第29章 几何的回顾.docx
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第29章 几何的回顾.docx
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第29章几何的回顾
康庄中学数学备课组集体备课
课时教案
2011学年第二学期
第29章几何的回顾
学科
数学
年级
初三
主备课人
主讲人
课型
新授课
课题
§29.1几何问题的处理方法
课时
第1课时
教学
目的
使同学们用合情推理与逻辑推理的方法证明几何问题,并能熟练应用,从而进一步理解证明在数学学习中的必要性。
重点
合情推理与逻辑推理的方法是教学重点。
难点
合情推理与逻辑推理的方法。
教学
方法
探究法
教学内容及过程
教师
增补
一、给出问题,学习讨论,回忆
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片,每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样,把纸片对折,让两腰AB、AC重叠在一起,折痕为AD,如图
(2)所示,你能发现什么现象吗?
请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流,可能得到的结论:
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B=∠C
(3)BD=CD,AD为底边上的中线。
(4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线。
(5)∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线。
结论
(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?
结论是:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)。
以上这种推理方法叫合情推理方法,是我们研究几何图形的一种基本方法。
下面我们结合我们已经学过的相关问题来说明什么叫逻辑推理方法。
已知:
如图
(2),在△ABC中,AB=AC。
求证:
∠B=∠C。
证明:
画∠BAC的平分线
∵AB=AC(已知)
∠1=∠2(画图)
AD=AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B=∠C
这个例中的每一个过程都是逻辑推理过程,它们都是从上一步的条件得出下一步结论的,换言之就是没有上面的条件就不会有下一步的结论。
逻辑推理是需要依据的,我们用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据,于是我们第一步就想到了公理和已经证明是正确的定理。
二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1.等腰三角形的判定定理。
已知:
如图
(1),在△ABC中,∠B=∠C;
求证:
AB=AC。
分析:
要证明两条线段相等,可设法构造两个全等三角形,使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。
基于这种想法,同学们会想到画什么样的辅助线呢?
同学的回答可能是以下三种;
(1)取BC的中点D,连结AD;
(2)画∠BAC的平分线AD;
(3)过顶点A作底边BC的高线AD。
老师就第
(2)种给出以下证明:
证明:
画∠BAC的平分线AD。
在△BAD和△CAD中
∵∠B=∠C(已知)
∠1=∠2(画图)
AD=AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB=AC
请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程,并就第
(1)种的添加方法证明AB=AC是否可行,展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的,而且在今后的其他命题证明中经常用到,所以我们把它称为等腰三角形的判定定理,即:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简称为(“等角对等边”)。
2.如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。
已知:
如图(3),在△ABC和△A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'。
求证:
△ABC≌△A'B'C'
分析:
把△ABC和△A'B'C'拼在一起,使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起,并使点B和点B'在A'C'的两旁,B、C(C')、B'在一条直线上,由上述图形,利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法,即可证明这两个直角三角形全等。
证明:
像图(3)一样,把△ABC和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB=90°(已知)
∴∠B'C'B=180°
∴点B'、C'、B在同一条直线上。
在△A'B'B中,因为
∵A'B'=AB=A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC和△A'B'C'中,
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B=∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理:
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。
三、课堂练习
1.求证;等边三角形的各角相等,并且每一个角都等于60°。
2.求证;三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”,要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。
体会逻辑推理证明重要性。
五、作业(略)
教学
反思
学科
数学
年级
初三
主备课人
主讲人
课型
新授课
课题
§29.1几何问题的处理方法
课时
第2课时
教学
目的
使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段,明确推理证明所要依据的公理,掌握证明的方法,培养学生逻辑推理能力。
重点
推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点
学生逻辑推理能力的培养。
教学
方法
探究法
教学内容及过程
教学
札记
一、理解为何需要推理证明
同学们想一想,我们是如何知道三角形内角和等于180°呢?
