动态规划作业完整.docx
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动态规划作业完整
动态规划作业
1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器,由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择,而进口港又有三个可供选择,进口后可经由两个城市到达目的地,其间的运输成本如图中所标的数字,试求运费最低的路线?
把A看作终点,该问题可分为4个阶段。
fk(Sk)表示从第K阶段点Sk到终点A的最短距离。
f4(B1)=20,f4(B2)=40,f4(B3)=30
f3(C1)=min[d3(C1,B1)+f4(B1),d3(C1,B2)+f4(B2),d3(C1,B3)+f4(B3)]=70,U3(C1)=B2或B3
f3(C2)=40,U3(C2)=B3
f3(C3)=80,U3(C3)=B1或B2或B3
f2(D1)=80,U2(D1)=C1
f2(D2)=70,U2(D2)=C2
f1(E)=110,U1(E)=D1或D2
所以可以得到以下最短路线,
E→D1→C1→B2/B3→A
E→D2→C2→B3→A
2、习题4-2
解:
1)将问题按地区分为三个阶段,三个地区的编号分别为1、2、3;
2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数,
Xk表示为分配给第k个地区的销售点数,Sk+1=Sk-Xk
Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值
fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值
3)递推关系式:
fk(Sk)=max[Pk(Xk)+fk+1(Sk-Xk)]k=3,2,1
f4(S4)=0
4)从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3个销售点(S3=0,1,2,3,4)全部分配给第三个地区时,最大利润值为:
f3(S3)=max[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2,3,4
表1
X3
S3
P3(X3)
f3(S3)
X3*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
12
12
1
2
22
22
2
3
36
36
3
4
47
47
4
第二阶段:
设将S2个销售点(S2=0,1,2,3,4)分配给乙丙两个地区时,对每一个S2值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:
f2(S2)=max[P2(X2)+f3(S2-X2)]
其中,X2=0,1,2,3,4
表2
X2
S2
P2(X2)+f3(S2-X2)
f2(S2)
X2*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0+12
13+0
13
1
2
0+22
13+12
24+0
25
1
3
0+36
13+22
24+12
34+0
36
0,2
4
0+47
13+36
24+22
34+12
42+0
49
1
第一阶段:
设将S1个销售点(S1=4)分配给三个地区时,则最大利润值为:
f1(S1)=max[P1(X1)+f2(4-X1)]
其中,X1=0,1,2,3,4
表3
X1
S1
P1(X1)+f2(4-X1)
f1(4)
X1*
0
1
2
3
4
4
0+49
16+36
28+25
40+13
50+0
53
2,3
然后按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有两个:
最大总利润为53
1)由X1*=2,X2*=1,X3*=1。
即得第一个地区分得2个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得1个销售点。
2)由X1*=3,X2*=1,X3*=0。
即得第一个地区分得3个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得0个销售点。
3、某施工单位有500台挖掘设备,在超负荷施工情况下,年产值为20万元/台,但其完好率仅为0.4,在正常负荷下,年产值为15万元/台,完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量,使第四年年末仍有160台设备保持完好,并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
解:
1)该问题分成四个阶段,k表示年度,k=1,2,3,4
2)设Sk表示为分配给第k年初拥有的完好挖掘设备数量,
Uk表示为第k年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量,
Dk(Sk)={Uk|0≤Uk≤Sk}
Sk-Uk表示为第k年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。
状态转移方程:
Sk+1=0.4Uk+0.8(Sk-Uk),S1=500台
3)设vk(sk,uk)为第k年度的产量,则
vk=20Uk+15(Sk-Uk)
故指标函数为V1,4=
fk(Sk)表示由资源量Sk出发,从第k年开始到第4年结束时所生产的产量最大。
4)递推关系式:
fk(Sk)=MAX{20Uk+15(Sk-Uk)+fk+1[0.4Uk+0.8(Sk-Uk)]}k=1,2,3,4
5)从第4阶段开始,向前逆推计算
当k=4时,
S5=160,0.4U4+0.8(S4-U4)=1602S4-U4=400U4=2S4-400
f4(S4)=MAX{20U4+15(S4-U4)+f5[0.4U4+0.8(S4-U4)]}
=MAX{5U4+15S4}
=25S4-2000
当k=3时,
f3(S3)=MAX{20U3+15(S3-U3)+f4[0.4U3+0.8(S3-U3)]}
=MAX{5U3+15S3+25(0.8S3-0.4U3)-2000}
=MAX{-5U3+35S3-2000}
故得最大解U3*=0
所以f3(S3)=35S3-2000
依次类推,可求得:
U2*=0,f2(S2)=43S2-2000
U1*=0,f1(S1)=49.4S1-2000
因为S1=500台,故f1(S1)=22700台
最优策略为U1*=0,U2*=0,U3*=0,U4*=112
已知S1=500,
S2=0.4U1*+0.8(S1-U1*)=0.8S1=400
S3=0.4U2*+0.8(S2-U2*)=0.8S2=320
S4=0.4U3*+0.8(S3-U3*)=0.8S3=256
U4=2S4-400=112S4-U4=256-112=144
即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工,第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工,144台投入正常负荷下施工。
这样最高产量为22700台。
4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭,生产以万只为单位。
根据以往记录,一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。
设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元,每生产一批的装配费为2万元,每万只的生产成本费为1万元。
问应该怎样安排四个季度的生产,才能使总的费用最小?
