小学奥数乘除法竖式练习.docx
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小学奥数乘除法竖式练习
【内容概述】
乘数、除数至少是三位数,或者涉及小数的乘除法竖式的填空格问题,补填空格与破译字母相综合的竖式问题.
【典型问题】
1.请在图15-1所示乘法算式的每个方框中填入一个数字,使其成为正确的竖式.那么计算所得的乘积应是多少?
[分析与解]被乘数与乘数的百位数都是1,乘数的十位是0,个位是奇数.由被乘数与乘数的个位数字相乘,即
1□5×□=1□05
可知乘数的个位只能是7或9.经检验,只能是9,而且145×9=1305.所以原式的乘积为:
145×109=15805.
2.图15-2是一个乘法竖式,请在其中的10个空格内分别填入0至9这10个数字,使算式成立.
[分析与解]先注意百位,有□+0+2=2,而十位又没有进位,所以□=0,即的三行为3008;
再看千位,有3+5+□对应3,所以千位一定有进位,且有□=13-3-5=5,所以第五行为752.
这样万位□+7只能是1+7,不然第六行首位超过9,所以第四行为1504.
有3008,1504,752均是被乘数的倍数,所以被乘数为752,376或188.
而被乘数与乘数的个位乘积是3008,所以被乘数只能是752或376.
又要求10个空格内正好填入0~9这10个数字,验证有376满足,对应乘数为248,有完整的竖式如下:
.
3.请把图15-3所示的除法竖式中空缺的数字补上.问其中的商是多少?
[分析与解]显然第二行对应的商只能是1,于是第二行为6□7,除数也是6□7,
而6□7与商的个位数字的乘积的个位数字为1,而对应只有7×3=21的个位数字为1,所以商的个位数字为3.
有6□7的十位□×3的个位数字为(6-2)=4,所以□=8,即除数为687,商为13.
所以被除数为687×13=8931,有完整竖式如下:
.
4.图15-4是一个残缺的除法竖式,其中只写出了5个3.那么,这个算式的商数是多少?
[分析与解]为了便于说明,用英文字母来表示几个关键的数:
商的百位数字a,只能是1,3,7,9.
除号下第5行的被除数的百位数字c明显是9,因此除号下第4行中的b大于3.这样可断定a≠1,a≠3.
如果a=9,那么除号下第2行中d也是9.但933不是9的倍数,所以a≠9.
我们现在来看a=7的情形,由于
能被7整除,可以断定除数是119,d=8.
除号下第5行,因为c=9,只有119×8=952满足题意,即f=8.从而b=13-5=8,c=2.所以这个算式的商数是728.被除数是119×728=86632.
有完整竖式如下:
.
5.请在图15-5中的每个方框内填入恰当的数字,使这个除法算式成立.求其中的商数、除数与被除数.
[分析与解]注意除号下第四行对应的商为7,而第六行也是三位数,且大于第四行,所以第六行的商对应为8.
而第二、四行的均为四位数,对应的商只能均是9,而第七行直接退两位,所以商的十位为0,则商为97809.
由除数□□□与8的乘积为三位数,所以除数最大为124;又由除数□□□与9的乘积为四位数,所以除数最小为112.
验证有,97809×124=12128316满足,所以商为97809,除数为124,被除数为12128316.
有完整竖式如下:
.
6.请补全如图15-6所示的除法竖式.问这个算式中的被除数是多少?
[分析与解]234,351都是除数□□□的倍数,所以除数只能是117,则商为2.31,则被除数为117×2.31=270.27.
有完整竖式如下:
.
7.在图15-7中的每个方框内填入适当的数字.使这个小数除法竖式成立.
[分析与解]□80除以5的个位数字为6,所以除数的十分位为6,6×2=12,6×7=42,乘积的个位均是2,商对应为2.5,7.5.
除号下第二行为30.2~39.2之间,
如果商为2.5,则与商与除数的乘积为被除数,不超过2.5×9.6=24,现在被除数为4□,显然不满足.
