关于胡克定律两种表述的探讨.docx

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关于胡克定律两种表述的探讨

本科毕业论文（设计）

论文题目：

关于胡克定律两种表述的探讨

学号：

学生姓名：

指导教师：

所在学院：

所学专业：

2016年5月20日

摘要

随着社会的发展,在工农业生产和人们日常生活中胡克定律有着十分广泛的应用,R.胡克于1678年提出他的概念。

在物理学发展中它不仅仅是材料力学以及固体力学的一种基础理论知识，还是符合材料力学和弹性力学研究的一种基本规律。

胡克定律的基本概念可以表述为在材料的弹性区间里，固体材料发生的拉伸变形与它所受到的外力成正比；也可表述为在应力低于材料的比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε是成正比的，即σ＝Εε，式中E为常数，我们称作弹性模量（杨氏模量）。

如果我们把胡克定律应用到三向应力以及应变状态，就可以推导出广义胡克定律。

胡克定律为弹性力学的发展大厦夯实了基础。

为了能够支撑物理学的发展，就需要我们对于胡克定律有着更深层次的探讨。

所以，对胡克定律有着更深刻的认识是我们当前所迫切需要的。

胡克定律在力学中有着举足轻重的地位，它适用在所有的固体材料中。

作为一个物理基础理论概念，我们可以把它表示为：

在固体材料的弹性区间内，材料发生的形变跟引起它能够发生形变的外力成正比关系。

我们在学习高中物理知识的时候，已经接触过了胡克定律的一种表述。

它的表达式是F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是弹簧的劲度（倔强）系数。

在此时它们的单位分别是：

F的单位是牛，x的单位是米，它表示形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。

当弹簧伸长（或缩短）单位长度时它所具有的弹力此时在数值上与劲度系数相等。

所以这条定律也叫做弹性定律。

关键词：

胡克定律；杨氏模量；微观机制；弹性形变

Abstract

Asweallknow,Hooke'slawhasawiderangeofapplicationsinindustrialandagriculturalproductionanddailylife.Itisaveryimportantfoundationofsolidmechanics,suchasmechanicsofmaterials.Isoneofthebasiclawsofmechanicsofmaterialsandelasticity.NamedbyR.Hookein1678.Hooke'sLaw:

inthelinearelasticrangeofthematerial,thesolidofuniaxialtensiledeformationisproportionaltotheforceby;alsocanbeexpressedas:

inthestressbelowthelimitofproportionality,solidshouldstressstrainandsigmaepsilonproportional,namelysigma=epsilonepsilon,whereeisaconstant,saidelasticmodulusoryoung'smodulus.GeneralizedHooke'slawcanbeobtainedbyapplyingHooke'slawinthreetothestateofstressandstrain.Hooke'slawlaidthefoundationforthedevelopmentofelasticmechanics.Inordertosupportthedevelopmentofphysics,weneedtohaveadeeperdiscussionofHooke'slaw.Therefore,themoreprofoundunderstandingofHooke'slawistheurgentneedofourcurrent.

Hooke'slawisoneofthebasiclawsofmechanics.Theelasticlawapplicabletoallsolidmaterials,itispointedoutthat:

intheelasticlimit,thedeformationoftheobjectisproportionaltotheexternalforceofdeformation.

Weareinhighschoolphysicsstudy,contactwithHooke'slaw.ItisexpressedasF=-kxordeltaF=-kdeltax,wherekisaconstant,theobjectstiffnesscoefficient（JueQiang）.Intheinternationalsystemofunits,Funitsarecattle,Xunitsarerice,itisaformofvariables（elasticdeformation）,Kunitsarecow/m.Thecoefficientofstiffnessisequaltotheelasticforceofthespring,orthelengthoftheunit.Sothislawiscalledthelawofelasticity.

