北师大版七年下册数学第5章整合提升密码.docx
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北师大版七年下册数学第5章整合提升密码
专训1 分类思想在等腰三角形中的应用
名师点金:
分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为:
先分类,再画图,后计算.
当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A.40° B.100° C.40°或70° D.40°或100°
2.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为( )
A.45° B.75° C.45°或75° D.65°
当底和腰不确定时,分类讨论
3.(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
4.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为________.
5.若x,y满足|x-4|+(y-8)2=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为________.
当高的位置不确定时,分类讨论
6.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.【导学号:
********】
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
7.在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角∠B的度数.
由腰上的中线引起的分类讨论
8.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分.求腰长.
点的位置不确定引起的分类讨论
(第9题)
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
专训2 三角形中的四种常见说理类型
名师点金:
学习了全等三角形及等腰三角形的性质后,与此相关的几何题的类型非常丰富,常见的类型有:
说明相等关系,位置关系,线段的和差关系,倍分关系等.
说明相等关系
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF,试说明:
DE=DF.
(第1题)
说明位置关系
说明平行关系
2.如图,已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边三角形PCE.试说明:
AE∥BC.
(第2题)
说明垂直关系
3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点,试说明:
DG⊥EF.
(第3题)
说明倍分关系
说明角的倍分关系
4.如图,在△ABC中,AB=AC,过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系,并说明理由.
(第4题)
说明线段的倍分关系
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的高,AD,BE相交于点H,且AE=BE,试说明:
AH=2BD.
(第5题)
说明和、差关系
6.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,试说明:
AB+BD=AC.
(第6题)
专训3 全章热门考点整合应用
名师点金:
本章内容在各类考试及中考中一直占有重要的地位,属必考内容,考查形式多以选择、填空形式出现,其考查的主要内容有轴对称和轴对称图形的识别及其性质,最短距离,与翻折有关的计算等,其考点可概括为:
两个概念,五个性质,两个应用,两种思想.
两个概念
轴对称
1.观察图①~④中的左右两个图形,它们是否成轴对称?
如果是,请画出其对称轴.
(第1题)
轴对称图形
2.(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是( )
五个性质
轴对称性质
3.如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24cm,△ECF的周长为8cm,求四边形纸片ABCD的周长.
(第3题)
等腰三角形的性质
(第4题)
4.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )
A.100° B.80°
C.70°D.50°
等边三角形的性质
5.如图,已知△ABC和△BDE均为等边三角形,试说明:
BD+CD=AD.
(第5题)
线段垂直平分线的性质
6.如图,P为△ABC的边BC垂直平分线上的一点,且∠PBC=∠A,BP,CP的延长线分别交AC,AB于点D,E.试说明:
BE=CD.
(第6题)
角平分线的性质
7.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,EF交AD于点M,试说明:
AD垂直平分EF.
(第7题)
两个应用
线段垂直平分线的应用
8.如图,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学的问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,请你在图中确定学校的位置.
(第8题)
最短与最长路径的应用
9.如图,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大,并说明理由.
(第9题)
两种思想
方程思想
10.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE=∠DBC,求△ABC三个内角的度数.
(第10题)
分类思想
11.在等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少50°,求∠B.
1.D 2.C 3.C 4.23或25 5.20
6.解:
设AB=AC,BD⊥AC于D点;
(1)高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,如图①,因为∠DBC=25°,
所以∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°.
所以∠ABC=∠C=65°,∠A=180°-2×65°=50°.
(第6题)
(2)当高与另一腰的夹角为25°时,
如图②,高在△ABC的内部时,
当∠ABD=25°时,∠A=90°-∠ABD=65°,
所以∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°;
如图③,高在△ABC的外部时,∠ABD=25°,
所以∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°,
所以∠BAC=180°-65°=115°,
所以∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°,
故三角形各内角的度数为:
65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.
点拨:
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内和在三角形外.
7.解:
此题分两种情况:
(1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,∠ADE=40°,则∠A=50°.
因为AB=AC,所以∠B=(180°-50°)÷2=65°.
