沪科版九年级上册数学知识点整理.docx
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沪科版九年级上册数学知识点整理
第21章二次函数与反比例函数
【知识点1函数y=ax2+bx+c的解析式】
1.形如
(a≠0)的函数叫做x的二次函数;
2.形如
的函数叫做x的反比例函数;
典例1在下列函数表达式中,表示y是x的二次函数关系的有。
①
;②
;③
;④
;⑤
;
⑥
;⑦
典例2在下列函数表达式中,表示y是x的反比例函数关系的有。
①
;②
;③
;④
;⑤
;⑥
;⑦
典例3若函数
是反比例函数,则a=,若是二次函数,则a=。
【知识点2二次函数的图象与性质】
函数
a的值
a>0
a<0
性质
1.抛物线开口,并向无限延伸;
2.对称轴是,顶点坐标(,);
3.当x时,y随x的增大而减小,当x时,y随x的增大而增大;
4.抛物线有最点,当x=时,y有最值,
;
1.抛物线开口,并向;2.对称轴是,顶点坐标(,)
3.当x时,y随x的增大而减小,当x时,y随x的增大而增大;
4.抛物线有最点,当x=时,y有最值,
;
典例4已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
则下列判断中正确的是()
x
-1
0
1
2
y
-3
1
3
1
A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间
典例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(﹣1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是()
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2
【知识点3二次函数解析式的确定】
1.待定系数法:
一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0)(条件:
任意点坐标)
顶点式:
(条件:
坐标+任意点坐标)
交点式:
(条件:
与轴两交点坐标及任意点坐标)
2.平移规律:
左加右减,上加下减
典例6抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,则此抛物线表达式为。
典例7抛物线在x轴上所截线段为4,顶点坐标为(2,4),则这个函数的关系式为
。
典例8抛物线y=x2+bx+c向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的表达式为y=x2-2x-3,则b=,c=。
典例9若抛物线y=x2+2bx+4的顶点在坐标轴上,则抛物线的解析式为。
【知识点4二次函数系数与图象】
考查角度1:
判断a、b、c与0比较大小,决定了开口方向,和共同决定了对称轴的位置(左同右异),决定了抛物线与y轴交点;(填a、b、c)
考查角度2:
判断b2-4ac,b2-4ac>0(图象与坐标轴有个交点),b2-4ac=0(图象与坐标轴有个交点),b2-4ac<0(图象与坐标轴交点)。
考查角度3:
判断2a+b与0比较大小,用对称轴x=与1比较大小即可(解不等式过程中注意a的符号),判断2a-b与0比较大小,用对称轴x=与-1比较大小即可。
考查角度4:
(1)判断a+b+c与0比较,可将x=1代入抛物线解析式,观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可;判断a-b+c与0比较,可将x=-1代入抛物线解析式,观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可;
(2)判断
与0比较大小,可将x=代入抛物线解析式,观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可;
(3)判断
与0比较大小,可将x=代入抛物线解析式,观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可;之后判断同理……
典例10:
如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,则下列结论:
①abc>0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a+b+c>0;⑤9a-3b+c>0;⑥3a+c>0;⑦2c<3b
其中正确的结论有。
典例11如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图象,其顶点的纵坐标为m,则下列结论:
①a-b+c>0;②4a+c>2b;③2a-b<0;④b2=4a(c-m);⑤一元二次方程ax2+bx+c=m-1有两个不相等的实数根.其中正确结论有。
典例12如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:
①abc>0;②b2-4ac>0;③2a=b;④a+b+c>0;⑤3b+2c<0;
⑥t(at+b)≤a-b(t为任意实数)。
其中正确结论有。
【知识点5二次函数与一元二次方程】
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标,因此一元二次方程中的△=b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点:
(1)当△>0时,图像与x轴有个交点;
(2)当△=0时,图像与x轴有个交点;
(3)当△=b2-4ac<0时,图像与x轴交点。
典例13二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,求:
(1)函数解析式_________________;
(2)当x______时,y随x增大而减小;
(3)由图象回答:
当y>0时,x的取值范围______;
当y=0时,x=______;
当y<0时,x的取值范围______;
(4)方程ax2+bx+c=-3的解为:
______.
典例14已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,且关于x的一元二次ax2+bx+c-m=0没有实数根,则m的取值范围是。
【知识点6二次函数的应用】
典例15某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:
当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
方案A:
该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:
每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
典例16王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线
,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m.