Keywords：

Hooke'slaw；Young'smodulus；microscopicmechanism；Elastic

deformation

目录

摘要I

AbstractII

目录III

引言1

第1章、胡克定律的两种表述2

1.1、惯性秤实验2

1.2、用拉伸法测定金属杨氏模量6

第2章、胡克定律两种表述的意义7

2.1、“惯性秤”实验中的胡克定律7

2.2、“弹性模量测定”实验中的胡克定律8

结论11

参考文献13

引言

在古代，人们在日常生活中，比如建造房屋，制作马车中获得了大量有关材料强度方面的知识，而且做了许多有关的实验。

我们耳熟能详的意大利科学家达·芬奇就做过这种实验。

他首先把一只篮子用铁丝吊在空中，然后慢慢的将沙子倒在悬在空中的篮子，一直往篮子中添加沙子直到铁丝断裂的那一刻。

这时候他测量了沙子的重量并记录下来；伽利略也做过和此类似的实验，只是他是在把重物放在悬梁臂，然后观察悬梁臂的弯曲程度。

不过，第一个发现弹性力定律的，是英国物理学家胡克（1635-1703年）。

胡克在研制天文仪器时，接触到了弹簧。

在他接触到弹簧之后做了许多关于弹簧实验来了解它的物理性质。

比如他把弹簧挂在空中，在弹簧的另一端增加重量，来观察弹簧的长度随着重量增加的变化。

他在经过了反复的试验后，发现弹簧一端所加重量的大小和弹簧的伸长长度成正比。

胡克对于他的实验结论很兴奋。

但是，要想知道弹簧的这种性质是不是对于所有的弹性体都是一样的，我们必须经过更多的实验来验证。

胡克测量过钟表的金属游丝、生活中常用的金属线、干燥的木棒、甚至动物的毛发、门窗上的玻璃、脚下的土块。

他得出了一个结论：

“对于我们能够接触到的每一个能够在外力作用下拉长或者缩短的物体，它拉长或缩短的距离与它所受到的外力大小成正比例关系。

”他在经过对于多种物体的弹性实验验证后于1678年发表了一篇名为《弹簧》的科学文章，展示了他对各种能够发生弹性形变的物体进行多次实验的结果。

他的这一发现奠定了材料力学和弹性力学的基础。

胡克的这种开创性工作和所取得的成果值得人们纪念，为此我们把他的发现叫“胡克定律”。

在物理学中，胡克定律是一个非常重要的定律。

同时在物理力学中它是一条最基本的定律。

它作为一种基本定律在许多研究中，比如材料力学或者固体力学研究范畴中起到了重要的作用。

尤其在工农业生产和日常生活中有着广泛的应用，在磅秤制造中、应力的分析和材料性质模拟等方面也有更加全面的应用。

胡克定律的基本概念可以表述为在材料的弹性区间里，固体材料发生的拉伸变形与它所受到的外力成正比；也可表述为在应力低于材料的比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε是成正比的，即σ＝Εε，式中E为常数，我们称作弹性模量（杨氏模量）。