(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°,
所以∠BAC=130°.
因为AB=AC,所以∠B=(180°-130°)÷2=25°.
故∠B的大小为65°或25°.
(第7题)
8.分析:
由于题目中没有指明是“(AB+AD)-(BC+CD)”为3cm,还是“(BC+CD)-(AB+AD)”为3cm,因此必须分两种情况讨论.
解:
因为BD为AC边上的中线,所以AD=CD.
(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3cm时,AB-BC=3cm,
因为BC=5cm,所以AB=5+3=8(cm).
(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3cm时,
BC-AB=3cm,
因为BC=5cm,所以AB=5-3=2(cm);
但是当AB=2cm时,三边长为2cm,2cm,5cm.
而2+2<5,不合题意,舍去.故腰长为8cm.
9.B
1.解:
如图,连接AD.
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以∠EAD=∠FAD.
又因为AE=AF,AD=AD,
所以△AED≌△AFD(SAS).
所以DE=DF.
(第1题)
2.解:
因为△ABC,△PCE均为等边三角形,
所以BC=AC,PC=EC,∠ACB=∠ABC=∠PCE=60°.
所以∠ACB-∠ACP=∠PCE-∠ACP,
即∠BCP=∠ACE.
所以△CBP≌△CAE(SAS).
所以∠CAE=∠CBP=60°.
所以∠CAE=∠ACB.所以AE∥BC.
3.解:
如图,连接ED,FD.因为AB=AC,
所以∠B=∠C.
在△BDE和△CFD中,
所以△BDE≌△CFD(SAS).
所以DE=DF.
又因为G是EF的中点,
所以DG⊥EF.
(第3题)
(第4题)
4.解:
∠DBC=∠A.
理由如下:
方法一:
因为AB=AC,所以∠ABC=∠C,
所以∠C=(180°-∠A).
因为BD⊥AC,
所以∠DBC=90°-∠C
=90°-(180°-∠A)
=90°-90°+∠A
=∠A.
方法二:
如图,过点A作AE⊥BC于点E,则∠EAC+∠C=90°.
因为AB=AC,
所以∠BAE=∠EAC=∠BAC.
因为BD⊥AC,所以∠DBC+∠C=90°,
所以∠DBC=∠EAC=∠BAC.
5.解:
因为AD,BE是△ABC的高,
所以∠ADB=∠AEB=90°.
又因为∠BHD=∠AHE,
所以∠EBC=∠EAH.
在△BCE和△AHE中,
所以△BCE≌△AHE(ASA).
所以BC=AH.
又因为AB=AC,AD⊥BC,
所以BC=2BD.所以AH=2BD.
(第6题)
6.解:
如图,延长CB至E,使BE=BA,则∠BAE=∠E.
所以∠ABC=180°-∠ABE=∠E+∠BAE=2∠E.
又因为∠ABC=2∠C,所以∠E=∠C.所以AE=AC.
因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC.
因为∠BAE=∠E,∠E=∠C,
所以∠BAE=∠C.
又因为∠EAD=∠BAE+∠BAD,
∠EDA=180°-∠ADC=∠C+∠DAC,
所以∠EAD=∠EDA.所以AE=DE.
所以AC=DE=BE+BD=AB+BD.
1.解:
题图①②③中的左右两个图形成轴对称,题图④中的左右两个图形不成轴对称.题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示.
(第1题)
点拨:
判断两个图形是否成轴对称,关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义,即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合.若重合,则两个图形关于这条直线成轴对称,否则不成轴对称.
2.A
3.解:
由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称,所以AB=AF,BE=FE.
因为△AFD的周长为24cm,△ECF的周长为8cm,
即AD+DF+AF=24cm,FC+CE+FE=8cm,
所以四边形纸片ABCD的周长为AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8=32(cm).
4.A 点拨:
(方法一)因为DA=DB,
所以∠DBA=∠DAB=20°.因为DA=DC,所以∠DCA=∠DAC=30°.
在△ABC中,有∠DBC+∠DCB=180°-2×20°-2×30°=80°.所以∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-80°=100°.
(方法二)
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