备战高考高三数学热点难点突破 极坐标与参数方程.docx
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备战高考高三数学热点难点突破极坐标与参数方程
备战2018年高考高三数学热点难点突破极坐标与参数方程
考纲要求:
极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现,在知识上结合解析几何,考查学生曲线方程的转化能力,以及解析几何的初步技能。
题目难度不大,但需要学生能够快速熟练的解决问题
基础知识回顾:
(一)极坐标:
1、极坐标系的建立:
以平面上一点为中心(作为极点),由此点引出一条射线,称为极轴,这样就建立了一个极坐标系
2、点坐标的刻画:
用一组有序实数对确定平面上点的位置,其中代表该点到极点的距离,而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度,通常:
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化:
如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴重合,则同一个点可具备极坐标和直角坐标,那么两种坐标间的转化公式为:
,由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化,例如:
极坐标方程(在转化成时要设法构造,然后进行整体代换即可)
(二)参数方程:
1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数,那么就称为该曲线的参数方程,其中称为参数
2、参数方程与一般方程的转化:
消参法
(1)代入消参:
(2)整体消参:
,由可得:
(3)平方消参:
利用消去参数
3、常见图形的参数方程:
(1)圆:
的参数方程为:
,其中为参数,其几何含义为该圆的圆心角
(2)椭圆:
的参数方程为,其中为参数,其几何含义为椭圆的离心角
(3)双曲线:
的参数方程为,其中为参数,其几何含义为双曲线的离心角
(4)抛物线:
的参数方程为,其中为参数
(5)直线:
过,倾斜角为的直线参数方程为,其中代表该点与的距离
注:
对于极坐标与参数方程等问题,通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程,然后利用传统的解析几何知识求解
应用举例:
例1.【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知在平面直角坐标系中,为坐标原点,曲线:
(为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,有相同单位长度的极坐标系中,直线:
.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)求与直线平行且与曲线相切的直线的直角坐标方程。
(Ⅱ)设所求直线方程为:
由圆心C到直线的距离即可求出
试题解析:
(Ⅰ)曲线C:
,
平方可得:
:
曲线C的普通方程:
x2+y2=4.
直线l:
,,由
得直线l的直角坐标方程:
x+y-2=0.
(Ⅱ)所求直线方程为:
∵圆心(0,0)半径为2,圆心C到直线的距离,
所以所求直线方程为:
例2.【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】
已知直线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线与圆的普通方程;
(Ⅱ)若直线分圆所得的弧长之比为,求实数的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知:
,
;
(Ⅱ);
直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°,可得弦长为;
;
或.
例3.【四川省泸州市高级中学2018届高三第一次诊断性考试】
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为().
(Ⅰ)设为参数,若,求直线的参数方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于,,设,且,求实数的值.
【答案】(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)把直线的极坐标方程化为普通方程,把,代入上式即可求解直线的参数方程;
(Ⅱ)由曲线的极坐标方程,得出曲线的直角坐标方程,将直线的参数方程与的直角坐标方程联立,求得,,再由题设得,即可求解实数的值.
(Ⅱ)由(),得(),
由,代入,得()
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立,
得.(*)
.
,,
设点,分别对应参数,恰为上述方程的根.
则,,,
由题设得.
则有,得或.
因为,所以.
方法、规律归纳:
必记的曲线参数方程
已知条件
普通方程
参数方程
经过点P(x0,y0),倾斜角为α
(α为参数)
圆心在点M0(x0,y0),半径为r
(θ为参数)
长半轴a和短半轴b
椭圆+=1(a>b>0)
(θ为参数)
实轴a和虚轴b
双曲线-=1(a>0,b>0)
(θ为参数)
已知p
抛物线y2=2px(p>0)
实战演练:
1.【北京市东城区65中学2018届高三上学期期中考试】极坐标方程表示的圆的半径是().
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】将极坐标方程两边同乘,得,
化为直角坐标方程为,
整理得,
所表示圆的半径。
选.
2.【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】
在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为。
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积。
【答案】
(1)曲线:
,直线的直角坐标方程;
(2)1.
试题解析:
(1)曲线化为普通方程为:
,
由,得,
所以直线的直角坐标方程为。
(2)直线的参数方程为(为参数),
代入化简得:
,
设两点所对应的参数分别为,则,
。
3.【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线C上求一点,使它到直线(为参数)的距离最短,写出点的直角坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)点的坐标为.
