鸡兔同笼.docx
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鸡兔同笼.docx
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鸡兔同笼
教学内容:
人教版实验教材小学数学六年级上册112-114页
教材简析:
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。
鸡兔同笼问题设置在数学广角中,其教学与常规课有所不同。
区别之处在于要把数学思想方法贯穿始终,巧用素材,有效提升,培养学生的逻辑推理能力,为学生的终身发展奠定基础。
《教学用书》中说道:
“数学广角重在向学生渗透一些数学思想方法,并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。
”因此,鸡兔同笼问题作为数学广角教学内容之一,一方面可以培养学生的逻辑推理能力,另一方面使学生体会代数方法的一般性。
《教学用书》对其设定的三个教学目标,正是教材注重渗透思想方法,关注学习过程的重要体现。
教材借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题,让学生应用列表、假设、方程等多种方法来解决问题。
教学目标:
1、了解鸡兔同笼问题,感受古代数学问题的趣味性。
2、尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题,理解用列表法、假设法和方程法解决鸡兔同笼的解题思路,掌握鸡兔同笼问题的解题方法,并使学生体会代数方法的一般性。
3、在解决问题的过程中渗透假设、有序等数学思想,培养学生逻辑推理能力。
教学重点:
通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题,使学生理解并掌握鸡兔同笼问题的解题方法。
教学难点:
对“假设法”的理解和应用,渗透假设的思想方法。
教学过程:
一、创设情境,导入新课
1、出示情景
师:
同学们,喜欢听故事吗?
很久很久以前,朝中没有宰相,皇帝想从百官中选一位精明能干的大臣做宰相。
怎样才能选出最聪明的大臣呢?
皇帝经过反复思考,选定了考题。
选相这天,文武百官分列两旁,皇上出示了考题。
(今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
)
题目出示后,大臣们陷入了沉思,大家都不说话了,很快有一位大臣站了出来,说出了正确答案,同学们,你们想知道大臣是怎样很快说出答案的吗?
这就是我们今天要研究的“鸡兔同笼”的问题。
板书课题。
教师帮助学生理解题意
师:
这个问题你能解决吗?
流传至今还有很多类似的题目,我们可以先从简单的问题入手。
出示例1。
(设计意图:
渗透化繁为简的思想,帮助学生探索出解决该类问题的一般方法)
2、引出问题
学生读题,理解题意
师:
你能猜一猜鸡有多少只,兔有多少只吗?
学生猜测
二、尝试、探究新知
1、列表法
(1)引导学生有序地思考,出示表格,并确定猜想的范围:
鸡的只数是8,有0只兔,脚共有16只。
鸡的只数是7,有1只兔,脚的只数是18。
如果鸡有6只……发下表格让学生独立完成。
鸡/只
8
7
6
兔/只
0
1
脚/只
16
18
(2)学生在小组内合作,填写表格
在学生汇报时,老师提问:
怎样计算脚的只数?
(设计意图:
这时的提问,为后面理解假设法和利用等量关系列方程作铺垫。
)
(3)小结:
这种依次尝试所有可能的方法叫一一列举法,也叫列表法。
板书列表法
(设计意图:
《新课标》指出:
要使学生“学会与人合作”。
在学习列表法时,使学生学会了不同的合作方法,培养了学生良好的合作意识。
同时也培养了学生有序、全面思考问题的意识。
)
2、假设法
(1)师:
如果用这种列表法来解决数据较大的问题时,这种方法还方便吗,为什么?
有没有更好的方法呢?
(2)让学生在小组内研究,研究之前让学生看书自学P113页,同时教师给学生提出研究的几点建议:
①、议一议:
根据提供的信息,你们组打算用什么方法研究这个问题?
②、写一写:
用你们喜欢的方法解决问题,并在纸上记录解决问题的过程。
③、想一想:
你们组还有其他解决问题的方法吗?
如果有,请记录下来。
(当学生想不到假设法时,教师给予适当提示,引导学生看书,引出假设法)
学生汇报时,让学生说说思考的过程,说说每一步的意思,教师用图示法进行板书说明。
(设计意图:
由于假设法是本节课学习的难点,因此在学生汇报解题方法时,我主要通过图示的方法,搭建起从形象思维过渡到抽象思维。
经过适时的点拨,帮助学生建立解决问题的方法,突破难点,掌握方法,体验成功。
)
3、方程法:
除了以上两种方法,还有别的计算方法了吗?