作为物理学的一种重要基本理论，在当今生产力发展中我们常常会运用到。

在初中教材我们已经接触过弹性定律。

弹性定律的概念是：

在弹簧的弹性区间内，弹簧受到的合外力f和弹簧发生的伸长或缩短距离x成正比关系，即f=-kx。

k是弹簧的的劲度系数，它只和弹簧自身属性有关，负号在这里没有实际意义，只表明方向。

本课题旨在对胡克定律的两种表述进行分别探讨。

探讨胡克定律的两种不同表述形式其各自的物理意义，及其所表达材料的何种性质。

为了能够支撑物理学的发展，就需要我们对于胡克定律有着更深层次的探讨。

所以对胡克定律有着更深刻的认识是我们当前所迫切需要的。

第1章、胡克定律的两种表述

1.1、惯性秤实验

为了知道一个物体的惯性质量大小，一般在实验室中我们采取惯性秤实验用以测量。

在普通物理实验中惯性秤实验是一项重要内容,它是根据牛顿第二定律的内容以及在当今物理学实验中趋于成熟的振动比较法。

利用当研究材料发生振动时产生的加速度周期来确定研究材料的惯性质量,这种研究方法有着独特的意义。

实验室中我们一般用物理天平和分析天平来测量物体质量，他们的原理都是基于引力平衡的理论，所以实验室中测出的结果都是引力质量。

而在惯性秤实验中我们是为了更加深入的了解惯性质量的概念，为了和我们所测量的物体引力质量进行比较。

在实验中我们采用了动态的测量方法来测量物体的惯性质量。

实验目的：

掌握和理解用惯性秤方法测定物体惯性质量。

实验原理：

利用牛顿第二定律，

，所以

如果我们把相同大小的力作用在不同的物体上，分别测量出他们的加速度大小，然后物体的惯性质量就可以根据加速度来确定。

我们利用惯性秤来测量物体惯性质量。

惯性秤是由以下结构组成的，如下图所示。

惯性秤中平台（12）和秤台（13）之间用两条材料构成相同的金属弹簧片（8）进行连接。

平台由管制器（9）固定在支撑杆上，砝码和待测物（5）放在秤台上，可以注意到在秤台上有个一圆柱孔，该孔的作用是和砝码底座（包括小砝码和已知圆柱体）一起用来固定砝码组和待测物的位置。

首先水平固定惯性秤，我们用手将秤台沿着水平方向向左或向右拨动一定的距离，在松开手后，可以观察到秤台及其上面的物体将在水平方向作周期性的振动。

对秤台及上面物体进行受力分析我们发现此时只受到重力和秤臂的弹性恢复力作用，但因为秤臂此时是沿着水平方向做周期性振动的，而重力方向是竖直向下的，与秤臂运动方向相垂直，所以我们可以忽略不计。

此时作用在秤台上的只有秤臂的弹性恢复力。

在做这个实验时有个前提即我们认为秤台及待测物体具有很小的质量且秤台在作水平方向上的简谐运动时秤台左右振动的位移是很小的。

我们近似认为秤台上的物体只受到秤臂弹性恢复力的作用，根据胡克定律的表达式

，

表示秤臂两个金属弹簧片的劲度系数，

为秤台在水平方向上偏离初始位置的距离，又根据牛顿第二定律，我们可以得出秤台及待测物体的运动方程，即

式中

为空秤的惯性质量，

为秤台上放入砝码时的惯性质量．

它的振动周期

由下式决定

将上面式子两侧平方，可以写成

通过实验我们判断秤台上的砝码质量不大时，这时候

是常数。

上面我们推导出的式子它表达的是惯性秤秤台发生水平振动时振动周期

的平方和秤台上放入的砝码质量的关系。

我们既然通过实验测得了砝码质量

一一对应的周期值

时，我们可以作出

的关系图，我们把这个关系图叫做此惯性秤的定标曲线图。

在实验中，如果我们用计算的方法不容易确定物体的惯性质量。

所以一般我们通过作图的方法来确定物体惯性质量。

首先我们作出

曲线图，然后在图中直接找到被测物体所对应的惯性质量。

我们必须注意在实验中严格按水平位置安置惯性秤，否则，惯性秤在水平方向的振动一旦受到重力的影响，就不能得到正确的结果。

在实验中我们是以理想状态情况测量物体惯性质量的，如果不能保持秤台在做简谐运动时处于水平位置，秤台在此时不仅会受到秤臂的弹性恢复力，还会受到重力分力的作用。

既然知道重力会对惯性秤实验产生影响，所以我们在进行实验中一般分两种情况考虑重力对于惯性秤的影响程度：

1、首先把惯性秤保持水平位置，接下来在秤台上的圆孔内用长度是L的细线将圆柱体悬挂起来。

这时因为悬线平衡了圆柱体的重量，使其不会再直接作用在秤臂上，此时再使惯性秤发生振动，秤台在与初始位置发生偏移后，秤台会受到一个重力在水平方向的分力作用，从而使惯性秤的振动周期发生了改变，如果此时细绳的长度L（近似认为是从悬挂点到圆柱体中心位置的距离）与秤台发生的位移x相比较，两者并不接近时，同时忽略掉秤台圆孔与圆柱体之间的摩擦力时，我们得出作用在惯性秤秤臂上的恢复力大小是（