【解析】试题分析:
试题解析:
(Ⅰ)∵,
∴,
将代入上式可得。
曲线的直角坐标方程为。
(Ⅱ)由消去,得的普通方程为,
故圆与直线相离。
设点,且点到直线的距离最短,
则曲线在点处的切线与直线平行,
,
又
或,
。
结合图形可得点的坐标为。
4.【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线?
(Ⅱ)设曲线与曲线的交点为,,,当时,求的值.
【答案】
(1)见解析;
(2).
(2)将代入得,由直线参数方程的几何意义,设,
,所以,从而,由于,所以.
5.【重庆市梁平区2018届二调】
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.圆C的极坐标方程为,设直线l与圆C交于两点.
(Ⅰ)求角的取值范围;
(Ⅱ)若点的坐标为,求的取值范围.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)联立圆的直角坐标方程与直线的参数方程可得,利用二次函数的性质可知,据此求解三角不等式可得.
(2)结合
(1)的结论和直线参数方程的几何意义可得,则的取值范围为.
试题解析:
(1)圆的直角坐标方程
把代入得
①
又直线与圆交于两点,所以
,解得:
或
又由
故.
(2)设方程①的两个实数根分别为,则由参数的几何意义可知:
又由,所以,
于是的取值范围为.
6.【广州市2018届高三上学期第一次调研测试】
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;
(2)已知点是曲线上的任意一点,求点到直线的距离的最大值和最小值.
【答案】
(1)为圆心在原点,半径为2的圆,
(2)取到最小值为最大值为
试题解析:
(1)因为曲线的参数方程为(为参数),
因为,则曲线的参数方程.
所以的普通方程为.
所以为圆心在原点,半径为2的圆.
所以的极坐标方程为,即.
(2)解法:
直线的普通方程为.
曲线上的点到直线的距离.
当即时,取到最小值为.
当即时,取到最大值为.
7.【山东省烟台市实验中学2018届高三上学期第三次诊断考试】在极坐标系中,点M的坐标为,曲线C的方程为;以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线l经过点M.
(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程:
(II)若P为曲线C上任意一点,直线l和曲线C相交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.
【答案】
(1)直线方程为y=﹣x+3,曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2;
(2)
解析:
(1)∵在极坐标系中,点M的坐标为,
∴x=3cos=0,y=3sin=3,
∴点M的直角坐标为(0,3),
∴直线方程为y=﹣x+3,
由,得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0,
即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
(2)圆心(1,1)到直线y=﹣x+3的距离,
∴圆上的点到直线L的距离最大值为,
而弦
∴△PAB面积的最大值为。
8.【2017-2018学年福建省高三上学期三校联考】在直角坐标系中,直线过点且斜率为1,以为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线的交点为,求的值.
【答案】
(1),,
(2).
【解析】试题分析:
(1)直线的参数方程为;利用公式化简可得极坐标方程;
(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,由根与系数的关系,结合参数的几何意义,则可得结果.
试题解析:
(1)直线的参数方程为,
所以曲线C的直角坐标方程为,
(2)将直线的参数方程代入曲线方程
得
,
==.
9.【贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次月考】在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为级轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程;
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到曲线C2上的距离的最小值.
【答案】
(1)C1的普通方程为:
曲线C2:
x+y=6;
(2).
【解析】试题分析:
(1)消去参数α可得曲线C1的普通方程;利用化简可得曲线C2的直角坐标方程;
(2)设椭圆上的点,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的知识求解即可.
试题解析:
(1)由曲线C1:
为参数),
曲线C1的普通方程为:
由曲线C2:
ρsin(π+)=3,展开可得:
(sinθ+cosθ)=3,
化为:
x+y=6.
(2)椭圆上的点到直线O的距离为
其中,
所以当sin(α+φ)=1时,P的最小值为.
10.【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线上一点,若点到曲线的最小距离为,求的值.
【答案】
(1),
(2)或.
【解析】试题分析:
(1)消去参数得到的普通方程为.利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)把的直角方程转化为参数方程,利用点到直线的距离公式算出距离为,利用得到.因为直线与椭圆是相离的,所以或,分类讨论就可以得到相应的值.
解析:
(1)由曲线的参数方程,消去参数,可得的普通方程为:
.
由曲线的极坐标方程得,∴曲线的直角坐标方程为.
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