学生汇报列方程的方法,师板书
4、小结:
引导学生寻求一般性的解题方法,即假设法和方程法,鼓励学生从不同的角度思考问题,选择适合自己的方法。
(设计意图:
通过适时的总结,引领学生找到解决鸡兔同笼问题的一般性的方法)
三、巩固练习
1、回应引入时的古题,用哪种方法计算更合适,为什么?
学生解题汇报
在我们的生活中有类似鸡兔同笼的问题吗?
(设计意图:
让学生寻找生活中的鸡兔同笼问题,使学生感受到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用。
)
2、有龟和鹤共40只,龟的腿和鹤的腿共有112条,龟、鹤各有几只?
3、儿童自行车和三轮车共10辆,车轮共26个,儿童自行车和三轮车各有多少辆?
4、全班有38人去划船,租了8条船。
每条大船坐6人,每条小船坐4人,恰好每条船上都坐满。
问租了几条大船,几条小船?
四、课堂总结:
请学生谈谈本节课的学习收获。
师:
想知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗?
引导学生在课下阅读教材提供的阅读材料。
目标预设:
1.初步感知列举法解“鸡兔同笼”问题。
2.尝试用不同方法解答“鸡兔同笼”问题,比较各种解法的特点,并让学生体会怎样解答更简便。
3、能运用鸡兔同笼问题的解题方法解决生活中类似的实际问题。
4.了解中国数学历史文化,渗透化繁为简的数学思想。
教学重点;
解决此类问题的尝试过程和方法。
教学难点:
解决此类问题的解题策略。
活动预设:
一、故事引入、初步感知
大约一千五百年前,有一个名叫孙子的人。
有一天,他到一位朋友家中做客,看到朋友家养了很多的鸡和兔,随口问道:
“你家里养了多少只鸡和兔啊?
”朋友回答说:
“鸡、兔共35只,脚共94只。
请你算一下,鸡、兔各有几只?
”孙子听了很感兴趣,几经思考,终于找出了答案。
后来他把这道题编入了他的《孙子算经》。
这便是有名的“鸡兔同笼”问题。
(板书课题)原题在课本第112页,大家可以打开课本看一看。
这道题比较复杂,我们先从一道简单一点的题入手。
(出示例1)
二、自主探索、寻找解题策略
1、列举法:
例1:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。
鸡和兔各有几只?
(1)读一读:
从题中你读懂了哪些数学信息?
(2)想一想:
题目中隐藏了什么条件?
(3)到底有几只鸡几只兔呢?
我们先按顺序列表试一试:
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚
16
18
20
22
24
26
28
30
32
(4)仔细观察,你发现了什么?
师生共同小结:
脚的总数依次增加2。
因为减少1只鸡增加一只兔,就把1只鸡变成了1只兔,所以脚的总数就依次增加2。
像这样从1开始依次尝试所有可能的方法就叫--列举法。
2、假设法:
刚才是共有8个头,我们用列举法很快得出了结果,如果有20个头或者更多,用列举法行不行?
(行)麻不麻烦?
(麻烦)用这个方法效率太低了,我们就一起来探讨更妙的方法吧。
我们都知道:
大公鸡走起路来的时候昂首阔步的,非常神气,兔子于是也来学兔子走路。
这样一来,兔子就得抬起两只前脚,实际上就是把兔子也看成鸡。
(一)假设笼子里都是鸡:
(小组合作完成
(1)-(6)个问题)
(1)那么就有几只脚?
(2)原来比现在多出几只脚?
(3)一只兔比一只鸡多几只脚?
(4)要有几只兔才会多10只脚?
(5)所以笼子里有( )只鸡,( )只兔。
(6)你能列出综合算式解答吗?
相信你能行!
大公鸡觉得兔子走起路来蹦蹦跳跳的,很可爱,于是它也来学兔子走路。
实际上就是把鸡也看成了兔子。
(二)如果假设笼子里都是兔,你能自己解决吗?
