二元一次方程解法大全.docx
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二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±根号下n+m.
例1.解方程
(1)(3x+1)2=7
(2)9x2-24x+16=11
分析:
(1)此方程显然用直接开平方法好做,
(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:
(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解:
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:
用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边:
ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:
x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:
x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式:
(x+)2=
当b^2-4ac≥0时,x+=±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注:
X^2是X的平方)
解:
将常数项移到方程右边3x^2-4x=2
将二次项系数化为1:
x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
x2-x+()2=+()2
配方:
(x-)2=
直接开平方得:
x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=.
3.公式法:
把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程2x2-8x=-5
解:
将方程化为一般形式:
2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
∴原方程的解为x1=,x2=.
4.因式分解法:
把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8
(2)2x2+3x=0
(3)6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学)
(1)解:
(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:
2x2+3x=0
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:
有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:
6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,x2=-是原方程的解。
(4)解:
x2-2(+)x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。
但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。
(三种重要的数学方法:
换元法,配方法,待定系数法)。
二元一次方程练习题
一、判断
1、是方程组的解…………()
2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解()
3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组()
4、方程组,可以转化为()
5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程,则a的值为±1()
6、若x+y=0,且|x|=2,则y的值为2…………()
7、方程组有唯一的解,那么m的值为m≠-5…………()
8、方程组有无数多个解…………()
9、x+y=5且x,y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………()
10、方程组的解是方程x+5y=3的解,反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………()
11、若|a+5|=5,a+b=1则………()
12、在方程4x-3y=7里,如果用x的代数式表示y,则()
二、选择:
13、任何一个二元一次方程都有()
(A)一个解;(B)两个解;
(C)三个解;(D)无数多个解;
14、一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为6,那么符合条件的两位数的个数有()
(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个
15、如果的解都是正数,那么a的取值范围是()
(A)a<2;(B);(C);(D);
16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解,那么m的值是()
(A)2;(B)-1;(C)1;(D)-2;
17、在下列方程中,只有一个解的是()
(A)(B)
(C)(D)
18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是()
(A)15x-3y=6(B)4x-y=7(C)10x+2y=4(D)20x-4y=3
19、下列方程组中,是二元一次方程组的是()
(A)(B)
(C)(D)
20、已知方程组有无数多个解,则a、b的值等于()
(A)a=-3,b=-14(B)a=3,b=-7
(C)a=-1,b=9(D)a=-3,b=14
21、若5x-6y=0,且xy≠0,则的值等于()
(A)(B)(C)1(D)-1
22、若x、y均为非负数,则方程6x=-7y的解的情况是()
(A)无解(B)有唯一一个解
(C)有无数多个解(D)不能确定
23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0,则2x2-3xy的值是()
(A)14(B)-4(C)-12(D)12
24、已知与都是方程y=kx+b的解,则k与b的值为()
(A),b=-4(B),b=4
(C),b=4(D),b=-4
三、填空:
25、在方程3x+4y=16中,当x=3时,y=________,当y=-2时,x=_______
若x、y都是正整数,那么这个方程的解为___________;
26、方程2x+3y=10中,当3x-6=0时,y=_________;
27、如果0.4x-0.5y=1.2,那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________;
28、若是方程组的解,则;
29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________;
30、如果x=1,y=2满足方程,那么a=____________;
31、已知方程组有无数多解,则a=______,m=______;
32、若方程x-2y+3z=0,且当x=1时,y=2,则z=______;
33、若4x+3y+5=0,则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________;
34、若x+y=a,x-y=1同时成立,且x、y都是正整数,则a的值为________;
35、从方程组中可以知道,x:
z=_______;y:
z=________;
36、已知a-3b=2a+b-15=1,则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________;
四、解方程组
37、;38、;
39、;40、;
41、;42、;
43、;44、;
45、;46、;
五、解答题:
47、甲、乙两人在解方程组时,甲看错了①式中的x的系数,解得;乙看错了方程②中的y的系数,解得,若两人的计算都准确无误,请写出这个方程组,并求出此方程组的解;
48、使x+4y=|a|成立的x、y的值,满足(2x+y-1)2+|3y-x|=0,又|a|+a=0,求a的值;
49、代数式ax2+bx+c中,当x=1时的值是0,在x=2时的值是3,在x=3时的值是28,试求出这个代数式;
50、要使下列三个方程组成的方程组有解,求常数a的值。
2x+3y=6-6a,3x+7y=6-15a,4x+4y=9a+9
51、当a、b满足什么条件时,方程(2b2-18)x=3与方程组都无解;
52、a、b、c取什么数值时,x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等?
53、m取什么整数值时,方程组的解:
(1)是正数;
(2)是正整数?
