人教版八年级数学上册课时练第十一章 《三角形》 基础篇.docx
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人教版八年级数学上册课时练第十一章《三角形》基础篇
课时练:
第十二章《全等三角形》(基础篇)
一.选择题
1.下列有关三角形全等的判定,错误的是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等(SSS)
B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)
C.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)
D.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(SSA)
2.如图,DC⊥AC于C,DE⊥AB于E,并且DE=DC,则下列结论中正确的是( )
A.DE=DFB.BD=FDC.∠1=∠2D.AB=AC
3.有下列说法:
①两个三角形全等,它们的形状一定相同;②两个三角形形状相同,它们一定是全等三角形;③两个三角形全等,它们的面积一定相等;④两个三角形面积相等,它们一定是全等三角形.其中正确的说法是( )
A.①②B.②③C.①③D.②④
4.某实验室有一块三角形玻璃,被摔成如图所示的四块,胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃,胡老师要带的玻璃编号是( )
A.1B.2C.3D.4
5.三角形具有稳定性,就是当三角形的三边长确定时,三角形的形状和大小就确定了,其理论依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
6.如图,已知AB=AC,AD=AE,若添加一个条件不能得到“△ABD≌△ACE”是( )
A.∠ABD=∠ACEB.BD=CEC.∠BAD=∠CAED.∠BAC=∠DAE
7.如图△ABC中,∠B=∠C,BD=CF,BE=CD,∠EDF=α,则下列结论正确的是( )
A.α+2∠A=180°B.2α+∠A=180°C.α+∠A=90°D.α+∠A=180°
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=3,BD=5,则点D到BC的距离是( )
A.3B.4C.5D.6
9.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积=2AC•BD,其中正确的结论有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
10.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,以下结论,其中正确的是( )
①∠AED=90°;
②点E是BC的中点;
③DE=BE;
④AD=AB+CD.
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
二.填空题
11.如图,点B、A、E在同一直线上,△ADB≌△ACE,∠E=40°,∠C=25°,则∠DAC= °
12.如图,点A,E,F,C在同一直线上,AB∥CD,BF∥DE,BF=DE,且AE=2,AC=8,则EF= .
13.如图,AB=AD,∠1=∠2,如果增加一个条件 ,那么△ABC≌△ADE.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F,FG∥BC,FH∥AC,下列结论:
①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC,其中正确的结论有 .(填序号)
15.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的序号为 .
三.解答题
16.如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,
(1)求证:
EB=FC;
(2)若∠BAC=45°,求∠BDC的度数;
(3)若四边形ABDC的面积为8,AB=3,AC=5,求DF的长.
17.在△ABC中,BE、CD分别是AC、AB边上的高线,BE=CD.
(1)如图1,求证:
AB=AC;
(2)如图2,若BF平分∠ABC,∠ABE=∠ABF,求证:
AC+CF=BC.
18.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,BD、CE交于点F,CE=BE,且∠BEC+∠BDC=180°.求证:
AC=BF.
小明经探究发现,在AB上取一点G(不与E点重合),使CE=CG,连接CG(如图2),从而可证△BEF≌△CGA,使问题得到解决.
(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(2)如图3,等腰△ABC中,AB=AC,D、F在直线BC上,DE=BF,连接AD,过点E作EG∥AC交FG于点G,∠DFG+∠D=∠BAC,请在图中找出一条和线段AD相等的线段,并证明.
19.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=50°,点D在线段DC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于点E.
(1)若AB=CD,求证:
△ABD≌△DCE.
(2)△ADE能成为等腰三角形吗?
若能,求出此时∠CDE的度数:
若不能,请说明理由.
20.已知:
如图所示,在△ABC中,∠BAC=60°,AD=AE,BE、CD交于点F,且∠DFE=120°.在BE的延长线上截取ET=DC,连接AT.
(1)求证:
∠ADC=∠AET;
(2)求证:
AT=AC;
(3)设BC边上的中线AP与BE交于Q.求证:
∠QAB=∠QBA.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、三边分别相等的两个三角形全等(SSS),正确;
B、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS),正确;
C、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(ASA),正确;
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,错误;
故选:
D.
2.解:
∵DC⊥AC于C,DE⊥AB于E,并且DE=DC,
∴∠1=∠2(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
故选:
C.
3.解:
①两个三角形全等,它们的形状一定相同,此说法正确;
②两个三角形形状相同,它们不一定是全等三角形,此说法错误;
③两个三角形全等,它们的面积一定相等,此说法正确;
④两个三角形面积相等,它们不一定是全等三角形,此说法错误;
综上,正确说法的是①③,
故选:
C.