试试吧!
(独立完成)
(三)通过上面的解答,你有什么发现?
你能总结出这类题的解题思路吗?
(小组讨论)(板书:
总的相差数-每份相差数=其中一种的数量)
3、用方程解:
我们还可以用列方程的方法来解答。
根据鸡兔共有26只脚,你能写出这道题的等量关系式吗?
○ =鸡兔共有脚的只数
根据等量关系式,你能列出方程吗?
试试你的身手!
解:
设有X只兔,那么就有( )只鸡。
4X+2(8-X)=26
小结:
用方程解答这类题,一般是根据什么来列方程?
设未知数时要注意什么问题?
三、比较梳理、优化策略
今天我们选择了有代表性的几种方法,请你比较一下,你比较喜欢哪种方法?
它的优点是什么?
四、看书质疑。
看看有没什么不明白的,可以提出来一起解决。
五、基本练习、巩固方法
1、回应开头。
用你喜欢的方法解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。
2、认真阅读第114页的阅读资料,感受一下古人是怎样巧妙解题的。
(抬腿法)
3、完成课本第115页“做一做”的第1、2、3题。
4、解决第116页第4题。
(温馨提示:
想一想,答对一题与答错一题的得分相差多少?
)
六、全课总结:
谈谈你在本节课的收获。
《鸡兔同笼问题》学生学案
一、故事引入、初步感知
二、自主探索、寻找解题策略
例1:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。
鸡和兔各有几只?
1、读一读:
从题中你读懂了哪些数学信息?
2、想一想:
题目中隐藏了什么条件?
3、到底有几只鸡几只兔呢?
按顺序列表试一试:
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
脚
16
18
请大家仔细观察上面的表格,你发现了什么?
4、用假设法解答:
(一)假设笼子里都是鸡:
(小组合作交流完成
(1)-(6)个问题)
(1)那么就有几只脚?
(2)原来比现在多出几只脚?
(3)一只兔比一只鸡多几只脚?
(4)要有几只兔才会多10只脚?
(5)所以笼子里有( )只鸡,( )只兔。
(6)你能列出综合算式解答吗?
相信你能行!
(二)如果假设笼子里都是兔,你能自己解决吗?
试试吧!
(三)通过上面的解答,你有什么发现?
你能总结出这类题的解题思路吗?
(小组讨论完成)
5、我们还可以用列方程的方法来解答。
根据鸡兔共有26只脚,你能写出这道题的等量关系式吗?
○ =鸡兔共有脚的只数
根据等量关系式,你能列出方程吗?
试试你的身手!
解:
设有X只兔,那么就有( )只鸡。
小结方法:
用方程解答这类题,一般是根据什么来列方程?
设未知数时要注意什么问题?
三、比较梳理、优化策略
今天我们选择了具有代表性的几种方法,请你比较一下,你比较喜欢哪种方法?
它的优点是什么?
四、看书质疑。
五、基本练习、巩固方法
1、回应开头。
用你喜欢的方法解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。
2、认真阅读第114页的阅读资料,感受一下古人是怎样巧妙解题的。
3、完成课本第115页“做一做”的第1、2、3题。
4、解决第116页第4题。
六、全课总结:
谈谈你在本节课的收获。
《鸡兔同笼问题》课堂实录及反思点评
城东小学赵华英
一、教学目标:
1、了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。
2、尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题,并使学生体会代数方法的一般性。
3、在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力和表达能力。
二、教学方法:
课件辅助、合作尝试、交流讨论
三、教学过程:
(一)、课的引入
古代数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题,引入揭题。
师:
大约1500年前,我国古代有一部数学名著《孙子算经》,记载了许多数学趣味题,其中有一题是这样的:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
师:
谁能说说这道题的意思?
生:
笼子里关着鸡和兔子,从上面数数头有35个,从下面数数脚有94只。
问鸡和兔子各有几只个?
师:
像这样的问题,就是著名的“鸡兔同笼”问题。
今天我们就来一起研究这样的问题。
(揭题)
(二)、展开探究
1、化繁为简、着手探究
(1)、师:
研究问题要有科学的方法,而科学的方法往往是从简单到复杂,所以我们还是从简单的问题入手吧!