当时我们通过画不同的三角形,测量出它们的内角,然后算得各个三角形的三个内角和为180°,或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图
(1),发现三角形的三个内角的和筹于180°。
用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180°吗?
用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗?
为了确保精确无误,人们发现以下证明的方法。
二、如何证明一个命题
求证:
三角形的内角等于180°。
已知:
如图
(2),任意△ABC的内角为∠A、∠B、∠C。
求证:
∠A+∠B+∠C=180°。
证明:
延长线段AB到D,过B点作BE∥AC。
∵AC=BE
∴∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)
∠1=∠A(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ABC=180°(平角的定义)
∴∠A+∠ABC+∠C=180°(等量代换)
上面的括号里的内容是这一步的依据,所谓推理、证明讲究的是依据,这些依据从哪里来呢?
三、推理证明的依据
逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。
上面,学习了一些公理(事实)。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
在以上这些基础上,用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题,并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。
凡是书上有写为定理的命题都可作为进一步推理的依据。
四、练习证明命题
1、求证:
n边形的内角和等于(n-2)×180°。
老师画出上述图形,让学生完成证明过程。
2.求证:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明一道命题,首先应依据题意画出图形,而后写出已知、求证,最后加以证明。
已知:
如图,∠CBD是△ABC的一个外角。
求证:
∠CBD=∠A+∠C
证明:
∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴∠A+∠C=180°-∠ABC(等式的性质)
又∵∠ABC+∠CBD=180°(平角的定义)
∴∠CBD=180°-∠ABC(等式的性质)
∴∠CBD=∠A+∠C
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据,因此把上述命题也作为定理,在课本中如有特别黑体的命题,我们都可以把它当做定理使用。
练习:
课本第33页的练习。
五、课堂小结
通过本节课的学习,同学们认识了推理证明的必要性,知道了证明的方法和步骤,希望同学们把以前学过的公理,定理等复习一遍,牢记在心,这对今后的推理证明的学习有极大的帮助。
六、作业
课本第33页习题27.1的第1、2、3、4题。
教学
反思
学科
数学
年级
初三
主备课人
主讲人
课型
新授课
课题
§29.1几何问题的处理方法
课时
第3课时
教学
目的
使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理,在证明这些定理的过程中,体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察,比较得到,这些定理需要数学的严格推理论证,才能说明它们是否正确。
重点
进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理,掌握这些定理的证明过程以及运用这些定理的解决问题。
难点
运用这些定理证明有关命题。
教学
方法
讲练结合法
教学内容及过程
教学
札记
一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和判定定理
1.平行四边形的判定定理
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图,若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形。
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图,若AB=CD.AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图,若∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA,则四边形ABCD是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形。
2.平行四边形的性质定理
(1)平行四边形的对边相等
若四边形ABCD是平行四边形,则AB=CD,AD=BC
(2)平行四边形的对角相等
如图,若四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=∠CDA,∠BAD=∠DCB。
(3)平行四边形的对角线互相平分
如图,若四边形ABCD是平行四边形,则OA=OC,OB=OD
以上这些定理,通过两种表达方式,使同学加深对定理的理解。
二、选择部分定理进行证明
1.已知:
四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
分析:
要证明四边形ABCD是平行四边形,只要证明另一组对边平行,因此连结其中一条对角线,然后证明内错角相等。
证明;连结AC。
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行,内错角相等)
在△ABC和△CDA中
∵AB=CD
∠DAC=∠DCA
AC=CA
∴∠BCA=∠DAC(全等三角形的对应角相等)
∴BC∥DA(内错角相等,两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形
2.已知:
四边形ABCD是平行四边形。
求证;AB=CD,BC=DA
分析:
要证明平行四边形的对边相等.可以连结其中一条对角线,把平行四边形分成两个三角形,然后利用全等三角形对应边相等得出结论。
证明:
连结AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行,内错角相等)
同理∠BCA=∠DAC
在△ABC和△CDA中
∵∠BAC=∠DCA
AC=CA
∠BCA=∠DAC
∴△ABC≌△CDA(ASA)
因此AB=CD,BC=DA(全等三角形的对应边相等)
三、例题与练习
例题:
如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,且AE=CF,求证:
BF∥DE。
(通过同学们讨论,而后老师给予归纳,证明)
证明;∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
AB=CD
∵AE=CF
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形,(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BF∥DE
虽然这道题目并不难,但老师可以通过对这道题详细分析、讲解,使同学们可以对
平行四边形的所有判定法则做更深刻的理解,让同学们进一步掌握运用定理解决问题
的方法。
练习:
1.求证:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2.求证:
平行四边形的对角线互相平分。
四、小结
1.总结平行四边形的判定定理和性质定理。
2.能应用这些定理证明一些相关命题。
五、作业(略)
教学
反思
学科
数学
年级
初三
主备课人
主讲人
课型
新授课
课题
§29.2反证法
课时
第1课时
教学
目的
1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2.培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力.