），则我们可以推出振动周期是

通过推导出的结论，我们得到此时惯性秤秤臂的振动周期T相比在理想状态下得出的结论要小一些，对它们进行比较，两者之间的比值是

2、如果我们把惯性秤秤臂沿着重力作用方向平行放置，那么秤台中的砝码或待测物发生振动时也是在与重力作用线相平行的平面内进行运动，由于减小了重力对于秤台的影响，所以我们发现秤台的振动周期在与秤台水平放置时相比减小了。

如果从秤台中心点到秤台座的距离是l，我们可以写出惯性秤的秤臂发生简谐运动的运动方程，即

则振动周期可以写成

我们再将结果进行比较，则有

通过上面两种情况的讨论我们可以发现重力对实验结果的影响。

在惯性秤实验中我们可以得出：

当我们作出惯性秤在水平放置情况下的

直线图，我们可以根据所做直线图中直线的斜率

、以及直线图中直线的截距

求出这个惯性秤秤臂的劲度系数

。

我们发现在一定区域内

与

保持着线性关系，此时周期与相对应的质量发生变化的区间称之为惯性秤的线性测量区间。

在以上两种推导过程中有个前提是惯性秤的秤臂在水平方向的劲度系数是一个常数，以上的推导结果才能成立。

如果惯性秤秤台上所放砝码或者待测物的质量太大时，超过了惯性秤悬臂的弹性区间，秤臂将会产生弯曲的情况，这时秤臂的劲度系数

的值也会发生改变，并不能继续保持为一个常数，则

与

的定标曲线图将不再是一条直线，它们的线性关系显然也会发生改变。

由此实验我们可以得知惯性秤的弹片弹性性质符合胡克定律的第一种表述：

在材料的弹性区间里，固体材料发生的拉伸变形与它所受到的外力成正比。

表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是弹簧的劲度（倔强）系数。

在此时它们的单位分别是：

F的单位是牛，x的单位是米，它表示形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。

当弹簧伸长（或缩短）单位长度时它所具有的弹力此时在数值上与劲度系数相等。

1.2、用拉伸法测定金属杨氏模量

我们知道任何固体在受到外力作用时都会发生形变，最简单最明显的形变就是当物体受到外力拉伸（或压缩）时发生的伸长（或缩短）形变。

拉伸实验研究的就是棒状物体在发生弹性形变时的伸长形变。

在这个实验中如果金属丝用l。

表示金属丝的长度，用S表示金属丝的横截面积，将金属丝的一端固定在实验台上，另一端在金属丝的延长度方向上施加一个大小为Fn的力，且使金属丝的长度发生了改变，此时相比较原长金属丝伸长了Δl，

比值：

Δl∕l。

是物体的相对伸长，叫应变。

Fn∕S是物体单位面积上的作用力，叫应力。

根据胡克定律，在物体的弹性限度内，物体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数。

代入本实验中即Fn∕S=E·（Δl∕l。

）式中的比例系数E称为杨氏弹性模量（简称杨氏模量）。

通过实验我们得出结论：

杨氏模量E与物体长度l。

外力Fn、以及横截面积S的大小没有关系。

它是表示物体材料本身性质的物理量。

我们依次测出各个物理量，根据上式即可求出杨氏模量。

在利用拉伸法测量金属丝的杨氏模量实验中，我们通过计算推导得到了金属丝的杨氏模量。

在该实验中，基于胡克定律的一种表述得到了结论：

即在材料的弹性线性区间内，材料发生的单向拉伸变形情况与作用在该材料的外力大小成正比关系；或者也可以表述为在物体所受应力低于物体比例极限时，物体中的应力σ与应变量ε成正比关系，表达式为σ＝Εε，式中E我们称为弹性模量或杨氏模量。