(改换上面一题的数据)
例:
笼子里有若干鸡和兔,从上面数有8个头,从下面数有26只脚,问鸡和兔各有几只?
(2)、合作讨论:
怎么解决这个问题?
把你的思路和想法画下来或写下来。
(教师巡视,发现典型有创意的解决方法)
(3)、交流反馈:
谁来向大家介绍你的方法?
学生在板演中展示并解说自己解决问题的方法:
A画图法:
B列表法:
师:
脚的只数怎么计算?
生:
如26只脚,每只兔有4只脚,5只兔就有四五二十只脚;每只鸡有2只脚,3只鸡就有二三得六只脚,所以共有26只脚。
师:
观察这张表,你发现了什么?
生1:
少一只兔,多一只鸡,脚就少了2只
生2:
从右往左看,多一只兔,少一只鸡,脚就多了2只
师:
是的,总头数不变,把一只兔换成一只鸡,脚就少了2只;把一只鸡换成一只兔,脚就多了2只。
C假设法:
学生板书:
师:
如果我们把它写成综合式该是怎样的?
(结合板书逐步讲解:
假设都是鸡,那么就有8×2=16(只)脚,这样就比原来少了26-16=10(只)脚,为什么?
因为我们把兔当成了鸡,事实上每把一只兔看作一只鸡,就少算了2只脚,少10只脚就说明我们把5只兔看成了鸡来算。
)
演示动画幻灯片辅助理解:
师:
如果假设笼子里的都是兔子呢?
你能试着列算式并解释吗?
演示动画幻灯片:
D解方程:
师:
除了上面三种方法,还有别的方法吗?
(生小声地:
方程)你怎么知道的?
生:
书上有,我预习过。
(大家阅读教材,自学方程的解法)
课件演示:
师:
如果设鸡的只数有X只,又该怎么列方程呢?
2、方法的总结与优化:
师:
刚才我们找到了许多解决鸡兔同笼问题的方法,现在请你来解决《孙子算经》中的问题,你认为用哪种方法比较好?
说说你的理由。
(生异口同声:
假设法好,简单方便。
)
(学生用假设法解决课始出现的35头、94足的鸡兔同笼问题,实物投影,绝大部分孩子都采用假设法解答,而且多数是把笼子里的都假设成鸡来推理。
)
(三)、生活与应用
1、师:
学到这儿,大家有没有在思考一个问题:
学这个鸡兔同笼问题到底有什么用呢?
要知道几只兔几只鸡,扒在笼子里一瞧呢不就明白了吗?
(生:
不是的,生活中处处有数学!
其实有许多类同鸡兔同笼的问题,如租船的问题,每条大船坐6人,每条小船坐4人等这样的问题,也可以用今天学到的知识来解决!
)
师:
是的,学习鸡兔同笼问题重在学习一种思想与方法,去解决生活中许多类似于鸡兔同笼的问题!
2、议一议、做一做:
师:
这些生活中的问题,与鸡兔同笼问题有什么联系与区别?
生:
乌龟4只脚,鹤2只脚,完全类同于鸡兔同笼问题,但是自行车2个轮子,三轮车3个轮子,还有买苹果桔子的问题就与脚的问题有区别了,但我们都可以用假设法去解,把两种事物假设成一种事物来推想。
(学生练习、实物投影)
*3、介绍古人的解法:
抬腿法
师:
其实,古人有一种非常有意思的解决鸡兔同笼问题的方法:
让鸡兔同时抬起一半的脚,即鸡抬起一只脚,金鸡独立;兔子抬起一直脚,象人一样双脚站立(教师示范动作,学生哈哈大笑)
你想啊!
这时,笼子里还有多少脚?
脚的数量为什么还比头数多呢?
(生:
这时,鸡一个头一只脚,一一对应;可是兔子一个头两只脚呢!
所以笼子里有一只兔子,脚的数量就比头数多一。
多几只脚就是有几只兔子。
)演示动画:
师:
这个方法使用于我们刚才解决的3个问题吗?
为什么?
(生1:
抬腿法只适用于2只脚、4只脚的类似于鸡兔同笼的问题;生2:
应该适用于有倍数关系的脚数问题吧!