(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(2)请求出球飞行的最大水平距离.
(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.
【知识点7反比例函数图象与性质】
典例17在函数
(a为常数)的图象上有三点(-3,y1),(-1,y2),(2,y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系是。
典例18如下图,直线
于点P,且与反比例函数
图像分别交于点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为2,则
=。
第18题图第19题图
【知识点8函数与一次函数综合】
典例19如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数
的图像的两个交点。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)由图像求:
不等式
的解集;
典例20如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
与x轴交于点A,与y轴交于点C。
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
,且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B。
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
第22章相似三角形
【知识点1比例的基本性质】(知识点请查阅教材或笔记)
典例1
(1)已知
求2a+4b-3c=;
(2)若x是a、b的比例中项,那么。
典例2若
=。
典例3已知
。
【知识点2黄金分割比】(知识点请查阅教材或笔记)
典例4点C是线段AB的黄金分割点,且AB=6cm,则BC=。
典例5已知点C在线段AB上,且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列结论正确的是()
A.AB2=AC•BCB.BC2=AC•BCC.AC=
BCD.BC=
AB
【知识点3平行线分线段成比例】(知识点请查阅教材或笔记)
典例6如图,AD为△ABC的中线,AE=
AD,BE的延长线交AC于点F,DH∥BF,则
的值是多少?
典例7如图,在△ABC中,DG∥EC,EG∥BC.求证:
AE2=AB·AD
【知识点4相似三角形基本模型】
典例8如图,在△ABC中,正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上,另外两个顶点G、H分别在AC、AB上,BC=15,BC边上的高是10,求正方形的面积。
典例9如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,M是AC上一点,ME⊥AD于点E,MF⊥BC于点F,求证:
典例10如图,点D是AB边的中点,AF∥BC,CG:
GA=3:
1,BC=8,求AF的长。
典例11如图,在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE,连接BD、CE,若AC:
BC=3:
4,求BD:
CE的值.
典例12△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图1,求证:
DE·CD=DF·BE;
(2)如图2,若D为BC中点,连接EF.求证:
ED平分∠BEF.
【知识点5相似证明中的比例式】
典例13已知:
如图,△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC,求证:
典例14如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,求证:
AC·AE=AF·AB.
典例15已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。
求证:
CD2=DE·DF。
典例16如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于F.求证:
DF2=FB·FC.
典例17如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:
【知识点6相似三角形的性质】
典例18已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2:
3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.
典例19若两个相似三角形的周长之比为2:
3,则它们的面积之比是__________.
典例20如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:
S△CDE=1:
3,则S△DOE:
S△AOC的值为()
A.
B.
C.
D.
第20题图第21题图
典例21如图,在△ABC中,M、N分别是AB、AC上的点,MN∥BC,若S△MBC:
S△CMN=3:
1,则S△AMN:
S△ABC=.
【知识点7位似图形】
典例22如右图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为()
A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶6
典例23如图,在平面直角坐标系中,每个虚线网格代表一个边长为1个单位长度的小正方形.
(1)请以原点O为位似中心,将△ABC作位似变换得到△DEF,且△DEF与△ABC的相似比为2:
1.
(2)已知在△ABC的边上有一点P,其坐标为(a,b),则P点在△DEF上的对应点的坐标为.
典例24如图,AD是△ABC的角平分线线,求证:
AB:
BD=AC:
CD.
第23章解直角三角形
【知识点1锐角三角函数概念】
1、如图,在△ABC中,∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA,即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、、都叫做∠A的锐角三角函数
【知识点2一些特殊角的三角函数值】
特殊角α三角函数
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
典例1:
【知识点3三角函数的性质】
1、∠A+∠B=90°,则sinA=;cosA=
2、∠A+∠B=90°,tanA·tanB=
3、sin2A+cos2A=,
4、0°<∠A<45°,sinAcosA;45°<∠A<90°,sinAcosA(填<,>或=)
典例2:
已知0°<∠A<45°,
,
(1)求sinA·cosA;
(2)求sinA-cosA。
【知识点4锐角三角函数的增减性】
当角度在0°~90°之间变化时,
(1)正弦值随着角度的增大而,随着角度的减小而;
(2)余弦值随着角度的增大而,随着角度的减小而;
(3)正切值随着角度的增大而,随着角度的减小而;
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