并求它的所有正整数解。
54、试求方程组的解。
六、列方程(组)解应用题
55、汽车从甲地到乙地,若每小时行驶45千米,就要延误30分钟到达;若每小时行驶50千米,那就可以提前30分钟到达,求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间?
56、某班学生到农村劳动,一名男生因病不能参加,另有三名男生体质较弱,教师安排他们与女生一起抬土,两人抬一筐土,其余男生全部挑土(一根扁担,两只筐),这样安排劳动时恰需筐68个,扁担40根,问这个班的男女生各有多少人?
57、甲、乙两人练习赛跑,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟就可以追上乙;如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,求两人每秒钟各跑多少米?
58、甲桶装水49升,乙桶装水56升,如果把乙桶的水倒入甲桶,甲桶装满后,乙桶剩下的水,恰好是乙桶容量的一半,若把甲桶的水倒入乙桶,待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的,求这两个水桶的容量。
59、甲、乙两人在A地,丙在B地,他们三人同时出发,甲与乙同向而行,丙与甲、乙相向而行,甲每分钟走100米,乙每分钟走110米,丙每分钟走125米,若丙遇到乙后10分钟又遇到甲,求A、B两地之间的距离。
60、有两个比50大的两位数,它们的差是10,大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数,且也是一个两位数,求原来的这两个两位数。
【参考答案】
一、1、√;2、√;3、×;4、×;5、×;6、×;
7、√;8、√;9、×;10、×;11、×;12、×;
二、13、D;14、B;15、C;16、A;17、C;18、A;
19、C;20、A;21、A;22、B;23、B;24、A;
三、25、,8,;26、2;27、;28、a=3,b=1;
29、30、;31、3,-432、1;33、20;
34、a为大于或等于3的奇数;35、4:
3,7:
936、0;
四、37、;38、;39、;40、;
41、;42、;43、;44、;
45、;46、;
五、47、,;48、a=-149、11x2-30x+19;
50、;51、,b=±352、a=6,b=11,c=-6;
53、
(1)m是大于-4的整数,
(2)m=-3,-2,0,,,;
54、或;
六、55、A、B距离为450千米,原计划行驶9.5小时;
56、设女生x人,男生y人,
57、设甲速x米/秒,乙速y米/秒
58、甲的容量为63升,乙水桶的容量为84升;
59、A、B两地之间的距离为52875米;
60、所求的两位数为52和62。
二元一次方程组练习题100道(卷二)
一、选择题:
1.下列方程中,是二元一次方程的是()
A.3x-2y=4zB.6xy+9=0C.+4y=6D.4x=
2.下列方程组中,是二元一次方程组的是()
A.
3.二元一次方程5a-11b=21()
A.有且只有一解B.有无数解C.无解D.有且只有两解
4.方程y=1-x与3x+2y=5的公共解是()
A.
5.若│x-2│+(3y+2)2=0,则的值是()
A.-1B.-2C.-3D.
6.方程组的解与x与y的值相等,则k等于()
7.下列各式,属于二元一次方程的个数有()
①xy+2x-y=7;②4x+1=x-y;③+y=5;④x=y;⑤x2-y2=2
⑥6x-2y⑦x+y+z=1⑧y(y-1)=2y2-y2+x
A.1B.2C.3D.4
8.某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则下面所列的方程组中符合题意的有()
A.
二、填空题
9.已知方程2x+3y-4=0,用含x的代数式表示y为:
y=_______;用含y的代数式表示x为:
x=________.
10.在二元一次方程-x+3y=2中,当x=4时,y=_______;当y=-1时,x=______.
11.若x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,则m=_____,n=______.
12.已知是方程x-ky=1的解,那么k=_______.
13.已知│x-1│+(2y+1)2=0,且2x-ky=4,则k=_____.
14.二元一次方程x+y=5的正整数解有______________.
15.以为解的一个二元一次方程是_________.
16.已知的解,则m=_______,n=______.
三、解答题
17.当y=-3时,二元一次方程3x+5y=-3和3y-2ax=a+2(关于x,y的方程)有相同的解,求a的值.
18.如果(a-2)x+(b+1)y=13是关于x,y的二元一次方程,则a,b满足什么条件?
19.二元一次方程组的解x,y的值相等,求k.
20.已知x,y是有理数,且(│x│-1)2+(2y+1)2=0,则x-y的值是多少?
21.已知方程x+3y=5,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为.
22.根据题意列出方程组:
(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,问明明两种邮票各买了多少枚?
(2)将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼?
23.方程组的解是否满足2x-y=8?
满足2x-y=8的一对x,y的值是否是方程组的解?
24.(开放题)是否存在整数m,使关于x的方程2x+9=2-(m-2)x在整数范围内有解,你能找到几个m的值?
你能求出相应的x的解吗?
答案:
一、选择题
1.D解析:
掌握判断二元一次方程的三个必需条件:
①含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③等式两边都是整式.