第2章、胡克定律两种表述的意义

2.1、“惯性秤”实验中的胡克定律

在利用惯性秤测量物体惯性质量实验中，我们基于胡克定律推导出了物体的惯性质量。

我们在该实验中所运用的胡克定律是：

在材料的弹性区间里，固体材料发生的拉伸变形与它所受到的外力成正比。

表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是弹簧的劲度（倔强）系数。

在此时它们的单位分别是：

F的单位是牛，x的单位是米，它表示形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。

当弹簧伸长（或缩短）单位长度时它所具有的弹力此时在数值上与劲度系数相等。

在物理实验中，我们把能够满足胡克定律的材料称为弹性体。

这是一种重要的物理理论模型，同时我们认为这是将现实世界中的复杂非线性关系进行了一种线性简化。

而我们在不断的实验探究中发现有时它是有效的，但我们也发现了大量并不满足胡克定律的实例。

胡克定律不仅仅在它表述了物体发生弹性形变时与外力的关系，更在于它开创了一种新的物理研究方法：

即将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化，这种方法使物理学中理论研究更加简便。

我们在实验中经常使用的弹簧测力计就是利用胡克弹性定律制作出来的。

弹簧测力计作为测量力的基本工具，而且使用广泛，我们必须要肯定胡克为物理学发展所做出的贡献。

2.2、“弹性模量测定”实验中的胡克定律

在“弹性模量测定”实验中我们利用拉伸法测定了金属丝的杨氏模量。

我们知道任何固体在受到外力作用时都会发生形变，最简单最明显的形变就是当物体受到外力拉伸（或压缩）时发生的伸长（或缩短）形变。

拉伸实验研究的就是当棒状物体在受到外力作用下发生弹性形变时所发生的伸长形变。

在基于胡克定律概念下我们进行了弹性模量测定实验。

在本实验中金属丝的长度为l。

，截面积为S，一端固定，一端在延长度方向上受力为Fn，并伸长Δl，比值：

Δl∕l。

是物体的相对伸长，叫应变。

Fn∕S是物体单位面积上的作用力，叫应力。

根据胡克定律，在物体的弹性限度内，物体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数。

代入本实验中即Fn∕S=E·（Δl∕l。

）式中的比例系数E称为杨氏弹性模量（简称杨氏模量）。

我们通过实验得出：

金属丝的杨氏模量E与其所受到的外力Fn、金属丝的长度l。

以及金属丝横截面积S的大小均无关，而只与金属丝自身的性质有关。

即物体的杨氏模量大小取决于物体的材料本身的性质。

它是表示物体自身材料属性的一个物理量。

由于应变ε=Δl ∕ l。

为纯数，故弹性模量和应力σ=Fn∕S的单位是相同的。

我们知道了弹性模量是一种表示材料自身性质的物理量，再根据我们得出的以上表达式可知，当应力的数值较大而应变小时，物体的弹性模量较大；反之，物体的弹性模量较小。

弹性模量反映材料抵抗拉伸或者压缩变形时的能力，对于相同的材料，虽然拉伸时和压缩时物体的弹性模量不同，但由于二者十分接近，所以我们一般认为是相等的。

我们把弹性模量看作比较材料产生弹性变形时难易程度的衡量标准，当材料的弹性模量数值越大，相应的迫使该材料能够发生弹性变形时所需的应力数值也应该越大，即材料自身的刚度越大。

