初中数学向量的线性运算知识点.docx

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初中数学向量的线性运算知识点

初中数学向量的线性运算知识点

一、选择题

1．下列说法正确的是（）

B．如果ar和br都是单位向量，那么

rr

A．a（a）0

rrr

C．如果|a||b|，那么a

D．ar1br（br为非零向量），那么

2

rr

a//b

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.

【详解】

解：

A、a（a）等于0向量，而不是0，故A选项错误；

B、如果ar和br都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错

误；

C、如果|ar||br|，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；

r1rrrr

D、如果ab（b为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到a//b，故D

选项正确.

故选：

D.

【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.

直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.

【详解】

解：

对于①，若，则方向相同，①正确；

对于②，若，则方向相反，②正确；

对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但

的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:

C.

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题

3．

下列等式正确的是（

）

uuuruuruuuuruuur

uuur

uuru

uuur

A．

AB+BC＝CB+BA

B．

AB

﹣BC

＝AC

uuuruuruuuruuuur

uuur

uuur

uuur

r

C．

AB+BC+CD＝DA

D．

AB

+BC﹣

AC＝

0

答案】D

解析】【分析】根据三角形法则即可判断

详解】

uuur

uuur

uuur

AB

BC

AC

uuuuruuur

uuur

uuur

uuur

r

AB

BC

AC

AC

AC

0，

故选D．

【点睛】

本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则

rr1rr

4．如果向量ar与单位向量er方向相反，且长度为，那么向量ar用单位向量er表示为

2

（）

r1r

A．ae

2【答案】C【解析】

解：

∵向量ar与单位向量er方向相反，且长度为

r1r∴ae．

2故选C．

5．下列判断正确的是（

rr

A．aa0

rrrB．如果ab，那么ra

r

r

么

那

C．若向量ar与br均为单位向量，那么rrr

D．对于非零向量rb，如果akb

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.

【详解】

A.arar等于0向量，而不是等于0，所以A错误；

rr

B.如果ab，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B错误；rr

C.若向量a与b均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C错

误；

D.对于非零向量br，如果arkbrk0，即可得到两个向量是共线向量，可得到rr

a//b，故D正确.

故答案为D.

【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.

6．已知矩形的对角线

uuur

AC、BD相交于点O，若BC

ruuur

a，DC

br，则（）

uuur1rr

A．BOab；

2

uuur1rr

C．BOba；2

【答案】D

【解析】

uuur

1

r

r

B．

BO

a

b

2

uuur

1

r

D．

BO

a

2

uuur1uuuruuur在BCD中，BO21BD,BD

uuuruuuruuurDCCB.CB

uuur

BC

uuur所以BO

1rr

1（b-ar）故选D

2

uuurr

uuurrr

r

7．若点O为平行四边形的中心，

AB4m1

，BC6m2，则3m2

2m1等于（

）

uuur

uuru

uuru

uuur

A．AO

B．BO

C．CO

D．DO

答案】B

解析】

【分析】

根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可

解:

∵在平行四边形

ABCD中,AB4m1，BC

6m2，

uuur∴AC

uuuruuurABBC

uur

4m1

uuruuuruuuruuuruuur6m2,BDBABCAC

uur

4m1

uuur∴AO

1uuur

AC

2

uur

2m1

uur

3m2，故A不符合题意；

uuurBO

1uuuru

BD3m

2

uruur

22m1，故B符合题意；

uuurCO

1uuur

AC

2

uur

2m1

uur

3m2，故C不符合题意；

uuur

DO

1uuur

BD

2

uur

2m1

uur

3m2，故D不符合题意.

故选B

详解】

uuur

uuur

uur

6m2,M分别为AC、BD的中点,

掌握平行四边形的对角线互相平分和向

【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.

则在下列命题中正确命题的个数是（）mar与ar的方向一定相反；mar与ar是平行向量；mar与nra的方向一定相同；

④mn

0，ar

r0时，mar与nar的方向一

定相反．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】

D

【解析】

【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可.

【详解】

解：

①因为m0，1>0，arr0，所以mra与ar的方向一定相反，故①正确；

②因为m0，1≠0，arr0，所以mar与ar是平行向量，故②正确；

③因为mn

④因为mn故选D.