如果商为7.5,则除数在30.2÷7到39.2÷7之间,即4.3~5.6之间,有除数为4.6或5.6,4.6×7.5=34.5,或5.6×7.5=42,显然只能是5.6×7.5=42.
有完整竖式如下:
.
8.在图15-8所示算式的各方格内填入适当的数字,并将A,B,C,D分别替换为不同的数字,使算式成立.问:
A,B,C,D各代表哪个数字?
[分析与解]显然第二行为108,108=2×2×3×3×3=54×2=36×3=27×4=18×6,逐一验证有:
,
满足.
对应A,B,C,D表示5,4,3,2;1,8,7,6.
9.图15-9是一个正确的乘法算式,其中的每个方框和汉字都代表一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,且“总”字所代表的数字大于2.问:
“总决赛”所表示的三位数是多少?
[分析与解]因为“总”所代表的数字大于2,所以“迎”只能是1,2,3三个数字之一.
“迎”是3,“总”也只能是3,矛盾.
“赛”ד迎”的个位是“赛”,因此,“迎”也不能是2,所以只能为1.
由于“总”大于3,“欢”最大为6,“欢迎”可能是21,31,41,51,61之一.
19940÷21=949……11;
19940÷31=643……7;
19940÷41=486……14;
19940÷51=390……50;
19940÷61=326……54.
因为乘积是19940+赛,从前三个除式的余数来看,无论“赛”为多少,乘积都不能被21,31,41整除,
当“赛”为1时,有19941=391×51,就出现“赛”与“迎”都代表1,不满足.
从最后一个除式看,当“赛”为7时有,19947÷61=327,
“总决赛”为327,有完整竖式如下:
.
10.在图15-10所示的乘法算式中,每个方框和汉字都代表一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字.那么,这个乘法算式的最后乘积是多少?
[分析与解]首先由□恭□×1=□□8可知,被乘数“□恭□”的个位数字为8,从而“贺”与被乘数相乘所得的个位数字“年”是偶数;其次由“新”+“年”小于18,且9+9+8=26得“年”=6,从而“新”≤3.
“贺”与被乘数相乘,所得积得末两位是96,所以“贺”=7或2.
如果“贺”为7,那么“贺”ד恭”所得积得个位数字是9-5=4,所以“恭”=2.因为新≤3,而且≠2,经检验只有乘数的个位数字为4,“新”为1.从而被乘数的百位数字为2,乘法算式即为228×174=39672.
如果“贺”为2,那么“贺”ד恭”所得积的个位数字是9-1=8,所以“恭”=4,因为“新”≤3,而且≠2,经检验只有乘数的个位数字为7或9,但这时它们与被乘数的积都不是三位数,所以这种情况不可能出现.
于是乘积是39672.
11.在图15-11所示的乘法算式中,每个方框和汉字都代表一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字.那么,这个乘法算式的最后乘积是多少?
[分析与解]两个数字相乘为9,只能是1×9,3×3,3×7,9×1,而且前一个选定,则后一个也唯一确定,因此原式中,乘数的前3个数相同,而且乘数只有四种可能即1119,3337,7773,9991,被乘数的个位数字相应地为9,3,7,1.
在乘数为3337时,可逐步推出被乘数的十位、百位、千位数字依次为4、5、4,积为15159991.其他三种情况均没有符合要求的解.
有完整竖式如下:
.
12.在图15-12所示的乘法算式中,每个方框和字母都代表一个数字,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字.那么a+b+c等于多少?
[分析与解]注意第三、四行有被除数abc×a的个位为a,即c×a的个位为a;abc×b的个位为b,即c×b的个位为b.
则c×a-a的个位为0,c×b-b的个位也为0,有(c-1)×a,(c-1)×b的个位均为0,且c不为1(不然第三行应为三位数abc),所以c-1=5,那么c=6.且a、b均为偶数,所以a、b只能从2,4,8中选择,由第四、五行知b>a,那么只有三种情况:
,
,
显然只有286×826满足,对应a+b+c=2+8+6=16.
13.图15-13是一个乘法算式,其中的每个方框和汉字都代表一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字.那么,当算式成立时,“巴西法国争夺冠军”这8个字所代表的八位数是多少?