重点
反证法证题的步骤.
难点
理解反证法的推理依据及方法.
教学
方法
探究法.
教学内容及过程
教学
札记
提问:
师:
通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法?
生:
从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
师:
本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么?
生:
共分三步:
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
师:
反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。
例如:
在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?
为什么?
解析:
由∠C=90°可知是直角三角形,根据勾股定理可知 a2+b2=c2
二、探究
问题:
若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2+b2≠c2 成立吗?
请说明理由。
探究:
假设a2+b2=c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立,从而说明原结论a2+b2≠c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
例1:
在△ABC中,AB≠AC,求证:
∠B≠∠C
证明:
假设,∠B=∠C
则AB=AC
这与已知AB≠AC矛盾.
假设不成立.
∴∠B≠∠C
小结:
反证法的步骤:
假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2
已知:
如图有a、b、c三条直线,且a//c,b//c.求证:
a//b
证明:
假设a与b不平行,则可设它们相交于点A。
那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。
∴a//b.
小结:
根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、公理矛盾
例3求证:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。
已知:
△ABC,求证:
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明:
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°
这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立.
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例4.试证明:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行.(学生完成,教师引导)
已知:
;
求证:
;
证明:
假设,则可设它们相交于点A。
那么过点A就有条直线与直线c平行,这与“过直线外一点”。
矛盾,则假设不成立。
∴。
三、课堂练习:
课本
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。
对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入,逐步加强和提高。
五、课后作业:
课本
六、板书设计
§29.2反证法
1.反证法证明命题的步骤。
2.反证法应用:
例题。
小结:
教学
反思
学科
数学
年级
初三
主备课人
主讲人
课型
课题
几何的回顾复习教案
课时
第1课时
教
学
目
的
⑴经历一些观察、操作活动,并对获得的数学猜想进行实验验证,体验合情推理的过程,并从数学的角度运用逻辑推理的知识和方法寻求证据、给出证明的过程.
⑵了解证明的基本步骤和书写格式,能从“同位角相等,两直线平行”、“两直线平行,同位角相等”等基本事实出发,证明一些简单图形的判定定理和性质定理以及推论,并能简单应用这些结论.
⑶会区分命题的条件和结论,通过实例,体会反证法的含义.
⑷掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据.
重点
三角形、四边形有关知识及各种相关公里、定理、性质的综合运用
难点
三角形、四边形有关知识及各种相关公里、定理、性质的综合运用
教学
方法
讲练结合法
教学内容及过程
一、知识梳理:
㈠几何问题的处理方法
逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法.逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据,因此给出了如下的公理:
⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.
⑵两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
⑶如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等.
⑷全等三角形的对应边、对应角分别相等.
㈡用推理的方法研究三角形
1.利用公理,可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定理.
2.等腰三角形的识别:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形;
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形的特征:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
3.角平分线
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
识别:
到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
根据上述两条定理,我们很容易证明:
三角形三条角平分线交于一点.