4.解:
因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边,利用ASA易证三角形全等,故应带第2块.
故选:
B.
5.解:
当三角形的三边长确定时,三角形的形状和大小就确定了,其理论依据是SSS,
故选:
D.
6.解:
AB=AC,AD=AE,
A、若∠ABD=∠ACE,则符合“SSA”,不能判定△ABD≌△ACE,不恰当,故本选项正确;
B、若BD=CE,则根据“SSS”,△ABD≌△ACE,恰当,故本选项错误;
C、若∠BAD=∠CAE,则符合“SAS”,△ABD≌△ACE,恰当,故本选项错误;
D、若∠BAC=∠DAE,则∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,△ABD≌△ACE,恰当,故本选项错误.
故选:
A.
7.解:
在△BDE和△CFD中,
,
∴△BDE≌△CFD(SAS),
∴∠BED=∠CDF,
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC,
∴∠B=∠EDF=α,
∵∠B=∠C=α,
∴2a+∠A=180°.
故选:
B.
8.解:
作DH⊥BC于H,
∵BD平分∠ABC,∠A=90°,DH⊥BC,
∴DH=AD=3,
故选:
A.
9.解:
在△ABD与△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SSS),故①正确;
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,
,
∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,
∴AC⊥DB,故②正确;
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BDC=
AC•BD,故③错误;
故选:
C.
10.解:
如图作EH⊥AD于H.
∵EA平分∠BAD,EB⊥BA,EH⊥AD,
∴BE=EH,
同法可证:
EH=EC,
∴EB=EC,故②正确,
∵∠B=∠EHA=90°,AE=AE,EB=EH,
∴Rt△EAB≌Rt△EAH(HL),
∴AH=AB,∠AEB=∠AEH,
同理可证:
△EDH≌△EDC(HL),
∴DH=DC,∠DEH=∠DEC,
∴AD=AH+DH=AB+CD,∠AED=
(∠BEH+∠CEH)=90°,故①④正确,
∵DE>EH,EH=BE,
∴DE>BE,故③错误,
故选:
B.
二.填空题(共5小题)
11.解:
∵△ADB≌△ACE,
∴∠BAD=∠EAC,
∴∠DAE=∠BAC,
∵∠BAC=∠C+∠E=65°,
∴∠BAC=∠DAE=65°,
∴∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠DAE=50°,
故答案为50°.
12.解:
∵AB∥CD,BF∥DE,
∴∠A=∠C,∠BFA=∠DEC,
在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF﹣EF=CE﹣EF,
∴AE=CF=2,
∵AC=8,
∵EF=8﹣2﹣2=4,
故答案为:
4.
13.解:
添加的条件为:
AC=AE,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
在△ABC与△ADE中
,
∴△ABC≌△ADE,
故答案为:
AC=AE
14.解:
∵∠FBD=∠ABF,∠FBD+∠BFD=90°,∠ABF+∠AEB=90°,
∴∠BFD=∠AEB,
∴∠AFE=∠AEB,
∴AF=AE,故①正确,
∵FG∥BC,FH∥AC,
∴四边形FGCH是平行四边形,
∴FH=CG,FG=CH,∠FHD=∠C,
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°,
∴∠BAF=∠BHF,
∵BF=BF,∠FBA=∠FBH,
∴△FBA≌△FBH,
∴FA=FH,故AB=BH,②正确,
∵AF=AE,FH=CG,
∴AE=CG,
∴AG=CE,故③正确,
∵BC=BH+HC,BH=BA,CH=FG,
∴BC=AB+FG,故④正确.
故答案为①②③④.
15.解:
如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°,
∴∠EPF+∠AOB=180°,
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN,
∴∠EPM=∠FPN,
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
∴PE=PF,
在Rt△POE和Rt△POF中,
,
∴Rt△POE≌Rt△POF,
∴OE=OF,
在△PEM和△PFN中,
,
∴△PEM≌△PFN,
∴EM=NF,PM=PN,故
(1)正确,
∴S△PEM=S△PNF,
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确,
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值,故
(2)正确,
∵M,N的位置变化,∴MN的长度是变化的,故(4)错误,
故答案为:
(1)
(2)(3)
三.解答题(共5小题)
16.
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴EB=FC.
(2)解:
∵Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴∠BDE=∠CDF,
∴∠EDF=∠BDC,
∵∠BED=∠CFD=90°,∠BAC=45°,
∴∠EDF=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,
∴∠BDC=135°;
(3)解:
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∵EB=FC,
∴AC=AF+FC=AE+EB=AB+2EB=3+2EB=5,
∴EB=1,
∴AF=AE=AB+EB=4,
∵Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴四边形AEDF的面积=四边形ABDC的面积=8,
∴△ADF的面积=
AF×DF=4,
∴DF=2.
17.
(1)证明:
如图1,∵BE=CD,∠E=∠D=90°,∠EAB=∠CAD,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AB=AC;
(2)证明:
∵∠ABF=∠CBF,设∠FBC=α,
∴∠ABF=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,
∴∠BCE+∠CBE=5α=90°,
∴α=18°,
∴∠BAC=108°,∠BCE=36°,
如图2,在BC上截取BG=AB,连接FG,
∴△ABF≌△GBF(SAS),
∴∠BGF=∠BAF=108°,
∴∠CGF=72°,
∵∠BCE=36°,
∴∠CFG=72°,
∴CF=CG,
∵CG+BG=BC,
∴AC+CF=BC.
18.
(1)证明:
过点C作CG=CE,交AB与点G,如图2所示:
则∠CEG=∠CGE,
∴∠BEF=∠CGA,
∵CE=BE,
∴BE=CG,
∵∠BEC+∠BDC=180°,∠BEC+∠CEG=180°.
∴∠BDC=CEG,
∵∠BDC=∠A+∠EBF,∠CEG=∠EFB+∠EBF,
∴∠A=∠EFB,
在△BEF和△CGA中,
,
∴△BEF≌△CGA(AAS),
∴AC=BF;
(2)解:
AD=FG,理由如下:
延长FG分别交AC、AD于点H、M,如图3所示:
∵∠AMF=∠DFG+∠D,∠DFG+∠D=∠BAC,
∴∠AMF=∠BAC,
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠AHF=∠CAD+∠AMF,
∴∠BAD=∠AHF,
在EG的延长线上取点N,使FN=GF,
则∠FGN=∠AHF,
∵EG∥AC,
∴∠AHF=∠FGN,∠NEF=∠ACB,
∴∠BAD=∠N,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∴∠NEF=∠ABC,
∵DE=BF,
∴DE+BE=BF+BE,即BD=EF,
在△ABD和△NEF中,
,
∴△ABD≌△NEF(AAS),
∴AD=NF,
∴AD=FG.
19.
(1)证明:
∵∠B=∠C=50°,∠ADE=50°,
∴∠B=∠ADE,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠EDC,
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(ASA);
(2)解:
△ADE能成为等腰三角形,理由如下:
有以下三种可能:
①当AD=DE时,
∵∠ADE=50°,∠DAE=∠DEA=65°.
∵∠DEA=∠CDE+∠C,
∴∠CDE=∠DEA﹣∠C=65°﹣50°=15°;
②当DE=AE时,
∵∠ADE=50°,
∴∠DAE=∠ADE=50°,
∴∠DEC=∠ADE+∠DAE=100°,
∵∠C=50°,∴∠CDE=1880°﹣100°﹣50°=30°;
③当AD=AE时,
∵∠ADE=50°,
∴∠AED=∠ADE=50°,
∵∠AED=∠C+∠CDE=50°+∠CDE,
∴∠CDE=0°(不合题意,舍去);
综上所述,△ADE为等腰三角形时,∠CDE的度数为15°或30°.
20.证明:
(1)∵∠BAC=60°,∠DFE=120°,
∴∠AEF+∠ADC=360°﹣60°﹣120°=180°.
∵∠AEF+∠AET=180°
∴∠ADC=∠AET.
(2)∵AD=AE,∠ADC=∠AET,ET=DC,
∴△AET≌△ADC(SAS).
∴AT=AC.
(3)延长AP至G点,使得GP=AP,连接BG.
∵AP为BC边上的中线,
∴CP=BP,
∵∠APC=∠GPB.
∴△APC≌△GPB(SAS).
∴AC=GB,
由
(2)可知AC=AT,
∴GB=AT,
由
(2)可知∠TAC=∠CAD=60°,
∴∠TAB=120°,
又∵△APC≌△GPB,
∴∠CAP=∠BGP,
∴AC∥BG
∴∠ABG=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°=∠TAB.
∴AB=BA,
∴△ABG≌△BAT(SAS),
∴∠QAB=∠QBA.
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