再生产点性质,
C(1,1)=C(3)+h(0)=5C(1,2)=C(5)+h
(2)=7.4
C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)=11.6
C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h
(2)=14.8
C(2,2)=C
(2)+h(0)=4C(2,3)=C(5)+h(3)=7.6
C(2,4)=C(7)+h(5)+h
(2)=10.4
C(3,3)=C(3)+h(0)=5C(3,4)=C(5)+h
(2)=7.4
C(4,4)=C
(2)+h(0)=4
f0=0f1=f0+C(1,1)=5j
(1)=1
f2=min{f0+C(1,2),f1+C(2,2)}=min{0+7.4,5+4}=7.4j
(2)=1
f3=min{f0+C(1,3),f1+C(2,3),f2+C(3,3)}
=min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6j(3)=1
F4=min{f0+C(1,4),f1+C(2,4),f2+C(3,4),f3+C(4,4)}
=min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11.6+4}=14.8j(4)=1,3
当j(4)=1,X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0
当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。
5、某工厂生产三种产品,各产品重量与利润关系如下表所示,现将此三种产品运往市场出售,运输能力总重量不超过6吨。
问如何安排运输使总利润最大。
种类
1
2
3
重量
2
3
4
利润
80
130
180
解:
6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制,由于资金不足,估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、0.80,因而都研制不成功的概率为0.4×0.6×0.8=0.l92。
为了促进三种新产品的研制,决定增援2万元的研制费,并要资金集中使用,以万元为单位进行分配。
其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。
试问如何分配费用,使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。
解:
1)(1分)将问题按产品A、B、C分为三个阶段,k=1、2、3;
2)(6分)设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费,S1=2
Xk设为决策变量,表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。
状态转移方程为Sk+1=Sk-Xk
允许决策集合:
Dk(Sk)={Xk∣0≤Xk≤Sk,Xk为整数}
Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率
fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率
3)(4分)递推关系式:
fk(Sk)=min[Pk(Xk)×fk+1(Sk-Xk)]k=3,2,1
边界条件:
f4(S4)=1
4)(11分)从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3万元研制费(S3=0,1,2)全部分配给C产品时,最小的失败概率为:
f3(S3)=min[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2
X3
S3
P3(X3)
f3(S3)
X3*
0
1
2
0
0.80
0.80
0
1
0.50
0.50
1
2
0.30
0.30
2
X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。
第二阶段:
设将S2万元研制费(S2=0,1,2)分配给B、C产品时,最小的失败概率为:
f2(S2)=min[P2(X2)×f3(S2-X2)]
其中,X2=0,1,2
X2
S2
P2(X2)×f3(S2-X2)
f2(S2)
X2*
0
1
2
0
0.60×0.80
0.48
0.48
0
1
0.60×0.50
0.30
0.40×0.80
0.32
0.30
0
2
0.60×0.30
0.18
0.40×0.50
0.20
0.20×0.80
0.16
0.16
2
第一阶段:
设将S1万元研制费(S1=2)分配给三个产品时,最小的失败概率为:
f1(S1)=min[P1(X1)×f2(S1-X1)]
其中,X1=0,1,2
X1
S1
P1(X1)×f2(S1-X1)
f1
(2)
X1*
0
1
2
2
0.40×0.16
0.064
0.20×0.30
0.060
0.15×0.48
0.072
0.060
1
5)即分配给A产品1万元,B产品0万元,C产品1万元,可使三个小组都失败的概率减小到0.060。
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