141 空间向量的应用一精讲解析版.docx
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141空间向量的应用一精讲解析版
1.4.1空间向量应用
(一)
考法一平面的法向量
【例1】(2020年广东潮州)如图已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
【答案】见解析
【解析】以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,∴=是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中,=,=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,所以得方程组∴
令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
【一隅三反】
1.(2020年广东惠州)正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
【答案】见解析
【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).
(1)连接AC(图略),因为AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.
(2)=(2,2,0),=(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).
∴∴∴
令x=2,得y=-2,z=-1.∴n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.
2.(2019·涟水县第一中学高二月考)四棱锥中,底面,为正方形的对角线,给出下列命题:
①为平面PAD的法向量;
②为平面PAC的法向量;
③为直线AB的方向向量;
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量.
其中正确命题的序号是______________
【答案】②,③,④
【解析】①因为底面是正方形,所以,由平面PAD知不是平面PAD的法向量;
②由底面是正方形知,因为底面,BD平面ABCD,所以,又,平面PAC,平面PAC,所以平面PAC,为平面PAC的法向量,②正确;
③因为底面是正方形,所以,则为直线AB的方向向量,③正确;
④易知,因为底面,平面ABCD,所以,又,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,故④正确.
故答案为:
②,③,④
考点二空间向量证明平行
【例2】(2019年广东湛江二中周测)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:
PB∥平面EFG.
(2)证明平面EFG∥平面PBC
【答案】见解析
【解析】
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,
∴AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),设=s+t,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
∴解得s=t=2,∴=2+2,
又∵与不共线,∴,与共面.∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.
(2)证明 ∵=(0,1,0),=(0,2,0),∴=2,∴BC∥EF.
又∵EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF=F,EF,GF⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面PBC.
【一隅三反】
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:
MN∥平面A1BD.
【答案】见解析
【解析】 法一 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M,N,于是=(1,0,1),=(1,1,0),=.设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则
即取x=1,则y=-1,z=-1,∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
又·n=·(1,-1,-1)=0,∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
法二 =-=-=(-)=,∴∥,∴MN∥平面A1BD.
法三 =-=-=-=-=-.
即可用与线性表示,故与,是共面向量,故MN∥平面A1BD.
2.(2020·上海杨浦.复旦附中高二期中)已知平面的一个法向量为,则直线与平面的位置关系为_______.
【答案】直线在平面上或直线与平面平行
【解析】由,所以.又向量为平面的一个法向量.
所以直线在平面上或直线与平面平行.
故答案为:
直线在平面上或直线与平面平行.
3.(2019·江苏海陵.泰州中学高二月考)已知直线平面,且的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则______.
【答案】
【解析】由题意,知,∴,即,∴.
故答案为:
考法三空间向量证垂直
【例3】(2020.广东.田家炳中学)如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:
AB1⊥平面A1BD.
【答案】见解析
【解析】方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m=λ+μ.令=a,=b,=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空间的一个基底,
则=a+c,=a+b,=a-c,m=λ+μ=a+μb+λc,
·m=(a-c)·=4-2μ-4λ=0.故⊥m,结论得证.
方法二 取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,分别以OB,OO1,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).
因为n⊥,n⊥,故即
令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,
而=(1,2,-),所以=n,所以∥n,故AB1⊥平面A1BD.
【一隅三反】
1.(2018·浙江高三其他)已知平面的法向量为,,则直线与平面的位置关系为()
A.B.C.与相交但不垂直D.
【答案】A
【解析】.
本题选择A选项.
2.(2020·安徽池州。
高二期末(理))已知平面的法向量为,若直线平面,则直线l的方向向量可以为()
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】因为直线平面,故直线l的方向向量与平面的法向量平行,
因为,故选:
B.
3.(2019·瓦房店市实验高级中学高二月考)四棱锥中,底面是平行四边形,,,,则直线与底面的关系是()
A.平行B.垂直C.在平面内D.成60°角
【答案】B
【解析】依题意,而,所以,而,所以平面.故选:
B
4.(2020·江苏省邗江中学高一期中)如图,在正方体中,分别是的中点,试用空间向量知识解决下列问题
(1)求证:
(2)求证平面.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析
【解析】
(1)如图所示:
以为轴建立空间直角坐标系,设正方体边长为,
则,,,,,
故,,故,故.
(2),故,故,
又,,故平面.
5.(2019·九台市第四中学高二期末(理))如图,平面,四边形是矩形,,点是的中点,点在边上移动.
(1)当点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明理由;
(2)证明:
无论点E在边BC的何处,都有.
【答案】
(1)平面,理由见解析.
(2)证明见解析
【解析】
(1)是的中点,是的中点,
.又平面.平面,
平面.
(2)以为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则,,,
设,则
在上,
设,
,,
,.
无论点在边的何处,都有.
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