4.线段的垂直平分线
性质:
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
识别:
到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
根据上述两条定理,我们很容易证明:
三角形三边的垂直平分线交于一点.
㈢用推理的方法研究四边形
1.几种特殊四边形的特征
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
中心对称图形
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
既是中心对称图形又是轴对称图形
菱形
对边平行,四条边相等
对角相等
互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角
正方形
对边平行,四条边相等
四个角都是直角
互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角
等腰梯形
两底平行,两腰相等
同一底上的两个内角相等
相等
轴对称图形
2.几种特殊四边形的常用识别方法
从边的角度
从角的角度
从对角线的角度
平行四边形
⑴两组对边平行
⑵两组对边相等
⑶一组对边平行且相等
两组对角相等
两条对角线互相平分
直接识别
间接识别
矩形
四个角是直角
⑴有一个角是直角的平行四边形;
⑵对角线相等的平行四边形
菱形
四条边相等
⑴一组邻边相等的平行四边形
⑵对角线垂直的平行四边形
正方形
⑴一组邻边相等的矩形
⑵有一个角是直角的菱形
等腰梯形
⑴同一底边上的两个角相等的梯形
⑵对角线相等的梯形
二、【典型例题】
例1.如图所示,在△ABC中,∠A=50°,
如图⑴△ABC的两条高BD、CE交于O点,求∠BOC的度数
如图⑵△ABC的两条角平分线BM、CN交于P,求∠BPC的度数
分析:
⑴题中,由高可知有直角,由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得.⑵题中,由角平分线定义及三角内角和定理可求得∠BPC.
⑴⑵
解:
⑴方法一:
∵∠BDC=90°
∴∠1=90°-∠BCA同理∠2=90°-∠ABC
∵∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)
=180°-(90°-∠ABC+90°-∠ACB)
=180°-180°+∠ABC+∠ACB=130°
方法二:
∵BD,CD为△ABC的高
∴∠BDA=∠CEA=90°
∵∠A=50°
∴在四边形AEOD中∠DOE=360°-(90°+90°+50°)=130°
∴∠BOC=∠DOE=130°
⑵∵BM,CN分别为△ABC的角平分线
∴∠1=
∠ABC∠2=
∠ACB
∵∠A=50°
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°
∵∠BPC=180°-(∠1+∠2)
=180°-(
∠ABC+
∠ACB)
=180°-
(∠ABC+∠ACB)
=180°-
×30°
=115°
题后反思:
凡是求角度的题,一般都离不开三角形(多边形)内角和定理,设法利用这些去推出等式关系.题中因涉及到高线,别忘了两锐角互余,遇到角平分线要合理利用其倍分关系.
例2.如图所示,四边形ABCD中,∠A=90°,且AB2+AD2=BC2+CD2.
求证:
∠B与∠D互补.
分析:
欲证∠B与∠D互补,只证∠A与∠C互补即可,且知∠A=90°故只证∠C=90°,根据题设中条件,可利用勾股定理及逆定理证明之,故连结BD,构造直角三角形.
证明:
连结BD
∵∠A=90°∴AB2+AD2=BD2
又∵AB2+AD2=BC2+CD2.∴BD2=BC2+CD2∴∠C=90°
在四边形ABCD中,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°
即∠B与∠D互补
例3.如图所示,∠B=∠BCD=90°,AD交BC于E且ED=2AC.
求证:
∠CAD=2∠DAB.
分析:
由于AB∥CD,故欲证∠D=∠BAD,只需证出∠CAD=2∠D即可.联想构造出以∠D为底角的等腰三角形,且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于∠CAD,则问题就解决了.已知ED=2AC,而AC与ED没有直接联系,可在Rt△DCE中构造斜边DE上中的线.
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- 关 键 词:
- 第29章 几何的回顾 29 几何 回顾