【点睛】

rar

r0r

m和n同号，所以mra与nar的方向一定相同，故③正确；

m和n异号，所以mar与nra的方向一定相反，故④正确．

此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键

9．□ABCD中，-+等于（）

A．

B．

C．

D．

答案】A

解析】

分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．

【详解】

∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴=-

∴-+=-+=，故选A．

【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，

10．下列关于向量的运算中，正确的是

rrrrrrrrA．abba；B．2（ab）2a2b；

rrrrC．a（a）0；D．0aa．

【答案】B

解析】

分析】根据向量的运算法则进行计算.

【详解】

A.avb＝bav,所以A错误；

B.2avbv＝2av＋2bv，所以B正确；

C.av＋av＝0，所以C错误;

D.向量与数字不能相加，所以D错误．故选B.

【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键

11．已知e为单位向量，ar=-3e，那么下列结论中错误．．的是（）

A．a∥e

【答案】C

B．a3

C．ar与e方向相同D．ar与e方向相反

解析】【分析】由向量的方向直接判断即可【详解】

解：

er为单位向量，av=3er，所以av与er方向相反，所以C错误，故选C.

【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.

12．下列判断错误的是（）

vv

A．0?

a=0

rrrrrrrrrr

B．如果a+b=2c，a-b=3c，其中c0，那么a∥b

C．设er为单位向量，那么|re|=1

D．如果|ar|=2|br|，那么ar=2br或ra=-2br

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．

【详解】

A、0?

av=0v，故本选项不符合题意．

B、由av+bv=2cv，av-bv=3cv得到：

av＝5cv，bv＝﹣1cv，故两向量方向相反，av∥bv，22

故本选项不符合题意．

C、ev为单位向量，那么|ev|=1，故本选项不符合题意．

D、由|av|=2|b|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．

故选D．

【点睛】

考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．

13．下列说法不正确的是（）

A．设er为单位向量，那么|er|1

边形

D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解

答案】C

解析】【分析】

根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可．

确；uuuruuur

C.四边形ABCD中，如果满足AB//CD，|AD||BC|，即AD=BC，不能判定这个四边

形一定是平行四边形，此选项说法不正确；

D.平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确．

故选：

C．

点睛】

本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．

OD的值．

【详解】

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

uuur1uuur1rr1r1r

∴ODBD=（ab）ab

2222

故选：

D．

【点睛】

此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．

uuurruuurr

15．已知点C在线段AB上，AC3BC，如果ACa，那么BA用a表示正确的是（）

4

∴BA=AC，

3

uuuruuur∵BA与AC方向相反，

uuur

∴BA=

4r

a，

3

故选D.

【点睛】

掌握平面向量的运算法则，是解题的关键

本题主要考查平面向量的运算，

答案】C

解析】

分析】

A中忽视了向量的方向性,错误

B中忽视了向量的方向性,错误

D中忽视了向量的方向性,错误故选C.

【点睛】

本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键

列结论中错误的是（）

rrrB．（mn）a＝manarrrrD．若ma0，那么a0

空间向量的线性运算的理解：

（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；

（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；

（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．

【详解】

根据向量的运算法则，即可知A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确的，D中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．

解：

∵A、B、C均属于向量运算的性质，是正确的；

∵D、如果av=0v，则m=0或av=v0．∴错误．

故选D．

【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.

rrr

18．已知e是一个单位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正确的是（）

vvvvvv1avev1av1vbv

A．aeaB．ebbC．avaeD．avabvb

【答案】B

【解析】

【分析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．

【详解】

A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B.符合向量的长度及方向，正确；

C.得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误故答案选B.

点睛】

uuuvvuuuvv

ABa,BCb，那么

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量

19．如图，在VABC中，点D是在边BC上，且BD2CD，uAuDvu等于（）

A．ab

2v

B．a

3

23vb

v2v

C．ab

3

v2v

D．ab

3

答案】D

解析】

分析】根据BD2CD，即可求出uBuDvu，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．

详解】

解：

∵

BD2

CD

uuuv

2uuuv

2v

∴BD

2BC

b

3

3

uuuv

∴AD

uuuv

AB

uuuvv

BDa

2bv

3

故选D．

【点睛】

此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．

20．已知非零向量a、b、c，在下列条件中，不能判定a//b的是（）

分析：

根据平面向量的性质即可判断．

详解：

A．

∵ar∥cr，br∥cr，∴auurPbr，故本选项，不符合题意；

B．

∵ar=2cr，br=3cr，∴auurPbr，故本选项，不符合题意；C．

rruurr

∵a=﹣5b，∴aPb，故本选项，不符合题意；D．

rruurr

∵|a|=2|b|，不能判断aPb，故本选项，符合题意．故选D．

点睛：

本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．