举个例子：

弹性模量相当日常生活中经常使用的普通弹簧的刚度。

我们可以通俗的理解为在一定大小的应力作用下，材料受到应力作用时发生的弹性变形越小，则该材料的弹性模量越大。

我们可以理解为弹性模量E在数值大小上与材料在外力作用下发生单位弹性形变时所需要的应力数值大小相等。

我们再进行更深层次的研究知道：

物体发生弹性变形的实质是外力克服了原子间作用力，使原子间距发生了变化。

那么弹性模量即是一个表征原子间结合力强弱的物理量，即弹性模量的数值大小同时反映了原子间结合力的强弱，则材料原子间结合力的大小及原子间距就是影响材料弹性模量的内部影响因素。

在下图我们可以看到原子间结合力以及原子间距的关系：

原子间引力和斥力相互作用示意图

我们从更深入的材料内部机制来看：

原子间的键合方式来看共价键、离子键和金属键都有较高的E值，分子键结合力较弱，E值较低。

从原子结构来看E值随原子序数发生周期性变化。

在同一周期的元素，E值的大小随着原子序数的增加而增加，我们认为这与元素价电子增多及原子半径减小有关。

在同一主族的元素，E值的大小随着原子序数的增加而减小，我们认为这与原子半径增大有关。

但是过渡族金属并不符合上面的规律，过渡族金属的弹性模量极高，即E值很高，如Fe,Ni,Mo,W,Mn,Co等。

过渡族金属的特性在理论上尚未解决，但是我们可以猜想，d层电子的特殊结构应该在其中起重要作用。

以上所讨论的是影响材料杨氏模量大小的内部原因，即微观机制。

我们基于胡克定律两种不同的表述做了两个不同的实验，在物体惯性质量测量实验以及金属丝的杨氏模量实验中都运用了胡克定律。

通过以上实验我们认为：

从物理的角度看，因为材料内部的原子在没有受到外力作用时处于一个稳定平衡的状态，而胡克定律就是基于材料是否发生形变即材料内部原子是否处于稳定状态而产生。

从宏观角度来看，我们认为弹性模量是表征材料在外力作用下抵抗其自身发生弹性形变时的尺度。

再从微观角度看，则是因为材料内部原子、离子或分子之间键合强度的影响。

因为内部影响机制我们得知材料的弹性模量大小是由所有能够影响键合强度的因素造成的。

比如材料内部原子间的键合方式、晶体的结构种类、材料的化学成分、材料的微观组织、材料的温度等。

通过一代代物理学家的研究我们还得知因为材料的成分不尽相同、对材料进行热处理时材料所处的状态不同、对材料进行冷塑处理时材料的变形程度等影响，材料的杨氏模量值会有一定的波动，但是对于杨氏模量的影响总体来说还是比较小的。

但是经过实验探究以及理论研究我们发现材料的弹性模量具有敏感度不强、不易于发生改变的性质，所以我们可以把它看作是一个稳定的材料力学性能指标。

而一些外在因素，如温度、加载速率等，我们通过研究发现这些外在因素对与弹性模量影响也不大。

所以在一般涉及到材料弹性模量的计算，如工程应用中我们都将其看作一个常数。

结论

胡克定律，是物理学中弹性理论基本定律之一，我们将其表述为：

弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是弹簧的劲度（倔强）系数。

在此时它们的单位分别是：

F的单位是牛，x的单位是米，它表示形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。

当弹簧伸长（或缩短）单位长度时它所具有的弹力此时在数值上与劲度系数相等。

对于胡克定律的另一种表述，它的内容是：

：

即在材料的弹性线性区间内，材料发生的单向拉伸变形情况与作用在该材料的外力大小成正比关系；或者也可以表述为在物体所受应力低于物体比例极限时，物体中的应力σ与应变量ε成正比关系，表达式为σ＝Εε，式中E我们称为弹性模量或杨氏模量。

在日常我们使用的许多材料，比如一根具有一定长度，且我们知道横截面积大小的金属棒，在对其进行