立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例).ppt
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立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例).ppt
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立体几何,习题课,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形,另一个侧面是等腰直角三角形。
求此三棱锥的体积。
A,B,C,S,E,F,提示:
设三棱锥S-ABC,侧面SAC、SBC为等边三角形,边长为,SASB。
取SA中点E,AB中点F,连接AE、BE、EF。
可证得:
SC平面ABE。
利用:
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。
注意:
分割法求体积。
(KEY:
),A,B,C,S,D,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形,另一个侧面是等腰直角三角形。
求此三棱锥的体积。
法二:
取AB中点D,连接SD,CD。
易得ABC为等腰直角三角形,ACB=90o。
则有SDAB,CDAB。
又SA=SB=SC,S在底面的射影为底面的外心,即点D,SD平面ABC。
由VS-ABC=SABCSD得三棱锥体积。
(解法2),例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求D1到截面C1BD的距离。
A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,提示:
利用=求解。
注意:
等体积法求点面距离。
KEY:
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,
(1)BC1与侧面ABB1A1所成的角为_;
(2)如果M为CC1的中点,则截面AB1M与底面所成的角的大小为_。
A,B,C,A1,B1,C1,D,N,注:
(1)中利用面面垂直的性质找线面成角。
(2)中射影面积公式的应用:
SAB1Mcos=SABC.,45o,例4、三棱锥V-ABC中,VA底面ABC,ABC=90o,VA=a,VB=b,AC=c(cb),M是VC中点。
(1)求证:
V,A,B,C四点在以M为球心的球面上;
(2)求VC与AB所成的角的大小。
A,V,B,C,M,E,F,G,例5、已知三棱锥P-ABC,PA=BC=5,PB=AC=,PC=AB=,求三棱锥的体积。
提示:
分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线,将原三棱锥补成一个长方体,如图,则VP-ABC=V长方体-4V。
设长方体长宽高分别为a、b、c,则有:
所以三棱锥P-ABC的体积为20(立方单位)。
P,A,B,C,例6、三棱锥P-ABC中,AP=AC,PB=2,将此棱锥沿三条侧棱剪开,其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。
(1)求证:
侧棱PBAC;
(2)求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。
A,B,C,P,D,B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,(甲),(乙),B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,A,B,C,P,D,解:
(1)(略),
(2)甲图中,作PDAC于D,连接BD,可得PDB即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。
乙图中,作AECP3于E点,则AE=P1P2=4。
PA=AC,即P3A=AC,E为CP3的中点。
设AP1=AC=AP3=m,CE=EP3=n,由CP2=CP3得:
m-n=2nm=3n又在ACP3中有:
AECP3=ACDP3,而AE=4,由得:
DP3=8/3,即PD=8/3。
甲图RtBPD里,BD=10/3,cosPDB=4/5,为所求。
(甲),(乙),2,如图,有一轴截面为正三角形的圆锥形容器,内部盛水高度为h,放入一个小球后,水面恰好与球相切,求球的半径。
R,2R,h,V1,V2,V2=V1+V球,课本P81第8题,小结:
1、分割法求体积;2、利用射影面积法求二面角;3、补形法求体积;4、几何体展开问题。
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