2.A解析:
二元一次方程组的三个必需条件:
①含有两个未知数,②每个含未知数的项次数为1;③每个方程都是整式方程.
3.B解析:
不加限制条件时,一个二元一次方程有无数个解.
4.C解析:
用排除法,逐个代入验证.
5.C解析:
利用非负数的性质.
6.B
7.C解析:
根据二元一次方程的定义来判定,含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程,注意⑧整理后是二元一次方程.
8.B
二、填空题
9.10.-10
11.,2解析:
令3m-3=1,n-1=1,∴m=,n=2.
12.-1解析:
把代入方程x-ky=1中,得-2-3k=1,∴k=-1.
13.4解析:
由已知得x-1=0,2y+1=0,
∴x=1,y=-,把代入方程2x-ky=4中,2+k=4,∴k=1.
14.解:
解析:
∵x+y=5,∴y=5-x,又∵x,y均为正整数,
∴x为小于5的正整数.当x=1时,y=4;当x=2时,y=3;
当x=3,y=2;当x=4时,y=1.
∴x+y=5的正整数解为
15.x+y=12解析:
以x与y的数量关系组建方程,如2x+y=17,2x-y=3等,
此题答案不唯一.
16.14解析:
将中进行求解.
三、解答题
17.解:
∵y=-3时,3x+5y=-3,∴3x+5×(-3)=-3,∴x=4,
∵方程3x+5y=-3和3x-2ax=a+2有相同的解,
∴3×(-3)-2a×4=a+2,∴a=-.
18.解:
∵(a-2)x+(b+1)y=13是关于x,y的二元一次方程,
∴a-2≠0,b+1≠0,∴a≠2,b≠-1
解析:
此题中,若要满足含有两个未知数,需使未知数的系数不为0.
(若系数为0,则该项就是0)
19.解:
由题意可知x=y,∴4x+3y=7可化为4x+3x=7,
∴x=1,y=1.将x=1,y=1代入kx+(k-1)y=3中得k+k-1=3,
∴k=2解析:
由两个未知数的特殊关系,可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替,化“二元”为“一元”,从而求得两未知数的值.
20.解:
由(│x│-1)2+(2y+1)2=0,可得│x│-1=0且2y+1=0,∴x=±1,y=-.
当x=1,y=-时,x-y=1+=;
当x=-1,y=-时,x-y=-1+=-.
解析:
任何有理数的平方都是非负数,且题中两非负数之和为0,
则这两非负数(│x│-1)2与(2y+1)2都等于0,从而得到│x│-1=0,2y+1=0.
21.解:
经验算是方程x+3y=5的解,再写一个方程,如x-y=3.
22.
(1)解:
设0.8元的邮票买了x枚,2元的邮票买了y枚,根据题意得.
(2)解:
设有x只鸡,y个笼,根据题意得.
23.解:
满足,不一定.
解析:
∵的解既是方程x+y=25的解,也满足2x-y=8,
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程,但方程2x-y=8的解有无数组,
如x=10,y=12,不满足方程组.
24.解:
存在,四组.∵原方程可变形为-mx=7,
∴当m=1时,x=-7;m=-1时,x=7;m=7时,x=-1;m=-7时x=1.
二元一次方程应用题
题型一:
配套问题
1.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
题型二:
年龄问题
2.甲对乙说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁”.乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁”.请你算一算,甲、乙现在各多少岁?
题型三:
百分比问题
3.有甲乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%的合金100千克,甲、乙两种合金各应取多少?
题型四:
数字问题
4.有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.
题型五:
古算术问题
5.巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧。
364只碗,看看用尽不差争。
三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。
请问先生明算者,算来寺内几多僧。
诗句的意思是:
寺内有三百六十四只碗,如果三个和尚共吃一碗饭,四个和尚共吃一碗羹,刚好够用,寺内共有和尚多少个?
题型六:
行程问题
6.甲乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行,1小时20分后相遇。
相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机,这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米?
题型七:
工程问题
7.某城市为了缓解缺水状况,实施了一项饮水工程,就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来,把这个工程交给了甲乙两个施工队,工期为50天,甲、乙两队合作了30天后,乙队因另有任务需要离开10天,于是甲队加快速度,每天多修了0.6千米,10天后乙队回来,为了保证工期,甲队保持现在的速度不变,乙队也比原来多修0.4千米,结果如期完成。
问甲乙两队原计划每天各修多少千米?
题型八:
方案决策问题
8.已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑,其价格分别为A型每台6000元,B型每台4000元,C型每台2500元,我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由。
9.某地生产的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此,公司研制了三种加工方案:
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工.方案二:
尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天完成.你认为选择哪种方案获利最多?
为什么?
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- 二元 一次方程 解法 大全
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