆心.
∵抛物线的准线方程为,
∴点到直线的距离为,
∵经过三点的圆的半径,
由于,,且,则,
∴.
即,
∴.
∴抛物线的准线与经过三点的圆相切.
解法2:
由
(1)知抛物线在点处的切线斜率为,
又
∴切线所在的直线方程为:
即.①
同理可得,切线所在的直线方程为:
.②
由①,②得点的横坐标,纵坐标,即.
∵,
∴.
∴经过三点的圆的圆心为线段的中点,圆心.
∵抛物线的准线方程为,
∴点到直线的距离为,
∵经过三点的圆的半径,
∴.
∴抛物线的准线与经过三点的圆相切.
20.(本小题满分12分)
(本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方法,以及运算求解能力和应用意识)
解:
(1)生产150件产品,需加工型零件450个,
则完成型零件加工所需时间N,且.
(2)生产150件产品,需加工型零件150个,
则完成型零件加工所需时间N,且.
设完成全部生产任务所需时间为小时,则为与的较大者.
令,即,
解得.
所以,当时,;当时,.
故.
当时,,故在上单调递减,
则在上的最小值为(小时);
当时,,故在上单调递增,
则在上的最小值为(小时);
,
在上的最小值为.
.
答:
为了在最短时间内完成生产任务,应取.
21.(本小题满分14分)
(本小题主要考查数列的通项公式、数列前项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1:
∵是关于的方程N的两根,
∴
由,得,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
证法2:
∵是关于的方程N的两根,
∴
∵,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:
由
(1)得,即.
∴
.
∴
.
要使对任意N都成立,
即(*)对任意N都成立.
1当为正奇数时,由(*)式得,
即,
∵,
∴对任意正奇数都成立.
当且仅当时,有最小值.
∴.
②当为正偶数时,由(*)式得,
即,
∵,
∴对任意正偶数都成立.
当且仅当时,有最小值.
∴.
综上所述,存在常数,使得对任意N都成立,的取值范围是.
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