)
(四)、小结与延伸
1、师:
这节课我们学了什么?
是怎么学习的?
(生:
我们是自己探索发现鸡兔同笼的方法,但发现还是假设法比较普通简便,能适用于生活中很多类似于鸡兔同笼的问题。
)
2、课外,找一找生活中还有这样类似于鸡兔同笼的问题吗?
并用今天所学的知识去解决它!
课外趣味题:
教学反思与评议:
本节课的目标前已叙述,课的重难点是理解假设法的推理过程,明白求出的是什么量,而不弄反。
本节课的设计体现了如下几个特点:
1、通过古代课堂《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题”
引入课的主题,初步感悟此类问题的结构特征。
2、注重体现解决问题的探究、思考和表述过程,根据学生的生成资源组织教学。
考虑到《孙子算经》中原题的数据较大,不便研究,所以在这里突出化繁为简的思想,先让学生尝试探索解决8个头、26只脚的鸡兔同笼问题。
充分尊重学生的个性、相信学生的智慧,体现解决问题策略的多样化。
学生经过猜测探究,创造性地采用画图、列表、假设法和方程等方法多样性地解决问题,大胆交流和表述不同的思路与方法。
其次,在多样化的基础上,抽取方法的优化,让学生在比较、总结中感悟优化思想,在解决问题的过程自然感受到假设法和列方程是解决该类问题的一般性方法。
假设法有利于培养学生的逻辑推理能力,而列方程则有助于学生体会代数方法的一般性,根据只数和脚数之间的数量关系列出方程,思路简单清晰,易于理解。
但学生觉得列方程要解、设、答,比较麻烦,还是比较喜欢用假设法来解。
3、拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识,迁移数学模型,明确其在生活中的应用,体现数学的生活味和应用价值。
让学生感受到“鸡兔同笼”问题的学习,贵在学习一种假设推理与代数方程的思想方法,用来解决生活中类似于鸡兔同笼的变式问题,如:
龟鹤问题、购物问题、租大船小船的问题、自行车三轮车的轮子问题等等。
4、最后,是对一节课知识的梳理和学法的总结。
延伸到课外
去寻找类似的生活问题,课意犹未尽!
5、教师浓浓的亲和力,调动了学生积极参与学习的过程;教师精当的引导,是开启学生智慧的金钥匙;大胆而尊重学生的教学组织和调控,丰富了课堂生成,让学生出彩!
附:
一个孩子在课后练习中创造性地用“抬腿法”来解决问题:
一个水池里共有青蛙和螃蟹28只,他们一共有152条腿,则青蛙和螃蟹各有几只?
152÷4-28=10(只)……螃蟹
28-10=18(只)……青蛙
学生的理由:
152÷4表示抬两次腿,152÷2是表示抬起一半的脚(这时,站在地上,青蛙有2只脚,螃蟹有4只脚;再÷2又是抬起一半的脚,这时,站在地上,青蛙1只脚,螃蟹2只脚。
根据脚数还比头数多几,就是螃蟹的只数。
和鸡兔同笼问题的抬腿法类似,只是多抬了一次腿而已!
由此可以看出:
我们孩子的思维是灵敏的,创造的能力是出乎意料的。
相信孩子!
尊重孩子!
将为我们的课堂带来许多精彩!
《数学广角》自学指南
●要研究的问题:
例1:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。
鸡和兔各有几只?
●选择不同的研究方法:
(可以选择一种方法,也可以尝试多种方法。
老师相信你是最棒的!
)
方法1、按顺序列表试一试:
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
脚
16
18
方法2、
(一)假设笼子里都是鸡:
(1)那么就有几只脚?
(2)原来比现在多出几只脚?
(3)一只兔比一只鸡多几只脚?
(4)要有几只兔才会多10只脚?
(5)所以笼子里有( )只鸡,( )只兔。
(二)如果假设笼子里都是兔,你能自己解决吗?
试试吧!
方法3、
根据鸡兔共有26只脚,你能写出这道题的等量关系式吗?
○ =鸡兔共有脚的只数
根据等量关系式,你能列出方程吗?
试试你的身手!
解:
设有X只兔,那么就有( )只鸡。
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