一元二次方程根与系数的关系典型例题.docx

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一元二次方程根与系数的关系典型例题

一元二次方程根与系数的关系

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

   一元二次方程的根与系数的关系

［学习目标］

 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：

韦达定理及逆定理）；

 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。

 3.在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

 4.提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

 5.体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。

二.重点、难点：

 1.教学重点：

   一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。

 2.教学难点：

   正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。

【典型例题】

 例1.已知方程

的一个根是

，求它的另一个根及b的值。

   分析：

含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

   解：

（方法一）设方程的另一根为

，则由方程的根与系数关系得：

   解得：

   （方法二）由题意：

   解得：

   根据韦达定理设另一根为x，则

   点拨：

解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

 例2.已知方程

的两根为

，求下列代数式的值：

（1）

；

（2）

；（3）

   分析：

若方程

两根

，则不解方程，可求出关于

的对称式的值，只须将其配成含有

、

的形式。

   解：

由已知，根据韦达定理

（1）

（2）

   （3）

   点拨：

体会配方思想，将代数式配成含有

的形式，再代系数即可。

 例3.已知：

是两个不相等的实数，且满足

，那么求

的值。

   分析：

由两个条件可得出

为方程

的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

   解：

由题意，

为

的两个不等实根

   因而有

   又

   点拨：

善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

 例4.已知关于x的一元二次方程

与

有一个相同的根，求k的值。

   解：

（解法一）设方程

两根α、β，方程

的两根

，则有：

   由

   当

时，代入

   当

时，由

   代入

   则

   代入

   把

代入<2>中，

或

   （解法二）将

与

相减得：

   此时方程根为0或

，即题中两方程相同根为0或

（1）若是0则

；

（2）若是

，则

；

或

   点拨：

两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程

与

有公共根，则公共根必满足方程

”的结论。

 例5.已知方程

（1）若方程两根之差为5，求k。

（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

   分析：

对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。

   解：

（1）设方程两根

与

，由韦达定理知：

   又

（2）设方程两根

，由根系关系知：

   点拨：

已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。

 例6.已知方程

两根之比为1：

3，判别式值为16，求a、b的值。

   分析：

必用判别式

，又韦达定理知

，

，显然可求a、b。

   解：

设已知方程的两根为m，3m

   由韦达定理知：

   即

   把

代入

   得：

   点拨：

把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。

 例7.已知

是关于x的一元二次方程

的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示

；

（2）当

时，求m的值。

   分析：

应注意

，即可用根系关系。

   解：

（1）由题意：

（2）由

（1）得：

   解得：

   检验：

当

时，原方程无实根。

   ∴舍去

   当

时，原方程有实根。

   ∴

   点拨：

易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

 例8.已知方程

的两根为

，求一个一元二次方程，使它两根为

和

。

   分析：

所求方程

，只要求出

的值即可，转化成例2类型了。

   解：

设所求一元二次方程为

为方程

的两根

   ∴由韦达定理

   又

   ∴所求一元二次方程为

   即：

   点拨：

应用根系关系构造方程，如果方程有两实根

，那么方程为

，当

为分数时，往往化成整系数方程。

［总结扩展］

 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。

它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

 2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

 3.本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：

（1）验根；

（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……

 4.通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一.选择题。

 1.已知

是关于x的一元二次方程

的一个根，则k与另一根分别为（   ）

   A.2，-1               B.-1，2               C.-2，1               D.1，-2

 2.已知方程

的两根互为相反数，则m的值是（   ）

   A.4              B.-4                    C.1              D.-1

 3.若方程

有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是（   ）

   A.

            B.

            C.

            D.

 4.若方程

的两根中，只有一个是0，那么（   ）

   A.

                    B.

   C.

                    D.不能确定

 5.方程

的大根与小根之差等于（   ）

   A.

          B.

         C.1              D.

 6.以

为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（   ）

   A.

                    B.

   C.

                    D.

二.填空题。

 7.关于x的一元二次方程

的两根互为倒数，则m＝________。

 8.已知一元二次方程

两根比2：

3，则a，b，c之间的关系是______。

 9.已知方程

的两根

，且

，则

________。

 10.已知

是方程

的两根，不解方程可得：

________，

________，

________。

 11.已知

，则以

为根的一元二次方程是______

________________________。

三.解答题。

 12.已知方程

的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

 13.已知方程

的两根

不解方程，求

和

的值。

 14.已知方程

的两根

，求作以

为两根的方程。

 15.设

是方程

的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

【试题答案】

一.选择题。

  1.A           2.B              3.D              4.B              5.C              6.B

二.填空题。

 7.

 8.设

，则

 9.

或

时，原方程△＜0，故舍去，

 10.

 11.

   由此

或

或

   所求方程

或

三.解答题。

 12.解：

设方程的一个根为x，另一根2x

   由根系关系知：

   解得：

 13.解：

由题设条件

 14.解：

由题意

   即

   故所求方程是

，即

 15.解：

   由

   由

不符合题意，

舍去

【励志故事】

果断

有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。

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