[分析与解]易知“法”=0,“国”=5或6,“巴”为1,2或3.
若“国”=6,由“巴×国”的个位数字是“法”,得“巴”=5,与“巴”为1,2或3矛盾,所以“国”=5,“巴”=2.
由“西×巴”是一位数,得“西”小于等于4,于是只能是3或4.
若“西”=3,由2306×2306=5317636,“冠”=3=“西”,矛盾,所以“西”=4.
由2406×4=9624,2406×2406=5788836知,“争夺”=96,“冠军”=78.
有完整竖式如下:
.
那么“巴西法国争夺冠军”为24059678.
14.在如图15-14所示的算式中,每个方框和汉字都代表一个数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字.那么,当算式成立时,最后的乘积是多少?
[分析与解]我们先看十位,有“狂”+“盟”对应“狂”,而个位不可能进位,所以“盟”为0.
那么,乘数的十位“滥”与被乘数的个位“约”的乘积为10的倍数,所以“滥”、“约”的其中一个为5,另一个为偶数;
如果“约”为5,那么第4、5、6行的最右边的数只能为5或0,而“狂”不能等于“盟”,所以“狂”只能为5,则“狂”等于“约”,显然不满足,所以“滥”为5,“约”应为偶数.
又有“狂”ד约”与“轰”ד约”的个位数字相同,均为“狂”,而“约”又是偶数,所以“轰”=“狂”+5,那么“狂”小于等于4,而“狂”又不能为1,不然第六行的最右边数“狂”将等于“约”.
又因为“狂”还是“轰”ד约”即“轰”与一个偶数的乘积的个位数字,所以“狂”为偶数,那么“狂”只能为2或4.
当“狂”为4时,“北约”最小为26,26×4=104为三位数,则第六行为三位数,矛盾.所以“狂”为2.则“轰”=2+5=7.
由第五、六行知,“约”只能为6,那么“北”只能是3,这是因为:
如果“北”不取3,又不能取1、0,还不能取“狂”相同的数2,所以最小为4,那么“北约”ד狂轰滥炸”对应为“北6”ד275炸”为六位数,即最后的乘积应为六位数,矛盾.
所以“北”为3,那么被乘数“北约”为36.
则第三行“□狂□”为36ד炸”=□2□,于是3ד炸”的个位加上6ד炸”的十位为10的倍数加2,所以“炸”只能为“9”.
那么乘数为“狂轰滥炸”2759.
有完整的竖式如下:
.
15.按照图15-15给出的各数字的奇偶性补全这个除法竖式.
[分析与解]注意到除数乘以商的百位数字所得的积对应为“偶奇偶”,而除数的个位为6,商的个位是6,商的百位是一个奇数.
首先商的百位不为1,只能从3,5,7,9中取值,而它们乘以6都会有进位.又因为商的百位数字和除数的十位数字都是奇数,它们的乘积仍是奇数,而商的百位与除数的积的十位数字也是奇数,所以商的百位乘以6以后所进的数一定是偶数.而只有6×7=42,正好进位偶数4,因此商的百位是7.
因为商的百位数字乘以除数仍是三位数,因此,除数的首位一定是1;而它们的积的首位是偶数,所以只能是8,再进一步就可以很容易地得出除数的十位数字为1,于是除数为116.
再确定商的十位数字,它乘上116之后是“奇偶偶”的情形,且它是一个奇数,那么只可能是3或者5.116×3=348,116×5=580.
如果商的十位数字是5,那么“奇奇奇”减580所得的差不可能是“偶奇”的形式.因此商的十位数字是3.
最后看商的个位,是个偶数,乘以116之后积是“偶奇偶”的形式.这只可能是2或6.116×2=232,116×6=696.
再联系商的十位数字,116×3=348,若商的个位为6,则应该有:
348加上69以后所得三位数是“奇奇奇”的形式,而348+69=417不是“奇奇奇”的形式.所以商的个位是2.
因此,商是732,除数是116,被除数是732×116=84912.
有完整的竖式如下:
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